专题01 期中真题百练通关（安徽专用，二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理）（80题25考点常考题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题01 期中真题百练通关（80题25考点常考题型） 考点01 二次根式的定义 考点14 直接开平方法解一元二次方程 考点02 二次根式有意义的条件 考点15 配方法解一元二次方程 考点03 二次根式的性质与化简 考点16 公式法解一元二次方程 考点04 最简二次根式 考点17 因式分解法解一元二次方程 考点05 二次根式的乘除法 考点18 根的判别式 考点06 分母有理化 考点19 根与系数的关系 考点07 同类二次根式 考点20 一元二次方程的应用 考点08 二次根式的加减法 考点21 勾股定理 考点09 二次根式的混合运算 考点22 勾股定理的逆定理 考点10 二次根式的应用 考点23 勾股定理的应用 考点11 一元二次方程的定义 考点24 勾股数 考点12 一元二次方程的一般形式 考点25 两点间的距离公式 考点13 一元二次方程的解 考点01 二次根式的定义 1．（2025春•包河区校级期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•长丰县期中）若是二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 考点02 二次根式有意义的条件 3．（2025春•合肥校级期中）若代数式有意义，则x应满足的条件为（　　） A．x≠1 B．x≥1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 4．（2025春•宣城校级期中）若实数a，b满足3，3k，则k的取值范围是（　　） A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1 考点03 二次根式的性质与化简 5．（2025春•潜山市期中）已知1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a D．a 6．（2025春•庐阳区校级期中）把x根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•宣城校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣2a+7 D．2a﹣7 8．（2025春•安庆期中）观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 ； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 ； （3）请证明（2）中的结论． 9．（2025春•蜀山区校级期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想的结果： （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： 考点04 最简二次根式 10．（2025春•安庆期中）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（2025春•琅琊区校级期中）化为最简二次根式为　 ． 考点05 二次根式的乘除法 12．（2025春•安庆期中）计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 13．（2025春•铜官区校级期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②1，③b，其中正确的是 　 （填序号） 14．（2025春•金安区校级期中）观察下列等式： ①3；②4；③5；… （1）写出式第5个等式：　 　 ； （2）写出第n个等式，并证明． 考点06 分母有理化 15．（2025春•铜官区校级期中）分母有理化：　 ． 16．（2025春•琅琊区校级期中）已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值． 17．（2025春•怀宁县期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 考点07 同类二次根式 18．（2025春•含山县校级期中）若与最简二次根式5能够合并，则a＝　　 ． 19．（2025春•怀宁县期中）若最简二次根式与是同类二次根式，求a2016+b2016的值． 考点08 二次根式的加减法 20．（2025春•合肥期中）下列计算正确的是（　　） A． B．66+（）＝6 C．32 D．624 21．（2025春•怀宁县期中）化简：． 考点09 二次根式的混合运算 22．（2025春•蜀山区校级期中）估计的值在（　　） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 23．（2025春•安徽校级期中）计算：． 24．（2025春•安庆校级期中）计算：4． 25．（2025春•长丰县期中）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　 　 ． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 26．（2025春•铜官区校级期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：2； 特例2：3； 特例3：4； 特例4：　 　 ；（填写一个符合上述运算特征的式子） （2）观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　 ； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：　 　 ； ②若（a，b均为正整数），则a+b的值为　 　 ． 考点10 二次根式的应用 27．（2025春•合肥校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4cm B．16cm C．2（4）cm D．4（4）cm 28．（2025春•黄山期中）一块正方形的瓷砖，面积为50cm2，它的边长大约在（　　） A．4cm～5cm之间 B．5cm～6cm之间 C．6cm～7cm之间 D．7cm～8cm之间 29．（2025春•淮北期中）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 考点11 一元二次方程的定义 30．（2025春•金安区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x1 31．（2025春•安庆期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 ． 考点12 一元二次方程的一般形式 32．（2025春•安庆期中）把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式后，二次项系数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 33．（2025秋•庐江县校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+5x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k值为　　 ． 考点13 一元二次方程的解 34．（2025秋•黄山期中）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 35．（2025春•淮北期中）已知a是方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式a2+2a﹣2025的值为　 　 ． 考点14 直接开平方法解一元二次方程 36．（2025春•太湖县期中）若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝　　 ． 37．（2025春•包河区校级期中）解方程：2（x﹣1）2＝18． 考点15 配方法解一元二次方程 38．（2025春•淮北期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝3，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 39．（2025春•宣城校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 考点16 公式法解一元二次方程 40．（2025春•太湖县期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 41．（2025春•合肥校级期中）解方程：x2﹣3x﹣11＝0． 考点17 因式分解法解一元二次方程 42．（2025春•瑶海区校级期中）一元二次方程x2＝x的解是 　 ． 43．（2025春•肥西县校级期中）解方程： （ 1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 考点18 根的判别式 44．（2025春•安庆校级期中）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 45．（2025春•合肥校级期中）关于x的方程x2﹣x+4m＝0有实数根，则m的取值范围是 ． 46．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值． 考点19 根与系数的关系 47．（2025秋•庐江县校级期中）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 48．（2025春•蜀山区校级期中）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0中，下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实根，则方程x2+c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2025春•蜀山区校级期中）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣5a﹣2b+3＝　 　 ． 50．（2025春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 51．（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 考点20 一元二次方程的应用 52．（2025春•安庆期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 53．（2025春•瑶海区校级期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 54．（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 考点21 勾股定理 55．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 56．（2025春•淮南期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 57．（2025春•蜀山区校级期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．8 B． C． D．1 58．（2025春•怀宁县期中）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 　　 ． 59．（2025春•包河区期中）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙OM的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由． 60．（2025春•雨山区校级期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在网格中画出长为的线段AB． （2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF． 考点22 勾股定理的逆定理 61．（2025春•包河区校级期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 62．（2025春•安徽校级期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c：： 63．（2025春•泗县期中）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 ． 64．（2025春•合肥期中）如图为单位长度为1的3×4的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下： （1）三边为有理数； （2）两边是无理数，一边是有理数． 65．（2025春•包河区校级期中）通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 　　 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在Rt△ABC，三边长分别为a，b，c，且a2＝35，c2＝70，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 考点23 勾股定理的应用 66．（2025秋•怀宁县期中）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 67．（2025春•合肥期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 68．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．6 C．10 D．14 69．（2025春•雨山区校级期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　　 米． 70．（2025春•怀宁县期中）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　　 种． 71．（2025春•庐江县校级期中）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）求这块空地的面积． 72．（2025春•瑶海区校级期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 73．（2025春•庐江县校级期中）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 74．（2025春•瑶海区校级期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离BD的长为15m； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线BC为25m； ③该同学身高1.6m． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果该同学想让风筝沿CD方向下降12m，则他应该往回收线多少米？ 75．（2025春•淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒． （1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 考点24 勾股数 76．（2025春•芜湖期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） 77．（2025秋•宿州期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　 ． 考点25 两点间的距离公式 78．（2025春•相山区校级期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点． （1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离； （2）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，求点C的坐标． 79．（2025春•太和县期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如： 若点A（4，1），B（3，2），则AB， 若点A（a，1），B（3，2），且AB，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（1，2），则A、B两点间的距离是 　 　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 80．（2025春•合肥期中）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（80题25考点常考题型） 考点01 二次根式的定义 考点14 直接开平方法解一元二次方程 考点02 二次根式有意义的条件 考点15 配方法解一元二次方程 考点03 二次根式的性质与化简 考点16 公式法解一元二次方程 考点04 最简二次根式 考点17 因式分解法解一元二次方程 考点05 二次根式的乘除法 考点18 根的判别式 考点06 分母有理化 考点19 根与系数的关系 考点07 同类二次根式 考点20 一元二次方程的应用 考点08 二次根式的加减法 考点21 勾股定理 考点09 二次根式的混合运算 考点22 勾股定理的逆定理 考点10 二次根式的应用 考点23 勾股定理的应用 考点11 一元二次方程的定义 考点24 勾股数 考点12 一元二次方程的一般形式 考点25 两点间的距离公式 考点13 一元二次方程的解 考点01 二次根式的定义 1．（2025春•包河区校级期中）下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、当x＜0时，无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、﹣7＜0，该代数式无意义，故此选项不合题意； D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 2．（2025春•长丰县期中）若是二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【解答】解：若是二次根式，则a的值可能是0， 故选：D． 考点02 二次根式有意义的条件 3．（2025春•合肥校级期中）若代数式有意义，则x应满足的条件为（　　） A．x≠1 B．x≥1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得： x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选：B． 4．（2025春•宣城校级期中）若实数a，b满足3，3k，则k的取值范围是（　　） A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1 【解答】解：若实数a，b满足3，又有0，0， 故有03 ①，03，则 ﹣30 ② ①+②可得﹣33，又有3k， 即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1． 故选：C． 考点03 二次根式的性质与化简 5．（2025春•潜山市期中）已知1﹣2a，那么a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a D．a 【解答】解：∵1﹣2a， ∴2a﹣1≤0，解得a． 故选：D． 6．（2025春•庐阳区校级期中）把x根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵有意义， ∴﹣x≥0， ∴x≤0， ∴原式． 故选：D． 7．（2025春•宣城校级期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　） A．7 B．﹣7 C．﹣2a+7 D．2a﹣7 【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2， ∴a+2＜0，a﹣5＜0， ∴原式 ＝﹣（a+2）+a﹣5 ＝﹣a﹣2+a﹣5 ＝﹣7． 故选：B． 8．（2025春•安庆期中）观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 ； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 ； （3）请证明（2）中的结论． 【解答】解：（1）5； （2）（n+1）； （3） ＝（n+1）． 故答案为：（1）5； （2）（n+1）． 9．（2025春•蜀山区校级期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想的结果： （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： （3）计算： 【解答】解：（1）猜想11； （2）第n个式子为：11； （3）原式＝1111 ＝1×99+1 ＝99+1 ＝99． 考点04 最简二次根式 10．（2025春•安庆期中）下列属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意； B选项，原式，故该选项不符合题意； C选项，原式，故该选项不符合题意； D选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 11．（2025春•琅琊区校级期中）化为最简二次根式为　 ． 【解答】解：原式， 故答案为：． 考点05 二次根式的乘除法 12．（2025春•安庆期中）计算的结果是（　　） A．16 B．±16 C．4 D．±4 【解答】解：原式 ＝4． 故选：C． 13．（2025春•铜官区校级期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①，②1，③b，其中正确的是 　 （填序号） 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0． ①根号下必须非负，错误； ②1，正确； ③b，正确． 故答案为：②③． 14．（2025春•金安区校级期中）观察下列等式： ①3；②4；③5；… （1）写出式第5个等式：　 　 ； （2）写出第n个等式，并证明． 【解答】解：（1）第5个等式为：7， 故答案为：7； （2）n+2， 证明： ＝n+2． 考点06 分母有理化 15．（2025春•铜官区校级期中）分母有理化：　 ． 【解答】解：． 故答案为：． 16．（2025春•琅琊区校级期中）已知：，求代数式（x+2）（y+2）的值． 【解答】解：x，y， ∴（x+2）（y+2） ＝xy+2（x+y）+4 24 ＝42 17．（2025春•怀宁县期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法． 如：，这是利用平方差公式进行化简运算的思路． 除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质|a|． 如：对于，设． 由，可知x＞0． 由，解得． 即． 【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简． 【解答】解：设x， ∵， ∴x＜0． ∵x26﹣36+326， ∴x． 原式 ＝5﹣2 ＝5﹣3． 考点07 同类二次根式 18．（2025春•含山县校级期中）若与最简二次根式5能够合并，则a＝　　 ． 【解答】解：2， ∵与最简二次根式5能够合并， ∴a+1＝3， ∴a＝2， 故答案为：2． 19．（2025春•怀宁县期中）若最简二次根式与是同类二次根式，求a2016+b2016的值． 【解答】解：∵与是同类二次根式 ∴， 解得：， 则a2016+b2016＝2． 考点08 二次根式的加减法 20．（2025春•合肥期中）下列计算正确的是（　　） A． B．66+（）＝6 C．32 D．624 【解答】解：A、无法合并，故此选项错误； B、65，故此选项错误； C、32，故此选项错误； D、624，故此选项正确． 故选：D． 21．（2025春•怀宁县期中）化简：． 【解答】解：原式＝232 ＝3． 考点09 二次根式的混合运算 22．（2025春•蜀山区校级期中）估计的值在（　　） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【解答】解：原式 ； ∵， ∴， ∴，即4到5之间． 故选：B． 23．（2025春•安徽校级期中）计算：． 【解答】解：原式． 24．（2025春•安庆校级期中）计算：4． 【解答】解：4 ＝4（1）+3﹣4 1+3﹣4 ＝0． 25．