精品解析：　内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期九年级学情自测试卷（一）数学学科

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（一） 数 学 学 科 时间：40分钟 满分100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故选：C． 2. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 3. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解∶过D作于E， ∵是边长为的等边三角形的外接圆， ∴，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分． 5. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由题意，得， 解得：， 故与之间的关系式为：， 当时，． 故答案为：． 6. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 7. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 8. 如图，在菱形中，，分别是边的中点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作交的延长线于点．根据中位线定理得出，根据菱形的性质证明是等边三角形，进而求出所需线段长度，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ∵分别是边的中点，， ∴，， ∵由菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ， ，， ． 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 9. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）分别算出绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再计算加减即可； （2）运用乘法公式因式分解，再根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 10. 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． （1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ （2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 【答案】（1）购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 （2）元 【解析】 【分析】（1）设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）设购买A器材件，则B器材件，总费用元，根据不等关系，列出不等式求出的取值范围，再根据题意，求出一次函数，利用函数的性质，求解即可． 【小问1详解】 解：设一件A种器材的价格为元，则一件B种器材的价格为元， （元）， 根据题意得，， 解得， 经检验：是方程的解，且符合题意， ， 则购买一件A种器材需50元、一件B种器材需100元； 【小问2详解】 解：设购买A器材件，则B器材件，总费用元， 根据题意得，， 解得， ， ， 随的增大而减小， ，且为非负整数， 当时，取得最小值，为（元）， 则至少要花元． 11. 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证： ； （3）当，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，进而得出，得出即可得出结论；  （2）先说明，再推出，即可得出结论；  （3）先求出，再推出，利用勾股定理求出的长，最后利用相似比即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，    是的直径，  ，  平分，   ， ，  ，  ，  ， ，  是半径，  是的切线； 【小问2详解】 证明：，  ，  ，  ， 四边形是圆内接四边形，  ，  ，  ，  ； 【小问3详解】 解：是的直径，，，  ，  ，  平分，  ，  ，  是等腰直角三角形， ，  ，  ，  ，即，  ． 12. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（），连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时． ①求的面积； ②证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点． （1）根据正方形的性质证明，继而得证． （2）①首先证明是等腰三角形，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到的长度，根据 ，得到的长度，根据勾股定理得到的长度，进而得到的面积． ②首先证明，得到，根据，得到，进而得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，进而得到． 【小问1详解】 证明：正方形中，是对角线上的一个动点， ， 又， ， ； 【小问2详解】 解：①由（1）知， ， 又， ， 又四边形为正方形， ， ， ， 是等腰三角形， 如图，过点作于点， 点是的中点， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得， ； ②证明：延长分别交于点， ， 又， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ， ， ， ， ，即， ， 由①知是等腰三角形，， 平分， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（一） 数 学 学 科 时间：40分钟 满分100分 注意事项: 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点是和 D. 当时，随的增大而增大 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分． 5. 在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为_______cm， 6. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 7. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 8. 如图，在菱形中，，分别是边的中点，连接，若，则的长为______． 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 9. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 10. 卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用8000元购买了A、B两种体育器材共120件作为奖品．已知一件B种器材是一件A种器材价格的2倍，且购买A种器材与购买B种器材费用相同． （1）求购买一件A种器材、一件B种器材各需多少元？ （2）若学校需购买A、B两种器材共100件，且A种器材的数量不多于B种器材数量的2倍，至少要花多少钱？ 11. 如图所示，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证： ； （3）当，时，求的长． 12. 如图，在正方形中，点是对角线上的一个动点（），连接． （1）如图，求证：； （2）如图，在左侧作，延长分别交，于点，，当，时． ①求的面积； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $