江苏盐城市响水县清源高级中学、滨海县东坎高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026年春学期高二年级期中考试 数学试题 考试时间：120分钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有P0=-2PA+5PB+mCP,则 实数m的值为() A.0 B.2 C.-1 D.-2 2.用数字1,2,3组成一个四位数，数字最多用次(i=1,2,3),则组成不同四位数的个数为() A.14 B.26 C.38 D.48 3.己知随机变量服从正态分布N42),且-子则P3<<5)等于() P(E<5) A号 B c哈 D君 4.己知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为() A.(0,-1,-1) B.(-1,0,-1) c(o,2》 D.(,0,2 5.已知P(A=3,P(⑧A)=2,P(B1A=则P(B)=() A品 B.2t c品 5 D.24 6.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则() A.AB与AC是共线向量 B丽的单位向量是(5，-0) C.AB与BC夹角的余弦值是5 ©11 D.平面ABC的一个法向量是(1，-2,5) 7.某户外探险俱乐部组织10名成员(7名男性，3名女性)前往某无人岛进行野外生存挑战为了便于管 理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在 同一组，则不同的分组方法共有() A.105种 B.168种 C.210种 D.273种 第1页 8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相 互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小 球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的 某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则 小球最终落入④号球槽的概率为() ABC品 D.ig ①②③④⑤⑧ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。 9.己知离散型随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 P q2 0.5-q 0.74 则下列选项中正确的是() A.q=0.6 B.q=0.4 C.E(X)=1.58 D.D(X)=0.5636 10.给出下列命题，其中正确的是() A向量ā=(53,1).石=(（2，t-引若夹角为钝角，则实数t的取值范围为(-m,需) B.在空间直角坐标系中，点P(-2,1,3)关于x轴的对称点的坐标是P′(-2，-1，-3) C.平行四边形ABCD中，AB=AC=1,∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使得AB与CD 成60°，此时B,D间的距离为2 D.在空间四边形ABCD中，∠ABD=LBDC=90°，AC=2BD,则BD在AC上的投影向量为AC 11.已知(2-x)(1+x)2025=a0+a1x+a2x2+·+020262026,则(） A.a1=4049 B.a0+a2+a4+.+a2026=22025 C.2026a0+2025a1+2024a2+·+a2026=32026 D.a1+2a2+3a3+.·+2026a2026=2024×22024 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 共2页 12.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边可以不相邻)，则所有不 同排法的种数是 13.计算C经+C?+C+C号+c哈=· 14.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，线段AD,BD的中点分别为E,F,现将△ABD沿对角线BD翻 折，则异面直线BE与CF所成角的余弦值的取值范围是 D A E B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、 平面ABCD的中心 D (1)求证：B1O31PA O (2)求异面直线P03与0102所成角的余弦值： B (3)求P02的长。 16.(本小题15分) 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球， (1)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X, 求X的分布列： (2)若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为 Y,求Y的分布列和均值. 第2页， 17.(本小题15分) 有4名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式-最后用数字作答）. (1)排成前后两排，前排3人，后排4人： (②)全体排成一排，女生必须站在一起； (3)全体排成一排，女生互不相邻： (④)甲不站在排头，乙不站在排尾； 18.(本小题17分) 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2,∠ABC=60°，M是AB的中点. (1)求证：EM⊥AD: (2)求二面角A-BE-C的余弦值： (3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成 的角为45，若存在，求出影的值：若不存在，说明理由。 M 19.(本小题17分) 甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答 对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学愿，给出文学题的概率为}，给出 利学题的概李为2已知甲答对文学慰与利学题的概率分别为片，圣，乙答对文学题与科学题的率均 13 3 为分，且各轮答题正确与否相互独立。由抽签确定第1次答思的人途，第1次答题的人是甲、乙的餐率 各为2 (1)已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； (2)求第2次答题的人是乙的概率： (③)求第1次答题的人是甲的概率. 共2页2026年春学期高二年级期中考试 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.B 2.C3.A4.C 5.C 6.D. 7.【答案】D 解：由题意将10人分成两组，可能为4+6或5+5两种形式， 若为4+6分组：有C三210种分法，若为5+5分组：有=126和 故总分组数为210+126=336， 其中不满足题意的情况即3女同组： 4+6分组时，3女在4人组：需选1男，有C=7种， 3女在6人组：需选3男，有C=35种，共7+35=42种情况： 5+5分组：3女在一组时需选2男，有C号=21种情况. 故3女同组的情况数：42+21=63种. 故总的方法种数为336-63=273. 故选：D 8.【答案】D 解：设小球最终落入④号球槽为事件A, 小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为分，并且相互独立， 最终落入④号球槽是两次向左，三次向右， 小球最终落入④号球槽的概率为： P(A=c)(分=器 故选：D, 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.BCD 10.BD 11.AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.72 13.35 14[0,2) 第1页，共6页 【解析】设菱形ABCD的边长为1， BE-CF-BD =1.E-(BA+BD).CF-(CB+CD)=(BD-2B0). 所以丽.示=丽+而)而-20=丽.丽-丽，元+前-丽.配=日cs<B丽， BC>+-京日os<B风，8C>, 所以s<丽，不票好-s<风C) 由题图可知0<<BA,BC><2, 31 所以-<cos<BA,BC><1, 所以-2<cos<BE,示>< 所以cos<BE,C示>< 即异面直线BE与CF所成角的余弦值的取值范围为[0，). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, B1(1,11),03(G2,0,P(0,0,),A(1,00), a-(22小p财=(o》 B10·pA=-+0+2=0, .B103 1 PA; …5分 因（匠2.（侵引 ÷00=(（0,-》 P0= 111\ P03·0102 √6 PO3 0.02 3 号面直线P0,与0,0，所成的角的余弦值为， …10分 3)02(后，1)，P(0.0) P0=9 ……13分 第2页，共6页 16解：()若每次抽取后都放回，则每次取到黑球的概率均为品 …2分 则X~B(3,) P(X=0)= c()'(品)= PX=1)= c()()- 441 1000 P0x-2)-c(×7- 189 PK=)=C(品) 27 二1000 ·X的分布列为： 0 1 2 3 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 …7分 (2)若每次抽取后都不放回，取到红球的个数Y服从超几何分布， P(Y=0)= ci0121 PY=)= -5 i012 P(Y=2)= 贴=5 ci1012 P(Y=3)= Cio ∴Y的分布列为： 0 1 5 5 1 12 12 12 12 …12分 则E0)=1×品+2×品+3×立-号 …15分 第3页，共6页 17.解：(1)先选3人站前排有A种方法，余下4人站后排有A种方法， 共有A号×A4=5040(种) …3分 (2)捆绑法，将3名女生看成一个整体有A种，再与4名男生进行全排列有A种， 共有A?×A=720(种) …7分 (3)插空法，先排男生A生，再在5个空位中插入3名女生，有A种， 所以共有A生×A=1440(种). …11分 (4分为两种情况： ①甲在排尾时有A种， ②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排排尾C,甲从中间5个位置中安排一个C,剩下5人排列A, 则CCEA种， 所以共有A?+CC4=3720(种)， …15分 18.(1)证明：~EA=EB,M是AB的中点， ·EM1AB, 因为平面ABEI平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,EMC平面ABE, .EM⊥平面ABCD, 又ADC平面ABCD, EM⊥AD. …5分 (2)解：EM⊥平面ABCD,MCC平面ABCD, ·EM1MC, 菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形， .MC⊥AB MB、MC、ME两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系M-xyz. …7分 第4页，共6页 则M(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,V√3,0)，E(0,0,V3) BC=(-1,V3,0),BE=(-1,0,V3): 设元=(x,y,z)是平面BCE的一个法向量， 则mC=-x+V5y=0 (m.BE=-x+√3z=0 令z=1,得m=(√3,1,1)， …9分 ·y轴与平面ABE垂直， ∴.元=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量. 0s<元，元>额F子 m元。_1_=5 二面角A-BE一C的平面角是锐角， 所以二面角A-BE-C的余弦值为5 …12分 (3)解：假设在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45°. AE=(1,0,V3),E元=(0，V3,-V3) 设EP=E元=(0，V31,-√3)(0≤1≤1)： 则AP=A正+EP=(1,V3λ，V3-V3): …14分 因为直线AP与平面ABE所成的角为45°， sin45°=cos<Ap,元>|-，p列 lAP 3 V1+312+3-61+372×12 由0≤1≤1，解得A=号 所以在线段EC上存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45，且配=子 EC …17分 第5页，共6页 1、1,232 19.解：（四甲答对题目的概率为32343； …3分 11,2×1-1 (2②)乙答对题目的概率为32322 …6分 记“第i次答题的人是甲”为事件A，“第次答题的人是乙”为事件B, 所以P(B)=P(4B)+P(B,B) =P(A1)P(B2A1)+P(BI)P(B2 B1) 9分 -3 2 12 12分 (3)设P(4)=A,依题可知，P(8)=1-B, P(A)=P(4A)+P(BA)=P(4)P(An4)+P(B.)P(AB.), .14分 设+=+- 3 31 6 ,解得5，则 31 2,A510, 又 所以 1 1 了是首项为10，公比为6的等比数列， …17分 第6页，共6页