（2025春•长丰县期中）在进行二次根式的计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，如．据此，请回答下列问题． （1）利用有理化因式化简，其结果为 　 　 ． （2）利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【解答】解：（1） ， 故答案为：； （2） ＝2025﹣1 ＝2024． 26．（2025春•铜官区校级期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：2； 特例2：3； 特例3：4； 特例4：　 　 ；（填写一个符合上述运算特征的式子） （2）观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 　 ； （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律： ①化简：　 　 ； ②若（a，b均为正整数），则a+b的值为　　 ． 【解答】解：（1）根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）， 等式左边等式右边； （4）①原式 ． 故答案为：； ②∵， ∴n+1＝9， ∴n＝a＝8，b＝（n+2）＝10， ∴a+b＝18． 故答案为：18． 考点10 二次根式的应用 27．（2025春•合肥校级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4cm B．16cm C．2（4）cm D．4（4）cm 【解答】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y， 根据题意得：x+2y， 则图②中两块阴影部分周长和是22（4﹣2y）+2（4﹣x）＝24×4﹣4y﹣2x＝216﹣2（x+2y）＝216﹣216（cm）． 故选：B． 28．（2025春•黄山期中）一块正方形的瓷砖，面积为50cm2，它的边长大约在（　　） A．4cm～5cm之间 B．5cm～6cm之间 C．6cm～7cm之间 D．7cm～8cm之间 【解答】解：设正方形的边长为a，则 a2＝50， ∴， ∵正方形的边长a＞0， ∴， 又∵，即78， 7＜a＜8； 故选：D． 29．（2025春•淮北期中）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【解答】解：（1）（）×2 ＝（85）×2 ＝132 ＝26（米）， 答：矩形ABCD的周长为26米； （2）2×（1）×（1） ＝852×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 6×56＝336（元）， 答：购买地砖需要花费336元． 考点11 一元二次方程的定义 30．（2025春•金安区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x1 【解答】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 31．（2025春•安庆期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k＝　 ． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2， 解得k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 考点12 一元二次方程的一般形式 32．（2025春•安庆期中）把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式后，二次项系数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【解答】解：（x﹣3）2＝5， x2﹣6x+9﹣5＝0， x2﹣6x+4＝0， 二次项系数为：1． 故选：A． 33．（2025秋•庐江县校级期中）若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+5x+k2﹣9＝0的常数项为0，则k值为　　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+5x+k2﹣9＝0的常数项为0， ∴， 解得k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 考点13 一元二次方程的解 34．（2025秋•黄山期中）如果m是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，那么多项式﹣2m2+4m+2025的值等于（　　） A．﹣2027 B．﹣2023 C．2023 D．2027 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣2m﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝1， ∴原式＝﹣2（m2﹣2m）+2025＝﹣2×1+2025＝2023． 故选：C． 35．（2025春•淮北期中）已知a是方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式a2+2a﹣2025的值为　 　 ． 【解答】解：由条件可得a2+2a﹣3＝0， ∴a2+2a＝3， ∴a2+2a﹣2025＝3﹣2025＝﹣2022， 故答案为：﹣2022． 考点14 直接开平方法解一元二次方程 36．（2025春•太湖县期中）若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝　　 ． 【解答】解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2， ∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝3． 故答案为3． 37．（2025春•包河区校级期中）解方程：2（x﹣1）2＝18． 【解答】解：（x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， 所以x1＝4，x2＝﹣2． 考点15 配方法解一元二次方程 38．（2025春•淮北期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x＝3，配方正确的是（　　） A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x+3）2＝3 D．（x﹣3）2＝3 【解答】解：由题知， x2﹣6x＝3， x2﹣6x+9＝3+9， （x﹣3）2＝12． 故选：B． 39．（2025春•宣城校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024， ∴（x﹣1）2＝2025， ∴a＝﹣1，b＝2025， ∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1； 故选：C． 考点16 公式法解一元二次方程 40．（2025春•太湖县期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 41．（2025春•合肥校级期中）解方程：x2﹣3x﹣11＝0． 【解答】解：x2﹣3x﹣11＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣11， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣11）＝53， ∴， 即，． 考点17 因式分解法解一元二次方程 42．（2025春•瑶海区校级期中）一元二次方程x2＝x的解是 　 ． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 43．（2025春•肥西县校级期中）解方程： （ 1）x2+2x﹣3＝0； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1； （2）2x2﹣4x﹣5＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+1， （x﹣1）2， x﹣1， ∴x1＝1，x2＝1． 考点18 根的判别式 44．（2025春•安庆校级期中）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：∵x2+kx﹣2＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 45．（2025春•合肥校级期中）关于x的方程x2﹣x+4m＝0有实数根，则m的取值范围是 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+4m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×4m≥0， ∴， 故答案为：． 46．（2025春•蜀山区校级期中）已知：关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值． 【解答】（1）证明：∵m≠0， ∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4m•（﹣3） ＝（m+3）2， ∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x， ∴x1，x2＝﹣1， ∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m＝1或3． 考点19 根与系数的关系 47．（2025秋•庐江县校级期中）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 48．（2025春•蜀山区校级期中）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0中，下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；③若方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实根，则方程x2+c＝0必有两个不相等的实根；④若b＝2a+3c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①若a+b+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确； ②由两根关系可知，1+2＝1，b＝﹣a，又一根是﹣1，则a﹣b+c＝0，整理得：2a+c＝0，正确； ③若方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实根，则b2﹣4c＞0即b2＞4c，所以4c≤0，而x2+c＝0中，x2＝﹣c，故方程必有两个不相等的实根，不正确； ④由b＝2a+3c，b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，所以④正确． 故选：C． 49．（2025春•蜀山区校级期中）已知a、b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则a2﹣5a﹣2b+3＝　 　 ． 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根， ∴a+b＝3，a2﹣3a﹣2＝0， ∴a2﹣3a＝2， ∴a2﹣5a﹣2b+3 ＝a2﹣3a﹣2（a+b）+3 ＝2﹣2×3+3 ＝2﹣6+3 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 50．（2025春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0， ∴该方程总有两个实数根： （2）解：由条件可知[x+（1﹣m）]（x+1）＝0， ∴x+（1﹣m）＝0或x+1＝0， ∴x1＝m﹣1，x2＝﹣1， ∵m＞0， ∴x1＝m﹣1＞﹣1， ∴（m﹣1）﹣（﹣1）＝2， 解得m＝2． 51．（2025春•包河区校级期中）请阅读下列材料： 已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x， 把x代入已知方程，得3＝0． 化简，得y2+2y﹣12＝0，故所求方程为y2+2y﹣12＝0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1． 考点20 一元二次方程的应用 52．（2025春•安庆期中）某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【解答】解：（1）设每件降价x元，则每件盈利（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出（20+2x）件， 依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x＝20． 答：每件应降价20元． （2）每天不可能盈利2000元，理由如下： 设每件降价y元，则每件盈利（90﹣y﹣50）元，平均每天可售出（20+2y）件， 依题意得：（90﹣y﹣50）（20+2y）＝2000， 整理得：y2﹣30y+600＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0， ∴原方程无实数根， 即每天不可能盈利2000元． 53．（2025春•瑶海区校级期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得：500（1+x）2＝720， 整理得，25x2+50x﹣11＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，依题意得： ， 整理，得（y﹣60）（y﹣130）＝0， 解得y1＝60，y2＝130， 因为尽可能让顾客得到实惠，所以y＝130不合题意，舍去． 所以y＝60． 60+40＝100元， 答：该品牌头盔每个售价应定为100元． 54．（2025春•蜀山区校级期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）． 答：这个降价率为10%． （2）设每千克应涨价y元，则每天可售出（500﹣20y）千克， 依题意，得：（10+y）（500﹣20y）＝6000， 整理，得：y2﹣15y+50＝0， 解得：y1＝10，y2＝5． ∵要使顾客得到实惠， ∴y＝5． 答：每千克应涨价5元． 考点21 勾股定理 55．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，S3﹣S1＝S2， 又∵S3+S2﹣S1＝20， ∴2S2＝20， ∴S2＝10， ∴图中阴影部分的面积5， 故选：A． 56．（2025春•淮南期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝1， ∴BC＝AD＝1，∠ABC＝90°． ∵∠ABC＝90°，BC＝1，AB＝3， ∴AC， ∴AM＝AC， ∴点M所表示的数为1． 故选：D． 57．（2025春•蜀山区校级期中）如图是小观爸爸设置的微信手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣A顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为（　　） A．8 B． C． D．1 【解答】解：如图，连接AC， ∵左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1， ∴AB＝2，AC＝1，AD＝2，DE＝1， ∴BC＝AE， ∴按此手势解锁一次的路径长为：AB+BC+CD+DE+AE＝21+14+2． 故选：B． 58．（2025春•怀宁县期中）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦．”即c（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是 　　 ． 【解答】解：由题意得“弦”是， ∵9＜13＜16，13﹣9＝4，16﹣13＝3， ∴13更接近于16， ∴接近于4． 故答案为：4． 59．（2025春•包河区期中）某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙OM的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由． 【解答】解：够长，理由如下： 连接AM，由题意，得：AC＝6，∠ACM＝90°，OM＝21，OC＝3， ∴CM＝OM﹣OC＝18米， ∴（米）， ∵， ∴云梯够长． 60．（2025春•雨山区校级期中）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： （1）在网格中画出长为的线段AB． （2）在网格中画出一个腰长为、面积为3的等腰△DEF． 【解答】解：（1）如图所示：线段AB即为所求； （2）△DEF即为所求． 考点22 勾股定理的逆定理 61．（2025春•包河区校级期中）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC＝BC，AB． ∵（）2+（）2＝（）2． ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC＝45°． 故选：C． 62．（2025春•安徽校级期中）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c：： 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； B、设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°， x+2x+3x＝180， 解得：x＝30， 则3x°＝90°， 所以△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； C、∵a2＝c2﹣b2， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵a：b：c：：， 设ak，bk，ck， ∵（k）2+（k）2≠（k）2， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 63．（2025春•泗县期中）如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 ． 【解答】解：在Rt△ADC中， ∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m， ∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100， ∴AC＝10m，（取正值）． 在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676． ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°． ∴S阴影AC×BCAD×CD10×248×6＝96（m2）． 故答案为：96m2 64．（2025春•合肥期中）如图为单位长度为1的3×4的网格，请用无刻度的直尺在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形．要求如下： （1）三边为有理数； （2）两边是无理数，一边是有理数． 【解答】解：（1）如图所示： ∴△ABC即为所求； （2）如图所示： ∴△DEF即为所求． 65．（2025春•包河区校级期中）通过对《勾股定理》的学习，我们知道，如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做和谐三角形． （1）根据“和谐三角形”的定义，请你判断：等边三角形 　　 和谐三角形．（填写“是”或“不是”） （2）已知某三角形的三边的长分别为，3，，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． （3）在Rt△ABC，三边长分别为a，b，c，且a2＝35，c2＝70，请你判断该三角形是否为和谐三角形？并说明理由． 【解答】解：（1）是，理由如下： 不妨设等边三角形ABC的边长为a，则AB＝AC＝BC＝a， 则AB2+AC2＝2a2＝2BC2， 所以等边三角形是和谐三角形， 故答案为：是； （2）该三角形是和谐三角形． 理由：∵， ∴该三角形是和谐三角形． （3）①当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝70﹣35＝35， 而a2＝35，b2＝35，c2＝70，不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍， ∴该三角形不是和谐三角形． ②当b为斜边时，b2＝a2+c2＝35+70＝105， ∵35+105＝2×70， ∴a2+b2＝2c2， ∴该三角形是和谐三角形， 答：当c为斜边时，该三角形不是和谐三角形，当b为斜边时，该三角形是和谐三角形． 考点23 勾股定理的应用 66．（2025秋•怀宁县期中）如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 【解答】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角， ∴∠AOB＝90°， 又∵OA＝32m，OB＝24m， ∴AB40m． 故选：B． 67．（2025春•合肥期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 【解答】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，设芦苇长x尺， ∴（x﹣1）2+52＝x2， 故选：B． 68．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，矩形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝8米，CD＝6米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B，D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（　　）米，踏之何忍”． A．4 B．6 C．10 D．14 【解答】解：∵四边形BCFG是矩形， ∴∠C＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：， ∴BC+CD﹣BD＝8+6﹣10＝4（米）， ∴牌子上写着“少走4米，踏之何忍”． 故选：A． 69．（2025春•雨山区校级期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝　　 米． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米） 故答案为：1.5． 70．（2025春•怀宁县期中）小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有 　　 种． 【解答】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则AC＝108﹣80＝28（cm），BC＝80﹣59＝21（cm）， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即282+212＝AB2， ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于AB长，即最大时为35（cm）， ∴小莹可选择的扫地机尺寸直径可以为：34，34.5，共2种， 故答案为：2． 71．（2025春•庐江县校级期中）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15m，CD＝8m，AD＝17m．从点A修了一条垂直BC的小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE＝12m． （1）求边BC的长； （2）求这块空地的面积． 【解答】解：（1）∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°． 在Rt△ABE中， ∵AB＝15m，AE＝12m， ∴BE9（m）， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE＝18m． （2）∵AE⊥BC，E是BC的中点， ∴AC＝AB＝15m． ∵AD＝17m，CD＝8m， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴△ADC是直角三角形． ∵AC＝15m， ∴S△ACDAC•CD15×8＝60（m2）， 由（1）可知，BC＝18m， ∴S△ABCBC•AE＝108（m2）， ∴这块空地得面积为：S△ABC+S△ADC＝108+60＝168（m2）． 72．（2025春•瑶海区校级期中）与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 【解答】解：（1）在Rt△OAB中， ∵AB＝30米，OA＝24米，OE＝3米， ∴OB（米）， ∴BE＝OB+OE＝18+3＝21（米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）由题意得BD＝6米， ∵CD＝30米，OD＝OB+BD＝18+6＝24（米）， ∴OC（米）， ∴AC＝OA﹣OC＝24﹣18＝6（米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为6米． 73．（2025春•庐江县校级期中）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m， ∴ACAB＝7.5（m）， ∵AE＝15.5m， ∴BE＝AE﹣AB＝8m， 由题意可知：四边形BEDF是矩形， ∴DF＝BE＝8m， 由题意知：DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝6m， ∴CD10（m）， ∴AC+CD＝（7.510）m， ∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m； （2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m， ∵CD比BC长6.5m， ∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2， ∴AB＝6.5m， ∴桥面的宽AB长为6.5m． 74．（2025春•瑶海区校级期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离BD的长为15m； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线BC为25m； ③该同学身高1.6m． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果该同学想让风筝沿CD方向下降12m，则他应该往回收线多少米？ 【解答】解：（1）由题意得，∠CDB＝90°， ∴CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， ∴CD＝20（负值舍去）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）∵CM＝12， ∴DM＝20﹣12＝8， ∴（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 75．（2025春•淮南期中）如图，OM、ON是两条公路，∠O＝30°，沿公路OM方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒． （1）求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥ON于H，可知点A到射线ON的最短距离为线段AH的长度． ∴AH的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离． ∵∠O＝30°，OA＝160m， ∴． 答：卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为80m； （2）如图2，在ON上取两点C、D，连接AC，AD， 当AC＝AD＝100m时，则卡车在CD段对学校A有影响． ∵AC＝AD，AH⊥CD， ∴CH＝DH． 由（1）知AH＝80m， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：CH60（m）． ∴CD＝2CH＝120m， ∵重型运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒， ∴影响时间为：120÷5＝24（秒）， 答：卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为24s． 考点24 勾股数 76．（2025春•芜湖期中）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　） A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2 【解答】解：A、∵42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵62+82＝102， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、1，，2这三个数不都是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 77．（2025秋•宿州期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　 ． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 考点25 两点间的距离公式 78．（2025春•相山区校级期中）在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点． （1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离； （2）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，求点C的坐标． 【解答】解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同． ∴a+1＝4， 解得a＝3． ∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4． （2）∵CD⊥x轴， ∴C、D两点的横坐标相同． ∴D（b﹣2，0）． ∵CD＝1， ∴|b|＝1， 解得b＝±1． 当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）． 当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）． 79．（2025春•太和县期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB，则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如： 若点A（4，1），B（3，2），则AB， 若点A（a，1），B（3，2），且AB，则． 根据实数章节所学的开方运算即可求出满足条件的a的值． 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（1，2），则A、B两点间的距离是 　 　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，3），B（1，2）， ∴AB， 故答案为：； （2）设B（m，n）， ∵点B在轴上， ∴n＝0， ∴B（m，0）， ∵A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5， ∴52＝（﹣2﹣m）2+（3﹣0）2， 整理得（﹣2﹣m）2＝16， ∵±±4， ∴﹣2﹣m＝4或﹣2﹣m＝﹣4， ∴m＝﹣6或m＝2， ∴B（﹣6，0）或B（2，0）． 80．（2025春•合肥期中）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； （3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 【解答】解：（1）， 即A，B两点间的距离为13． （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为2+4＝6或者2﹣4＝﹣2．即点A的纵坐标为6或﹣2． （3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴AB＝BC，且AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $