精品解析：广东惠阳高级中学初中部2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试题

2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试题 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在中，，，将边与数轴重合，点，点对应的数分别为0，3．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. 若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 6. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 12 7. 菱形的周长为，其相邻两内角的度数比，则此菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 12. 如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 14. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 三、解答题（本大题有3个小题，每小题7分，共21分） 16. 已知：，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 17. 在一条南北向的海岸边建有一港口，，两支舰队从点出发，分别往不同的方向进行海上巡查．已知舰队以15海里/小时的速度向北偏东方向行驶，舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶；两小时后，，两支舰队相距34海里，你知道舰队是往什么方向行驶的吗？ 18. 如图，在中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求的面积． 四、解答题（本大题有3个小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论） （1）面积为13的正方形（边长是无理数）； （2）三条边长分别是的直角三角形． 20. 在菱形中，点P是边上一点，连接，点E，F是上的两点，连接，使得 求证： （1）； （2）． 21. 在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． （1）判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 五、解答题（本大题有2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 23. 如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： （1） ， （2）当 时，四边形为平行四边形； （3）如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试题 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A. ，故本选项错误； B. ，故本选项错误； C. ，故本选项正确； D. ，故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键． 3. 若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】解：由题意可得：，且， ∴且， 故选：D． 4. 如图，在中，，，将边与数轴重合，点，点对应的数分别为0，3．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知，再根据勾股定理求，最后看图中点的位置求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵在中，，， ∴， ∴， 又∵点在点的左边，点表示的数为0， ∴点表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴与几何的综合，读懂题意，熟练运用勾股定理是解题的关键． 5. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ） A. 若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C. 若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∵OA=OD， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． 6. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为2和10，则b的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；由正方形的性质得，，，，由可判定，由全等三角形的性质得，由即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：如图 直线l上有三个正方形a，b，c， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ； 故选：D． 7. 菱形的周长为，其相邻两内角的度数比，则此菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻两内角的度数比为，可求出一个角，根据周长为，求出菱形的边长，根据直角三角形里角的性质求出高，从而求出面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是菱形，且其周长为， ∴，， ∴， ∵菱形相邻两内角的度数比为，即， ∴， ∴， ∴， 即此菱形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8. 如图平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行且相等的性质，可知平行且等于，结合点的坐标和的长度，利用平移规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵在轴上，， ∴轴，， ∵ ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为，点的横坐标为， ∴点的坐标是． 9. 如图，四边形中，，分别以四边形的四条边向外作正方形，这四个正方形的面积分别是为、、、，若，则的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由得到，是直角三角形，根据勾股定理得到，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 二、填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，则_________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由矩形的性质及勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴, 故答案为：2.5． 12. 如图在中，对角线，交于点O，且，，则的周长是_______． 【答案】18 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵ ∴ ∴的周长是． 13. 如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 14. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可． 【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母， ①情况一：经过前侧和右侧，如图所示， ∴； ②情况二：经过前侧和上侧，如图所示， ∴， ∴， 故蚂蚁爬行的最短路程为20cm； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理是解题的关键． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 三、解答题（本大题有3个小题，每小题7分，共21分） 16. 已知：，，分别求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）首先求出，，然后将因式分解后代入求解； （2）将因式分解后代入求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴． 17. 在一条南北向的海岸边建有一港口，，两支舰队从点出发，分别往不同的方向进行海上巡查．已知舰队以15海里/小时的速度向北偏东方向行驶，舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶；两小时后，，两支舰队相距34海里，你知道舰队是往什么方向行驶的吗？ 【答案】舰队是往南偏东方向行驶的． 【解析】 【分析】在向北的坐标轴上点上方取一点，在点下方取一点，根据勾股定理的逆定理得到，进而可得到答案 【详解】解：在向北的坐标轴上点上方取一点，在点下方取一点． 由题意可得海里，海里，海里． ， ， 是直角三角形， ． ， ． 答：舰队是往南偏东方向行驶的 18. 如图，在中，对角线相交于点，且． （1）求的度数； （2）求的面积． 【答案】（1）的度数为；（2）24 【解析】 【分析】（1）由平行四边形对角线互相平分的性质再结合勾股逆定理可判定是直角三角形，易知； （2）由平行四边形的性质可知，求出的面积即可. 【详解】解：在中,对角线相交于点,且, ， ． 又且, , 是直角三角形, 的度数为 平行四边形的每一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分， ; 的面积为 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，涉及了勾股定理，灵活应用平行四边形对角线互相平分的性质是解题的关键. 四、解答题（本大题有3个小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，每个小正方形的边长都是1，按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论） （1）面积为13的正方形（边长是无理数）； （2）三条边长分别是的直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）正方形面积为 13,根据正方形面积公式,可得边长，由勾股定理,因此可在网格中取横向3格、纵向2格的线段作为正方形的边长，依次作出四边相等、四个角为直角的格点正方形即可； （2）先利用勾股定理逆定理验证：，因此该三角形为直角三角形，直角边为、，斜边为，再结合网格与勾股定理：，，，在网格中构造对应线段，首尾顺次连接成三角形即可． 【小问1详解】 解：如图 1,正方形即为所求， 边长， 正方形面积 ，满足要求， 结论：正方形即为面积为13的正方形． 【小问2详解】 解：如图2，即为所求， ， ， ， 且，故是直角三角形，满足要求． 20. 在菱形中，点P是边上一点，连接，点E，F是上的两点，连接，使得 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据菱形的性质得，可推出即可求证； （2）由得即可求证． 【小问1详解】 解：∵是菱形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ∵ ∴ 21. 在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，x，y，z为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，，，所以它是“和谐数组”． （1）判断： “和谐数组”， “和谐数组”（填“是”或“不是”）； （2）若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为18，求a的值． 【答案】（1）是；不是 （2）或12． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐数组”定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“和谐数组”的定义计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，则是“和谐数组”； ，不是整数，则不是“和谐数组”； 【小问2详解】 解：因为为“和谐数组”， 则， 若，即，解得，，符合题意； 若，即，解得，，符合题意； 所以或12． 五、解答题（本大题有2个小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． （1）如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； （2）如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】（1） （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； 【小问3详解】 解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 23. 如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设运动时间为回答下列问题： （1） ， （2）当 时，四边形为平行四边形； （3）如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以的速度沿线段向终点运动；同时动点从点出发以的速度在边上做往返运动，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为．当为何值时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1），； （2）； （3）的值为或或． 【解析】 【分析】（）利用二次根式有意义的条件即可求解； （）由于，所以当时，四边形为平行四边形，根据列出关于的方程，解方程即可； （）若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则，分当，，，时列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由， ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：根据题意，得，，则． ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得． 故当时，四边形为平行四边形； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 若以，，，四点组成的四边形是平行四边形，则， 当时，，， ∴， 解得（不合题意,舍去）； 当时，，， ∴， 解得； 当，，， ∴， 解得； 当时，，， ∴， 解得； 综上可得：的值为或或时，以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $