专题02一元二次方程及其应用易错必刷题型专项训练(25大题型共计75道题)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题02一元二次方程及其应用易错必刷题型专练 本专题汇总一元二次方程及其应用全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.一元二次方程的定义 题型02.化为一元二次方程一般式 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.判断是否为方程的解 题型05.由方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法解方程 题型08.配方法解方程 题型09.配方法的应用 题型10.公式法解方程 题型11.因式分解法解方程 题型12.利用判别式判别根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.一元二次方程根与系数的关系 题型15.换元法解一元二次方程 题型16.传播问题 题型17.增长率问题 题型18.与图形相关问题 题型19.数字问题 题型20.营销问题 题型21.动态几何问题 题型22.工程问题 题型23.行程问题 题型24.图表信息问题 题型25.握手.循环赛问题 易错必刷题型01.一元二次方程的定义 典题特征：给出不同形式方程，甄别判定是否为一元二次方程 易错点：混淆整式方程与分式方程，忽视一元、二次两个核心条件 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 3．下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，逐个判断四个方程即可． 【详解】解：①、，是一元二次方程； ②、，当时方程不是一元二次方程； ③、，是一元二次方程； ④、，整理方程得：，不是一元二次方程； 综上所述，一定是关于的一元二次方程的是①③，共2个． 易错必刷题型02.化为一元二次方程一般式 典题特征：将带括号、乘积形式方程整理为标准形式 易错点：去括号出现漏项，移项未改变符号，各项排列顺序错乱 4．关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一次项为：， ∴一次项系数是． 5．将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 易错必刷题型03.由一元二次方程定义求参数 典题特征：根据方程为一元二次方程，求解所含字母数值 易错点：只满足未知数次数为2，忽略二次项系数不等于0 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 8．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 9．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 易错必刷题型04.判断是否为方程的解 典题特征：将给定数值代入方程，验证等式是否成立 易错点：代入运算时符号计算失误，验算过程不严谨 10．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 12．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 易错必刷题型05.由方程的解求参数 典题特征：已知方程实数根，代入方程求解参数值 易错点：代入后整理等式出错，解方程计算出现偏差 13．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．3 B．－3 C．3或－3 D． 【答案】A 【分析】先将根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）排除不符合条件的 得到最终结果. 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或 ∵ 原方程是关于的一元二次方程 ∴ 二次项系数 , 即 ∴. 14．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 15．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 易错必刷题型06.一元二次方程解的估算 典题特征：依据对应数值表格，确定方程实数根取值范围 易错点：无法根据函数值正负变化，准确判定根所在区间 16．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 17．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 18．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 易错必刷题型07.直接开平法解方程 典题特征：求解形如完全平方式等于常数类方程 易错点：开方运算只取正根，遗漏负根，对负数直接开平方 19．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 20．若一元二次方程的两根为，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程，直接开方法求出方程的根，进而确定的值，再求和即可． 【详解】解：由题意，有根， ∴， ∴， ∵方程的根为， ∴， ∴； 故答案为：． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； （2）方程变形为，解方程即可求出答案； （3）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； （4）方程变形为，利用直接开平方法进行解方程即可； 【详解】（1）解： ∴， 则， ∴，； （2）解： 解得，； （3）解： 解得，； （4）解： 解得， 易错必刷题型08.配方法解方程 典题特征：使用配方法求解各类一元二次方程 易错点：二次项系数不为1时未统一化整，配方仅单侧添加常数 22．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案． 【详解】解：对原方程移项得， 方程两边同时加得， 整理得， ∴变形正确的是选项B． 23．如果方程可以配方成，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求出和的值，再计算并求其2025次幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 已知配方后为 ， ∴，， 解得， 则， 所以 ， 故答案为：． 24．已知是方程的两个实数根，求代数式的值． 【答案】 或 【分析】利用是方程解的关系得到关系式，然后进行化简求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ，， ∴， 或， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 故答案为：或． 易错必刷题型09.配方法的应用 典题特征：通过配方变形，求解二次代数式最值 易错点：配方变形步骤错误，无法准确判断代数式最值类型 25．代数式的最小值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了配方法的应用，通过配方将表达式转化为完全平方式与常数的和的形式，再利用非负性即可求出最小值． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 26．已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 27．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）仿照题意可得，可证明，据此可证明结论； （2）可证明，则可推出，得到的最小值为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，代数式的值恒为正数； （2）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵代数式的最小值为， ∴， ∴． 易错必刷题型10.公式法解方程 典题特征：套用求根公式求解常规一元二次方程 易错点：记错求根公式，代入系数时正负符号匹配错误 28．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 29．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 易错必刷题型11.因式分解法解方程 典题特征：利用提公因式、十字相乘法解方程 易错点：方程两边随意约去含未知数因式，造成方程丢根 31．一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．或5 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，通过移项将方程变形为便于提取公因式的形式，进而转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 32．对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义的运算计算，再根据，即可得关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 即的值为或． 33．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将不是一般式的方程化为一般式，再进行因式分解，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， 或， ． 易错必刷题型12.利用判别式判别根的情况 典题特征：不解方程，通过判别式判定实数根数量 易错点：无法准确区分判别式三种取值对应的根的情况 34．下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，将各方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A． ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．，整理得 ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．，整理得 ∵ ∴，方程没有实数根，符合题意； D．，整理得 ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 35．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 36．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 易错必刷题型13.由根的情况求参数 典题特征：根据方程根的个数，求取参数取值范围 易错点：只依据判别式列不等式，忽略一元二次方程基础限定条件 37．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个相等的实数根，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ． 整理得，． 解得． 38．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，求出两不等式的公共部分得到的取值范围，然后确定满足条件的最大整数的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且， 即的取值范围为且． 所以满足条件的最大整数的值为． 39．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【详解】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 易错必刷题型14.一元二次方程根与系数的关系 典题特征：利用韦达定理，求解两根相关代数式的值 易错点：运用定理前未验证方程存在实数根，代数式变形出错 40．若，为一元二次方程两个根，则等于（    ） A．−6 B．6 C．−3 D．3 【答案】D 【详解】解：∵，为一元二次方程两个根， ∴． 41．若是关于的一元二次方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得到与的值，再利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得，一元二次方程中，，，， 由根与系数的关系可得，， ∴． 42．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方程根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根 ∴ 由根的定义得 ， 由根与系数的关系得 ， 对所求式子变形 同理可得 ∴ 原式 代入得原式． 易错必刷题型15.换元法解一元二次方程 典题特征：针对结构重复复杂方程，设元简化求解 易错点：求出新变量数值后，忘记代回求解原未知数 43．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 44．若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 【答案】， 【分析】将方程变形为相同的形式，再换元求解即可． 【详解】解：方程变形为，看作关于的方程， ∵方程（、为常数）的解是，， ∴，， 解得：，． 45．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 【答案】， 【分析】将视为一个整体，然后设，则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为． 解得， 当时，．解得： ； 当时，，此方程无解． 因此原方程的解为，． 易错必刷题型16.传播问题 典题特征：依据逐轮传播规律，建立方程求解传播数量 易错点：混淆初始传播源与新增数量，列式数量关系错误 46．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 47．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 48．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 易错必刷题型17.增长率问题 典题特征：根据连续两次增减变化，列方程求解变化率 易错点：增长与降低计算公式混用，搞错变化次数 49．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为________． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．设平均每年增长率是x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年增长率是x， 根据题意得：， 解得：负值舍去， 则这两年产量的年平均增长率为 故答案为：． 50．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】(1) (2)2万元 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 51．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)从2023年到2025年的年平均增长率为 (2)鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 易错必刷题型18.与图形相关问题 典题特征：结合几何图形边长、面积关系列方程计算 易错点：图形边长等量关系梳理错误，留白宽度设定不合理 52．有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 53．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形，根据停车位（图中阴影部分）的占地面积为列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为． 54．某地面停车场为长方形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该停车场原收费6元/小时，日均运营成本为200元，高峰时段（时长为12个小时）车位全满，平峰时段（时长为12个小时）使用率为50%．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低，若调整后日均利润为8536元，求a的值． 【答案】(1)车位的宽为 (2) 【分析】（1）设停车位的宽为，则停车位的长为，然后，根据长方形停车场的平面示意图找到长方形的长和宽，运用长方形的面积=长×宽，列出方程并解方程即可； （2）根据题意找到调整收费后对应的高峰时段总收费及平峰时段总收费，根据高峰时段总收费+平峰时段总收费-运营成本=日均利润为8536元，列出关于的方程，解方程再讨论实际情况即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为， 根据题意，得， 整理，得，    解得，， ∵不合题意， ∴． 答：停车位的宽为；       （2）解：根据题意，得， 整理，得 ， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意， ∴． 易错必刷题型19.数字问题 典题特征：根据数位之间数量关系，求解多位整数 易错点：错误表示数位对应数值，十位与个位数字列式颠倒 55．如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出圈出的数中的数量关系是解题的关键． 设圈出的9个数中最小数为x，则最大数为，根据最大数与最小数的积为192列出方程求解x，再计算9个数的和． 【详解】解：∵最小数为x，最大数为，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴最小数为8，最大数为24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为． 故选：D． 56．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 57．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)21与48是“幸福数对”，理由见解析 (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）解： 21与48是“幸福数对”． 理由如下： ，． ． 与48是“幸福数对”． （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 易错必刷题型20.营销问题 典题特征：结合商品价格与销量变化，求解定价与利润 易错点：单件利润计算错误，价格变动与销量变化关系列式相反 58．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是审明题意，找到恰当的等量关系列方程；根据“每件盈利销售量总盈利”的等量关系列方程． 【详解】解：∵设每件休闲衫降价元， ∴可列方程为， ∴故选：D． 59．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1)； (2)每顶头盔应降价10元 【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每项78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量顶； （2）解：由题意得     ，， 每顶售价不高于68元，且， 答：每顶头盔应降价10元． 60．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【分析】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【详解】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 易错必刷题型21.动态几何问题 典题特征：结合动点运动轨迹，依据时间建立几何类方程 易错点：未考虑动点运动边界，求解后未舍去不符合题意的解 61．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的综合题，准确地理解题意并列出代数式是解题的关键．设运动秒后，分别到达点的位置，根据路程公式，可得、的长，继而得、的长，根据的面积恰好为，即可列出关于t的一元二次方程． 【详解】解：设运动秒后，分别到达点的位置， 由题意得，， 故选：D． 62．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 63．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1)t，； (2)当时，； (3)的值不可能为5；理由见解析； 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【详解】（1）解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； （2）解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； （3）解：的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 易错必刷题型22.工程问题 典题特征：结合工作效率与工作总量，列方程求解工作时间 易错点：工作效率拆分错误，合作工作量等量关系建立不当 64．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 65．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 66．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 易错必刷题型23.行程问题 典题特征：依据路程、速度、时间三者关系建立方程 易错点：相遇、追及类行程等量关系梳理不清，单位未统一 67．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 68．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 69．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 易错必刷题型24.图表信息问题 典题特征：读取表格图像数据，提炼条件列方程解题 易错点：提取数据信息有误，无法转化为数学等量关系 70．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 71．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 72．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 易错必刷题型25.握手.循环赛问题 典题特征：根据两两组合规律，求解总次数或总人数 易错点：混淆单循环与双循环公式，重复计算组合次数 73．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 74．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 【答案】(1)15场 (2)说法正确，理由见解析 (3)14 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为，即可求解； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有人参赛，则比赛的总场数为，然后取当，，，计算的值，结合题意即可得出答案． 【详解】（1）解： 故按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小博的说法正确． 理由：设有人参赛， 由题意得， 整理得， 解得 的取值不为整数，即方程的解不符合实际， 小博的说法正确； （3）解：设有人参赛，则比赛的总场数为， 当时，； 当时，； 当时，； 又比赛场次控制在90~100之间， ∴应该安排14名参赛者， 故答案为：14． 75．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程及其应用易错必刷题型专练 本专题汇总一元二次方程及其应用全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.一元二次方程的定义 题型02.化为一元二次方程一般式 题型03.由一元二次方程定义求参数 题型04.判断是否为方程的解 题型05.由方程的解求参数 题型06.一元二次方程解的估算 题型07.直接开平法解方程 题型08.配方法解方程 题型09.配方法的应用 题型10.公式法解方程 题型11.因式分解法解方程 题型12.利用判别式判别根的情况 题型13.由根的情况求参数 题型14.一元二次方程根与系数的关系 题型15.换元法解一元二次方程 题型16.传播问题 题型17.增长率问题 题型18.与图形相关问题 题型19.数字问题 题型20.营销问题 题型21.动态几何问题 题型22.工程问题 题型23.行程问题 题型24.图表信息问题 题型25.握手.循环赛问题 易错必刷题型01.一元二次方程的定义 典题特征：给出不同形式方程，甄别判定是否为一元二次方程 易错点：混淆整式方程与分式方程，忽视一元、二次两个核心条件 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 3．下列方程：①，②，③，④，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错必刷题型02.化为一元二次方程一般式 典题特征：将带括号、乘积形式方程整理为标准形式 易错点：去括号出现漏项，移项未改变符号，各项排列顺序错乱 4．关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．1 B．7 C． D． 5．将方程化成一般形式是____________ 6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 易错必刷题型03.由一元二次方程定义求参数 典题特征：根据方程为一元二次方程，求解所含字母数值 易错点：只满足未知数次数为2，忽略二次项系数不等于0 7．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 8．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 9．关于的方程是一元二次方程，求的值． 易错必刷题型04.判断是否为方程的解 典题特征：将给定数值代入方程，验证等式是否成立 易错点：代入运算时符号计算失误，验算过程不严谨 10．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 11．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 12．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型05.由方程的解求参数 典题特征：已知方程实数根，代入方程求解参数值 易错点：代入后整理等式出错，解方程计算出现偏差 13．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．3 B．－3 C．3或－3 D． 14．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 15．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 易错必刷题型06.一元二次方程解的估算 典题特征：依据对应数值表格，确定方程实数根取值范围 易错点：无法根据函数值正负变化，准确判定根所在区间 16．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 17．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 18．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 易错必刷题型07.直接开平法解方程 典题特征：求解形如完全平方式等于常数类方程 易错点：开方运算只取正根，遗漏负根，对负数直接开平方 19．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．若一元二次方程的两根为，则等于______． 21．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型08.配方法解方程 典题特征：使用配方法求解各类一元二次方程 易错点：二次项系数不为1时未统一化整，配方仅单侧添加常数 22．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 23．如果方程可以配方成，那么__________． 24．已知是方程的两个实数根，求代数式的值． 易错必刷题型09.配方法的应用 典题特征：通过配方变形，求解二次代数式最值 易错点：配方变形步骤错误，无法准确判断代数式最值类型 25．代数式的最小值为______． 26．已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 27．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式的值恒为正数； (2)若代数式的最小值为，求的值： 易错必刷题型10.公式法解方程 典题特征：套用求根公式求解常规一元二次方程 易错点：记错求根公式，代入系数时正负符号匹配错误 28．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 29．定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 易错必刷题型11.因式分解法解方程 典题特征：利用提公因式、十字相乘法解方程 易错点：方程两边随意约去含未知数因式，造成方程丢根 31．一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．或5 D．1或5 32．对于实数，，定义运算“※”如下：，例如，．若，则的值为_____． 33．解方程： (1) (2) 易错必刷题型12.利用判别式判别根的情况 典题特征：不解方程，通过判别式判定实数根数量 易错点：无法准确区分判别式三种取值对应的根的情况 34．下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 35．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 36．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 易错必刷题型13.由根的情况求参数 典题特征：根据方程根的个数，求取参数取值范围 易错点：只依据判别式列不等式，忽略一元二次方程基础限定条件 37．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为___． 38．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最大整数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 39．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 易错必刷题型14.一元二次方程根与系数的关系 典题特征：利用韦达定理，求解两根相关代数式的值 易错点：运用定理前未验证方程存在实数根，代数式变形出错 40．若，为一元二次方程两个根，则等于（    ） A．−6 B．6 C．−3 D．3 41．若是关于的一元二次方程的两个根，则___________． 42．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 易错必刷题型15.换元法解一元二次方程 典题特征：针对结构重复复杂方程，设元简化求解 易错点：求出新变量数值后，忘记代回求解原未知数 43．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 44．若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 45．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 易错必刷题型16.传播问题 典题特征：依据逐轮传播规律，建立方程求解传播数量 易错点：混淆初始传播源与新增数量，列式数量关系错误 46．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 47．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 48．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 易错必刷题型17.增长率问题 典题特征：根据连续两次增减变化，列方程求解变化率 易错点：增长与降低计算公式混用，搞错变化次数 49．某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为________． 50．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 51．某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． (1)求从2023年到2025年的年平均增长率； (2)为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 易错必刷题型18.与图形相关问题 典题特征：结合几何图形边长、面积关系列方程计算 易错点：图形边长等量关系梳理错误，留白宽度设定不合理 52．有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 53．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 54．某地面停车场为长方形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该停车场原收费6元/小时，日均运营成本为200元，高峰时段（时长为12个小时）车位全满，平峰时段（时长为12个小时）使用率为50%．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低，若调整后日均利润为8536元，求a的值． 易错必刷题型19.数字问题 典题特征：根据数位之间数量关系，求解多位整数 易错点：错误表示数位对应数值，十位与个位数字列式颠倒 55．如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 56．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 57．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 易错必刷题型20.营销问题 典题特征：结合商品价格与销量变化，求解定价与利润 易错点：单件利润计算错误，价格变动与销量变化关系列式相反 58．某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场销售该批休闲衫平均每天盈利元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 59．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 60．某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 易错必刷题型21.动态几何问题 典题特征：结合动点运动轨迹，依据时间建立几何类方程 易错点：未考虑动点运动边界，求解后未舍去不符合题意的解 61．如图，在一个直角墙角处，两面墙互相垂直，即，已知，．甲机器人从点沿方向以每秒的速度爬行，同时乙机器人从点沿方向以每秒的速度爬行．设运动秒后，分别到达点的位置，这时的面积恰好为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 62．在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 63．如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)用含t的代数式表示 ； ； (2)当为何值时？ (3)在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 易错必刷题型22.工程问题 典题特征：结合工作效率与工作总量，列方程求解工作时间 易错点：工作效率拆分错误，合作工作量等量关系建立不当 64．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 65．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 66．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 易错必刷题型23.行程问题 典题特征：依据路程、速度、时间三者关系建立方程 易错点：相遇、追及类行程等量关系梳理不清，单位未统一 67．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 68．在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 69．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 易错必刷题型24.图表信息问题 典题特征：读取表格图像数据，提炼条件列方程解题 易错点：提取数据信息有误，无法转化为数学等量关系 70．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 71．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 72．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 易错必刷题型25.握手.循环赛问题 典题特征：根据两两组合规律，求解总次数或总人数 易错点：混淆单循环与双循环公式，重复计算组合次数 73．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 74．九年级乒乓球赛制采用单循环形式（每两人之间进行一场比赛）． (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)以下是小文和小博对比赛总场数的统计，判断小博的说法是否正确，并说明理由． (3)若八年级也举行单循环赛制的乒乓球比赛，且比赛场次控制在90~100之间，则应该安排___________名参赛者． 75．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $