精品解析：江苏盐城外国语学校2025-2026学年高二下学期期中素质评估数学学科练习

盐城外国语学校2026年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 2. 已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的斜率为 D. 直线的斜率为 【答案】B 【解析】 【分析】函数在区间上的平均变化率的几何意义是曲线上两点，所在直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角. 【详解】在上的平均变化率为, 在上的平均变化率就是直线的斜率，所以，故直线的倾斜角为， 故选：B 3. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出概率，再由独立重复试验的概率计算公式求解 【详解】因为在 内的概率为，所以 ，故， 记“任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85”为事件，则 4. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】已知，由导数的定义可以知道， 设，当时，.且 所以 5. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由概率之和为可得，解得， 因为， 所以. 6. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 7. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. 当、独立时， B. 当、互斥时， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式、独立事件、互斥事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若、独立，则， 由条件概率公式可得，A对； 对于B选项，若、互斥，则， 所以 ，，此时，B对； 对于CD选项， ，C错D对. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可. 【详解】因为，所以， 令 ，则， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以，即， 故所求式子的各项可配对，有，共对， 所求式子的中间项为 ， 所以 . 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】对于：， 所以，所以，故A正确； 对于，可得，故B不正确； 对于，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B. 甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D. 若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【详解】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2， “甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B． 对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确； 对于B，因为，，但，故，故B错误； 对于C，由，，，，，， 由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为；故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 12. 5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】将甲乙两人捆绑重新全排列 【详解】甲乙两人看作一个整体捆绑，与其余3个人全排列，共有种， 又甲乙两个人之间有2种排序，故甲乙相邻共有种情况， 5个人全排列共有 种，故甲乙两人相邻的概率为 13. 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求曲线在点处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件（判别式为零）解出. 【详解】设，则，则， 则在处的切线的方程为，即， 联立，得， 因为直线与抛物线也相切， 则有，解得. 14. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解. 【详解】设，则， 因为，所以，所以为定义在上的减函数， 因为为奇函数， 所以，故，所以， 所以，即，即，故. 所以不等式的解集为. 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用函数在极值点处的两个核心条件 —— 函数值为0、导数值为0，列方程组求解参数，再验证该点确实为极小值点； （2）由（1）利用导数判断函数在上的单调性，求出极值和端点值，比较得解. 【小问1详解】 ，， 当时，有极小值0，， ，，，， 的解为或，在上是单调递增函数； 的解为，在上是单调递减函数， 在处取得极小值，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1），，， 又，在上的解为，在上是单调递增函数； 在上的解为，在上是单调递减函数； 在上的最小值为， 又，， 在上的最大值为， 综上可知，在上的最小值为，最大值为. 16. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. （1）求； （2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果. 【小问1详解】 ,,, 【小问2详解】 ， . 该球是甲工厂生产的概率为. 17. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； （2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 【答案】（1）分布列见解析， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，，求出对应概率，得到分布列，最后由二项分布方差公式可得；（2）不放回抽样时，，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列．进而期望即可. 【小问1详解】 有放回抽样时，取到白球的次数X可能的取值为0，1，2，3． 每次抽到白球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 所以，， ，， 则X分布列为： X 0 1 2 3 P 则 【小问2详解】 不放回抽样时，则 ，，， 则Y的分布列为： Y 0 1 2 P 则 18. 已知函数，实数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由已知不等式得出，令，由题意可知，可得出，再令，利用导数分析该函数的单调性与极值，结合题意可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 函数 的定义域为， 当时， ，， 由可得，由得， 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由 ，得， 令，则， 因为，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以，存在，不等式 成立， 则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析其单调性，求出极小值点； （2）将问题转化为在时恒成立，构造函数，研究其最大值； （3）将问题转化为在上有两个不同的交点，通过求导研究的性质，画出图象即可. 【小问1详解】 因，则， 易知当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值点为，得； 【小问2详解】 在时恒成立，等价于在时恒成立， 令，则， 因，则在上单调递减， 则，， 则实数的取值范围是； 【小问3详解】 当时，，则， 令，则， 令，则， 因，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故， 易知，当时，，时，， 当时，，当且时，， 作出的大致图象（如图）： 因在上恰有两个不同的零点， 即在上有两个不同的交点，故， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐城外国语学校2026年春学期期中素质评估 高二年级数学学科练习 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷； 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分； 3.答题前，务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，在函数的图象上，若函数在上的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的斜率为 D. 直线的斜率为 3. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知随机变量的分布列如下，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论不正确的是（ ） A. 当、独立时， B. 当、互斥时， C. D. 8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 10. 暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ） A. 甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件 B. 甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立 C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于 D. 若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上. 12. 5个人站成一排拍照，其中甲乙两人相邻的概率是___________. 13. 已知曲线在点处的切线为，若直线与抛物线也相切，则_________． 14. 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是___________. 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. 已知函数，当时，有极小值0. （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. （1）求； （2）若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 17. 已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． （1）求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差； （2）求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望． 18. 已知函数，实数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中为常数. （1）若函数的极小值点为，求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $