精品解析：北京市平谷中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026北京平谷中学高二（下）期中 数学 （时间120分钟，满分150分） 2026.5 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（　　） A. B. 0 C. D. 2. 若，则（ ） A. 90 B. 270 C. 496 D. 1024 3. 一袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的4个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 展开式中含的系数（ ） A. 120 B. 27 C. 126 D. 7. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ） A. 84 B. C. 15 D. 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 P 0.16 0.44 0.40 则________，________. 12. 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 13. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻.不同排法种数为________（用数字作答） 14. 若，则的值为______． 15. 已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表： x 0 2 4 5 3 1 2.5 1 3 的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论： ①在区间上单调递增； ②有2个极大值点； ③的值域为； ④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103； 高三（4）班：158，132，130，127，110，106． 假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． （1）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； （2）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望； （3）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 17. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； （2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. （1）求证:平面； （2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 21. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京平谷中学高二（下）期中 数学 （时间120分钟，满分150分） 2026.5 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知，那么函数在x＝π处的瞬时变化率为（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出，根据导数的定义即可得到结论． 【详解】由题设，， 所以， 函数在x＝π处的瞬时变化率为， 故选：A． 2. 若，则（ ） A. 90 B. 270 C. 496 D. 1024 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，则， 令，则， 相加得，解得. 3. 一袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的4个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出第一次取白球的概率，再求两次都为白球的概率，最后用条件概率求出结果. 【详解】设A事件为第一次取白球，则概率为， 设B事件为第二次取白球，则, 因此在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率. 4. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B． 考点：古典概型及其概率的计算． 5. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 所以曲线在点处的切线斜率为. 6. 展开式中含的系数（ ） A. 120 B. 27 C. 126 D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意知，含的项由以下三项合并而成，展开式中的常数项与展开式中的二次项的积； 展开式中的一次项与展开式中的一次项的积； 展开式中的二次项与展开式中的常数项的积； 所以， 所以展开式中含的系数是. 7. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4 、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的数据，求出平均数及对应的方差即可判断作答. 【详解】甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的平均值分别为， ，； ，； ，， 由得. 故选：B 8. 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是（ ） A. 84 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数，最后带回公式求得常数项. 【详解】二项式系数和为， 则， 其展开式通项为， 令，所以常数项为. 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导， 故在上为正，在上为负减， 故在上单调递增，在上单调递减， 最大值为，故B选项满足的图像. 10. 已知函数若对于任意都有，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由在定义域内恒成立即可得． 【详解】对于任意都有，则在定义域内是减函数， ，所以在时恒成立，即，而， 所以． 故选：B． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 已知随机变量X的分布列为 X 1 3 P 0.16 0.44 0.40 则________，________. 【答案】 ①. 1.32 ②. 7.64 【解析】 【详解】； . 12. 展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为________. 【答案】1 【解析】 【分析】先依据二项式系数的对称性确定的取值，再用赋值法计算展开式的各项系数之和. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开式共9项，即，解得， 取，得展开式各项系数之和为. 13. 六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻.不同排法种数为________（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【详解】将学生甲和学生乙视为一个整体与余下4人做全排列，并对甲乙进行排列， 所以不同排法种数为. 14. 若，则的值为______． 【答案】80 【解析】 【分析】由，结合二项展开式的通项公式，得解. 【详解】由，则. 故答案为：80. 15. 已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表： x 0 2 4 5 3 1 2.5 1 3 的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论： ①在区间上单调递增； ②有2个极大值点； ③的值域为； ④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】③④ 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合作出判断. 【详解】根据函数的导函数的图象与表格，整理出函数的大致图象，如图所示． 对于①，在区间上单调递减，故①错误； 对于②，有1个极大值点，2个极小值点，故②错误； 对于③，根据函数的极值和端点值可知，的值域为，故③正确； 对于④，如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是③④． 故答案为：③④ 三、解答题：（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. 跳长绳是中国历史悠久的运动，某中学高三年级举行跳长绳比赛（该校高三年级共4个班），规定每班22人参加，其中2人摇绳，20人跳绳，在2分钟内跳绳个数超过120个的班级可获得优胜奖，跳绳个数最多的班级将获得冠军，为预测获得优胜奖的班级个数及冠军得主，收集了高三年级各班训练时在2分钟内的跳绳个数，并整理得到如下数据（单位：个）： 高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94； 高三（2）班：137，126，116，108； 高三（3）班：163，134，112，103； 高三（4）班：158，132，130，127，110，106． 假设用频率估计概率，且高三年级各班在2分钟内的跳绳个数相互独立． （1）估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率； （2）用X表示此次跳长绳比赛中获得优胜奖的班级个数，估计X的数学期望； （3）在此次跳长绳比赛中，哪个班获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）高三（3）班 【解析】 【分析】（1）用古典概型概率计算公式即可求解. （2）分别记三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件、、、,则、、，由题意得的取值为0,1,2,3,4，分别计算出对应概率即可求解数学期望 （3）高三（3）班：163，134，112，103的数据中163为最大数据且134为较大数据即可判断. 【小问1详解】 记高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件. 由题知高三（1）班在2分钟内的跳绳个数超过120个的有次，用频率估计概率，估计高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖的概率为 【小问2详解】 分别记高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖为事件、、, 则、、， 由题意得的取值为0,1,2,3,4 所以 则的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以 【小问3详解】 在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大 17. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）： 12月 1月 2月 3月 4月 5月 轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0 MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4 SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5 （1）从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率； （2）从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出这6个月月度零售销量平均值，再利用古典概型的概率公式求解即可； （2）根据题意求得的所有可能取值，利用古典概型的概率公式求得各取值的概率，从而得到的分布列，进而可得的数学期望； （3）利用方差的求法，结合题意所给数据求解即可. 【小问1详解】 这6个月MPV车型月度零售销量平均值为 故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月， 所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份， 该月MPV零售销量超过的概率为. 【小问2详解】 从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月， 所以的所有可能取值为， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故的数学期望. 【小问3详解】 依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为， 其平均值为， 所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为， 所以， 同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为， 其平均值为， 所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为， 所以， 故. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点. （1）求证:平面； （2）再从条件①，条件②两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，,证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）选条件①，由可证,继而证明平面,推出，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案； 选条件②，根据，证明，结合,建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用面面角的空间向量求法，即可求得答案； 【小问1详解】 取中点，连接，, 因为为中点，所以有且, 因为，，所以且, 所以四边形为平行四边形, 所以, 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 选择条件①： 因为平面平面，为矩形,, 平面平面平面, 所以平面,平面, 所以, 又因为，由（1）可知，平面， 所以，又因为，平面， 所以平面,平面,所以, 平面,故平面, 以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立坐标系， 则，，，, 则，，设平面的法向量， 则，令，则， 因为平面，故可作为平面的法向量， 则平面与平面夹角的余弦值. 选择条件②：. 因为平面平面，为矩形, 平面平面平面, 所以平面,而PA在平面PAD中，所以, 又因为， 取中点为，连接，， 则有，, 所以, 所以,则,所以, 平面,故平面, 以A为原点，以，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，, 则，，设平面的法向量， 则，令，则， 因为平面，故可作为平面的法向量， 则平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）设函数，求的单调区间； （3）判断极值点的个数，并说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出导数，然后求出，从而求解. （2）由（1）知，然后求出导数，从而可求解. （3）根据（2）中分类讨论的情况，然后求出相应的解，从而求出单调区间，从而求解. 【小问1详解】 由题意知，定义域为，所以， 所以直线的斜率，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，即，解得或， 当，， 当，， 当，， 所以在，单调递增，在单调递减. 【小问3详解】 个极值点，理由如下： 由（2）知当时，在区间上单调递增， ，， 所以存在唯一，使； 当时，在区间上单调递减， ，， 所以存在唯一，使； 当时，，，所以 所以在区间无零点； 综上，当，， 当，， 当，， 所以当时，取到极小值；当时，取到极大值； 故有个极值点. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 21. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．若以为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积是定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于，，的方程组，求得，的值，则椭圆方程可求； （2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值． 【小问1详解】 由题意，可得，解得，，， 所以椭圆为. 【小问2详解】 证明：把代入椭圆方程， 得， 所以，即， 设，，则，， 所以， 因为四边形是平行四边形， 所以， 所以点坐标为. 又因为点在椭圆上， 所以，即. 因为， 即. 又点到直线的距离， 所以平行四边形的面积 ， 即平行四边形的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $