精品解析：北京市海淀区教师进修学校2025-2026学年下学期第二学期期中高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学 考生须知 1．本卷共4页，包括三个大题，21小题，满分为150分．练习时间120分钟． 2．考生务必将答案答在答颜纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题统交问． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：木题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合随目要求的一项 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 3. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 5. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 6. 随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活.已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，存在使得 B. 当时，存在使得 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数；当时， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 函数的单调递增区间是__________. 12. 已知，则___________；___________． 13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 14. 函数；若存在实数，使得对于任意，都有，写出实数的一个取值是___________；若存在不相等的，满足，则实数的取值范围是___________． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 17. 为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； （3）从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 18. 设函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间： （3）当时，求零点的个数． 19. 网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. （1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； （2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； （3）记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 20. 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线经过点，求的值； （2）证明：函数存在极小值； （3）记函数的最小值为，求的最大值． 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学 考生须知 1．本卷共4页，包括三个大题，21小题，满分为150分．练习时间120分钟． 2．考生务必将答案答在答颜纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题统交问． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：木题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题的四个选项中，选出符合随目要求的一项 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：，求导得，正确； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D： ，错误. 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 5. 已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 240 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】因为的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等， 所以，所以 . 所以的通项为 令 ，解得，所以 ， 故展开式中的常数项为60. 6. 随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活.已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式计算即可得到结果. 【详解】记事件为“该充电宝循环充电超过500次”，则，记事件为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则，易知，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决条件概率问题的关键分清两个事件的关系，分清事件同时发生的概率. 7. 等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可. 【详解】因为， 所以， 若，则关于n的函数单调递增， 所以数列为递增数列； 若为递增数列，则， 即，解得. 所以“”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：A 8. 对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据，得到时，单调非递增函数，时，单调非递减函数求解. 【详解】因为， 所以当，即时，，则单调非递增函数， 所以； 当，即时，，单调非递减函数， 所以； 由不等式的性质得：. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题. 9. 已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根. 详解：函数， 函数的定义域是， ， 是函数的唯一一个极值点， 是导函数的唯一一个极值点， 在无变号零点， 令， ， ①时，恒成立，在时单调递增； 的最小值为，无解； ②时，有解为：， ，，在单调递减， 时，，在单调递增， 的最小值为， ， 由和图象，它们切于， 综上所述，. 故选：A. 点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论. 10. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，存在使得 B. 当时，存在使得 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数；当时， 【答案】D 【解析】 【分析】利用数学归纳法判断AB，利用反例判断C，利用构造法求出的通项判断D. 【详解】对于选项AD，当时，， 我们用数学归纳法证明：. 当时，由题设，故成立， 设当时，成立，则， 因为，故，故 由数学归纳法可得成立，故A错误. 而，故， 若，则，故，此时，则， 若，则任意，否则，依次有，矛盾， 所以，其中，故， 所以， 而，故，故. 设,故，其中， 所以，所以即， 故，其中， 因为，故，故，， 令，则 ， 则当 时， 有，故D正确. 对于BC，, 当时，同A的分析仍由数学归纳法可得，故B错误， 取，则，依次有，此时为常数列，故C错误. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间. 【详解】因为，则其定义域为， ，令， 即可得，解得， 结合函数定义域可知，函数的单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 12. 已知，则___________；___________． 【答案】 ①. 1 ②. 15 【解析】 【分析】使用赋值法求解. 【详解】令，得，所以； 令，， 所以. 13. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果. 【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ∵，∴，解得或（舍）， 令，则，， ∴满足条件的一组，，的值依次为. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 函数；若存在实数，使得对于任意，都有，写出实数的一个取值是___________；若存在不相等的，满足，则实数的取值范围是___________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性，结合图象求解. 【详解】函数，，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，如图① 将平移可得当时，取得最大值，即可以取内的任意值； 用平行于轴的直线截函数的图象，有3个交点时，存在不相等的，满足， 当时，如图②，最多有2个交点不符合题意； 当时，如图③，存在3个交点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对与分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得. 【详解】对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误； 对②：，即， 当时，有，故是该方程的一个根； 当，时，由，故，结合定义域可得， 有，即， 令，，有或（负值舍去），则， 故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根； 当，时，由，故，结合定义域有， 有，即， 令，， 有或（正值舍去）， 令，即，则， 即，故在定义域内亦必有一根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确； 对③：令，则有，， 令，，， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，，故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或， 当时，由，有，故成立； 当时，即有， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则, 故； 综上所述，恒成立，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况. 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解. 【小问1详解】 设公差为，则，解得， 则，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 因为是公比为2的等比数列， 所以， 所以，. 所以 . 17. 为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； （3）从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）与互相独立 【解析】 【小问1详解】 频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得： ，解得：. 【小问2详解】 由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . 【小问3详解】 已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组， . 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间， . 若与独立，则. 计算可得 ， 因为 ，所以， 因此与互相独立. 18. 设函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调区间： （3）当时，求零点的个数． 【答案】（1） （2）当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）2个零点. 【解析】 【分析】（1）求出导数，代入切点坐标，求出对应切点斜率，利用点斜式即可求出切线方程； （2）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （3）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【小问1详解】 若，则，则 ， 因为 ，所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，令 ，解得， 因为， 所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则 ， 令 ，则， 因为，所以，此时单调递减，则， 所以， 因为，且 ，所以在存在一个零点， 因为 ， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点. 19. 网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. （1）从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； （2）假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； （3）记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率公式计算即可； （2）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的即可； （3）分别计算即可比较大小. 【小问1详解】 记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”， 根据数据知，仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低， 所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率． 【小问2详解】 记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”， 根据数据知，在未来的日子里，某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为． 则． 所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为． 【小问3详解】 ， 最大的三个数为：，最小的三个数为：， 这6个数之和为， 故， 故. 20. 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线经过点，求的值； （2）证明：函数存在极小值； （3）记函数的最小值为，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）0 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线方程，进而可求解； （2）通过二次求导，确定函数的单调性，即可求证； （3）由（2）得到，构造函数，求导确定单调性，进而可求解. 【小问1详解】 求导，得， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 将点代入切线方程，得． 【小问2详解】 函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． 【小问3详解】 由（2）知，函数有最小值． 由，得． 所以． 设函数，则． 今，得（舍）或． 当变化时，与的变化情况如下： 1 + 0 - 极大值 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，，即当时，． 结合，知当时，． 由函数的导数，知其在区间上单调递减， 故当且仅当时． 所以当时，取得最大值0． 21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且A中所有数不全相同，A中第行第列的数，记为A的第行各数之和，为A的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数． （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：； （3）当时，求的最小值． 【答案】（1），；， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按定义求出，，，，进行求解即可． （2）分两种情况进行证明，即①或，②且分别证明即可． （3）因为，分情况讨论：①若或时；②若或；③若，进行求解． 【小问1详解】 ，；，． 由定义可知：将数表A中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变． 因为为奇数，，所以，均不为0． 【小问2详解】 当或时，不妨设，即，． 若，结论显然成立； 若，不妨设，，则，，． 所以，结论成立． 当且时，不妨设，，，， 则当时，；当时，． 因为当，时，，， 所以． 所以． 同理可得：，，． 所以． 【小问3详解】 当时，的最小值为．对于如下的数表A，． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 下面证明：． 设中恰有个正数，中恰有个正数，． ①若或，不妨设，即，． 所以当时，． 由中所有数不全相同，记数表中1的个数为，则， 且，． 所以． ②由①设且．若或，不妨设， 则由（2）中结论知：． 因为， 所以． ③由①②设且． 若，则由（2）中结论知：． 因为， 所以． 若，，不妨设，，，且， 由（2）中结论知：．所以． 若数表中存在为1，将其替换为后得到数表． 因为，， 所以． 所以将数表中第行第列为1的数替换为后值变小． 所以不妨设． 因为，， 所以，故的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是读懂、理解题中数表的性质，关键之二是利用分类讨论思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $