精品解析：2025-2026学年四川省成都市第十八中学八年级下学期期中数学试卷

2025－2026学年四川省成都市第十八中学八年级（下） 期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； C．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形不能找到一点，使图形绕着这个点旋转180度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得 ，故A错误； B．不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误； C．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C正确； D．取反例 ，满足 ，此时 ，得 ，故D错误． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的识别，熟练掌握因式分解的定义是做题的关键．将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A是整式的乘法，不属于因式分解，故不符合题意； 选项B将多项式化为，属于因式分解，且计算正确，故符合题意； 选项C右边为，不属于因式分解，故不符合题意； 选项D是整式的乘法，不属于因式分解，故不符合题意． 故选：B． 4. 在直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．让纵坐标不变，横坐标加3可得到所求点的坐标． 【详解】解：∵， ∴平移后的坐标是． 故选：A． 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 6. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合数量总价单价的关系列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批柑橘的单价为元，则第二批单价为元， 根据题意得：． 7. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 8. 如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形性质求出，由旋转的性质可知，，，再结合角的和差，角平分线的定义以及平行线的判定分析判断，即可解题． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，，，故C选项正确，不符合题意； ， ， 即，故A选项不正确，符合题意． ， 平分，故B选项正确，不符合题意； ∵， ，故D选项正确，不符合题意． 二、填空题（每题5分，共20分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查． 10. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零进行解答即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零，故， 解得． 故答案为：． 11. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 【答案】36 【解析】 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象可知当时，，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由一次函数的图象可知: 当时，， 当时，， 关于的不等式的解集为． 13. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 的角平分线交于点E，的角平分线交于点， ， ， ， ． 三、解答题（共48分） 14. （1）解不等式组； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法． （1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为； （2） 方程两边同时乘以得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 15. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，0，1时原分式无意义， ， 当时，原式． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点A逆时针旋转的图形； （3）求点B旋转过程中所经过的路径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，旋转的性质，扇形弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用扇形弧长公式即可解答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：根据勾股定理可得， 所以点B旋转过程中所经过的路径长为 17. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 18. 已知，在中，点E在边上，过点E作于点F，点G在边上，H在边上，且是等边三角形，连接． （1）如图1，若， ，求的长； （2）如图2，若平分，且，求证：． 【答案】（1）1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，设，则，在中，利用勾股定理，求出x的值，即可求解； （2），过点G作交于点M，交于点N，过点M作交于点K，则，根据为等边三角形，可得，再证明，可得，再证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， 设，则 ， 在中，， ∴，解得：（负值舍去）， 即； 【小问2详解】 证明：如图，过点G作交于点M，交于点N，过点M作交于点K，则 ， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴ ， 故 ． 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再将已知条件整体代入，逐步化简即可求出结果． 【详解】解：， ∴ ． 20. 若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解，分别为， ∴， 故答案为：． 21. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程得到，分式方程无解有两种情况，当和当时，分式方程有增根，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∵关于的分式方程无解， ∴当，即时，原方程无解； 当，即时， 则 ∵原方程无解， ∴原方程有增,即或 解得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 22. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作轴，与轴交于点，与交于点，再根据点的坐标结合等边三角形的性质推出点的坐标，然后根据新定义推出，最后根据当直线过点、时，只有一个交点求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点， ∵点，， ∴，轴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 根据勾股定理：， ∴点，即， ∴点． ∵设边上点的坐标为， ∴这两个和等点满足，即， ∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点， ∵如图，当直线过点、时，只有一个交点， ∴当过点时，，当过点C时，， ∴的取值范围为． 23. 如图，在中，，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，取的中点，连接，，根据已知可求出，，可求出，先在中利用角的直角三角形的性质求出，的长，从而可得是等边三角形，进而可得，，然后利用等腰三角形三线合一性质求出的长，从而求出，的长，最后证明，从而利用全等三角形的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线，即可解答． 【详解】解：过点作于点，取的中点，连接， ，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 边的长为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，把图形中隐藏的等边三角形（  ）以及全等三角形（ ）发现是解题的关键． 五、解答题（共30分） 24. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． （1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 【答案】（1）购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元 （2）购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大 【解析】 【分析】（1）设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元，列出分式方程即可得到答案； （2）设购进A种机器人个，则购进B种机器人，求出，再设总利润为，得到随的增大而减小，当时，最大，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， B种机器人的单价为：（万元）， 答：购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元； 【小问2详解】 解：设购进A种机器人个，则购进B种机器人， ， 解得， A种机器人的单个利润：（万元）， B种机器人单个利润：（万元）， 设总利润为， ， 即， ，随的增大而减小， 当时，最大， 此时B种机器人的数量为（个）． 答：购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大． 25. 如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． （1）求直线的解析表达式； （2）点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）N点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后得到，然后代入求解即可； （2）首先求出，然后根据得到，设直线与y轴的交点为F，求出，然后根据求出，作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则，得到当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度，然后利用勾股定理求出的最小值为，然后求出直线的解析式为，进而求出点E的坐标； （3）首先求出直线的解析式为，然后设，，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的对角线互相平分列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线交x轴于点A， ∴当时， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴将代入得， 解得， ∴直线的解析表达式为； 【小问2详解】 解：联立直线和直线得， ， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴的交点为F， 将代入得， ∴， ∵直线交y轴于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 作D点关于x轴的对称点，连接与x轴交于E点，连接，则， ∴， ∴， 当、E、P三点共线时，的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得 ∴； 【小问3详解】 解：将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 设，， ∵，，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 当为平行四边形的对角线时， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，三角形面积，一次函数的平移和几何综合，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 26. 如图，等边中，点E是上一个动点，且运动过程中始终满足． （1）如图1，若，，求出的长； （2）如图2，以为边，在的右侧作等边，延长，使得，连接，再过点F作，交于点H，求证：； （3）如图3，在（2）问条件下，若，连接，当取得最小值时，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于点P，则，设，则，分别根据含30度的直角三角形和等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可； （2）在线段上取一点M，使得，连接，根据等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质证明即可； （3）先证明点F的运动轨迹是射线，由此可得当时，取得最小值，再作出此时的图形，进而计算即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作于点P，则， ∵在等边中，， ∴，， ∴在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 即的长为； 【小问2详解】 证明：如图，在线段上取一点M，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，连接， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点F在射线上运动，且， ∴当时，取得最小值， 如图，此时，点C与点H重合，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴当取得最小值时，四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年四川省成都市第十八中学八年级（下） 期中数学试卷 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射．下列航天图案可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点向右平移3个单位长度后的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 2 8. 如图，中，，，将绕着点B逆时针旋转得到，点A，C的对应点分别为，，点恰好落在边上，则下列结论不正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 二、填空题（每题5分，共20分） 9. 分解因式：______． 10. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_______． 11. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 13. 如图，在平行四边形中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点，若，，则的长为 _____．     三、解答题（共48分） 14. （1）解不等式组； （2）解方程：． 15. 先化简，再从，0，1，2中选择一个恰当的数代入求值． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出绕点A逆时针旋转的图形； （3）求点B旋转过程中所经过的路径长． 17. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 18. 已知，在中，点E在边上，过点E作于点F，点G在边上，H在边上，且是等边三角形，连接． （1）如图1，若， ，求的长； （2）如图2，若平分，且，求证：． 四、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则的值为_____． 20. 若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围是______． 21. 若关于的分式方程无解，则的值为_______． 22. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 23. 如图，在中，，为边的中点，点在边上，，若，，则边的长为______． 五、解答题（共30分） 24. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． （1）求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 25. 如图1，直线交x轴、y轴分别于点A、B，直线与x轴交于点C，与直线交于点D，． （1）求直线的解析表达式； （2）点P为射线上的一点，若，在x轴上存在一点E，使最小，求点E坐标和最小值； （3）如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点M，y轴上一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点N坐标． 26. 如图，等边中，点E是上一个动点，且运动过程中始终满足． （1）如图1，若，，求出的长； （2）如图2，以为边，在的右侧作等边，延长，使得，连接，再过点F作，交于点H，求证：； （3）如图3，在（2）问条件下，若，连接，当取得最小值时，请直接写出此时四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $