精品解析：广东深圳市龙岗区坪地中学等校2025—2026学年第二学期学科素养期中诊断 八年级数学（第一章～第四章）

2025—2026学年第二学期学科素养期中诊断 八年级数学（第一章～第四章） 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是假命题 C. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 D. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等 7. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（ ） A. 15秒 B. 秒 C. 10秒 D. 5秒 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________． 10. 若点与点关于原点O成中心对称，则________． 11. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 12. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，________． 13. 如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： （1）________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． （2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． （1）点的坐标为________，请画出； （2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 17. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 18. 为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． （1）求排球、足球的单价各是多少元？ （2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 19. 定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”． （1）是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”） （2）是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号） （3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________； （4）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围． 20. 阅读材料，并解决问题： （1）【思维指引】如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F为边上两点，且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论； （3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，，，请你求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期学科素养期中诊断 八年级数学（第一章～第四章） 说明：全卷共4页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； D、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质1，不等式两边同时加同一个整式，不等号方向不变，来判断A和B选项；根据不等式的性质2，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，来判断C选项；根据不等式性质3，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，来判断D选项，即可作答． 【详解】解：∵ ∴，，， 因此选项A，B，C都是不符合题意； 由不等式性质3，两边同时乘上，得， 因此选项D符合题意； 3. 如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵因式分解需要满足：左边是多项式，右边是几个整式的乘积，且左右两边相等， 对A，右边中是分式，不是整式，∴A不属于因式分解； 对B，，左右不相等，变形错误，∴B不属于因式分解； 对C，右边是和的形式，不是整式乘积的形式，∴C不属于因式分解； 对D，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且左右相等，符合因式分解的定义，∴D属于因式分解． 5. 如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 下列说法中，错误的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. “对顶角相等”的逆命题是假命题 C. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于 D. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】逆命题真假判断，反证法的应用，三角形垂直平分线的性质，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：对选项A，等腰三角形只有顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，不是任意的高、中线、角平分线都重合，因此该说法错误，符合题意； 对选项B，“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题，该说法正确，不符合题意； 对选项C，用反证法证明时，需要假设结论的反面成立，原结论是“必有一个角不大于”，其反面就是“每个内角都大于”，该说法正确，不符合题意； 对选项D，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，该说法正确，不符合题意． 7. 如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的性质，把整理得，再根据一次函数与的图象交于点，以及运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵一次函数与的图象交于点， ∴的解集为， 即不等式的解集为． 8. 将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（ ） A. 15秒 B. 秒 C. 10秒 D. 5秒 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与直线交点为点H，与交点为K，求出，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图，当时，设直线与直线交点为H，与交点为K， ∴， ∵，（因为）， ∴， ∴， ∴旋转时间为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 10. 若点与点关于原点O成中心对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于原点对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：点关于原点中心对称点为：， ∴，， 则． 11. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 12. 如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，________． 【答案】5 【解析】 【分析】由勾股定理得到，垂直，平分，得到，继而推导出，得到设，则，勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由题意可知，垂直，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 设，则， 在中，，得到 ， 解得 ∴． 13. 如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先理解题意，结合等边三角形的性质得，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，得出，运用三边关系以及垂线段最短得当时，有最小值，故，，此时的值最小，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点P作，连接，如图所示： ∵等边三角形的边长为6， ∴， ∵D为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 当三点共线时，， 当时，有最小值，垂线段最短， 则，， 此时的值最小， 在中，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为：， 其解集在数轴上表示如图所示． 15. 在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步 任务： （1）________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误． （2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程． 【答案】（1）小圳，一 （2）正确步骤见解析， 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减运算法则即可得答案； （2）先利用平方差公式因式分解，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误． 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为． （1）点的坐标为________，请画出； （2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】（1），图见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质，画出，并读取点的坐标； （2）结合是的边AC上一点，将平移后点P的对应点是，得出平移规律是向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，据此画出平移后的； （3）连接对应点，它们的交点即为对称中心点，再读取坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 则点的坐标为； 【小问2详解】 解：所作如图所示： 【小问3详解】 解：∵和关于某一点成中心对称， ∴图中点即为对称中心，的坐标为． 17. 如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的长为 （2）的度数为 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据的周长为进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，分别垂直平分和， ，， ． ∵的周长为， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ，， ，， ． ， 即的度数为． 18. 为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． （1）求排球、足球的单价各是多少元？ （2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【答案】（1）排球的单价是90元，足球的单价是70元 （2）最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元 【解析】 【分析】（1）设排球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买m个排球，则购买个足球，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设学校购买排球和足球的总费用为w元，得到，推导出w随m的增大而增大，且m为整数，则当时，w取得最小值5100，此时（个），即可解答． 【小问1详解】 解：设排球的单价是x元，足球的单价是y元， 根据题意，得， 解得． 答：排球的单价是90元，足球的单价是70元； 【小问2详解】 解：设购买m个排球，则购买个足球，根据题意，得 ， 解得． 设学校购买排球和足球的总费用为w元，则， 即， ， ∴w随m的增大而增大， 又，且m为整数， ∴当时，w取得最小值5100，此时（个）． 答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元． 19. 定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”． （1）是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”） （2）是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号） （3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________； （4）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围． 【答案】（1）是 （2）③ （3）6， （4） 【解析】 【分析】（1）根据“和谐解”的定义进行求解即可； （2）根据“和谐解”的定义进行求解即可； （3）将代入，求出，推导出，得到，继而推导出，求出，即可解答； （4）先推导出，再将，代入不等式组，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：解得， ， 当时，， ∴是方程与不等式的“和谐解”； 【小问2详解】 解：解，得 ， 解，得 ， ∴不是不等式的解，①不符合题意； 解，得 ， ∴不是不等式的解，②不符合题意； 解，得 ， ∴是不等式的解，③符合题意； 【小问3详解】 解：将代入，得 ， 解得， ∴将代入，得 ， 即， 由关于的不等式组有解， ∴， ∵是该不等式组的一个解， ∴， 解得， ∴，； 【小问4详解】 解：∵是关于的方程的解， ∴， 即， 将，代入不等式组，得 解得， ∴n的取值范围是． 20. 阅读材料，并解决问题： （1）【思维指引】如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F为边上两点，且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论； （3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，，，请你求出的最小值． 【答案】（1）等边； （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，，根据旋转的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，，然后可得，则有，进而根据勾股定理可得证； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，由题意易得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．过点A作的垂线，交延长线于点H．然后根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接， ， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 【小问2详解】 解：．证明如下： 如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 由旋转的性质，得，，，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理，得， 即； 【小问3详解】 解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 由旋转的性质，得，，，， ∴， ， ， ∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长． 过点A作的垂线，交延长线于点H． ， ， ， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $