精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024-2025八年级数学（下）第二次拓展训练 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，8，13 C. 1，1， D. 1，，4 3. 下列各曲线中表示是的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 点在一次函数的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝6，则DE＝（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 8. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 9. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边作菱形轴，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 20 二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在圆的面积公式中，常量是_____________． 12. 化简二次根式的结果等于______． 13. 如图，中，，则____________． 14. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是________． 三、解答题（一）（本小题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，点 、、 分别在、 、上， ，，且 是的中点．求证： 18 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值． 四、解答题（2）（本小题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9） （1）求这个一次函数的解析式； （2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 21. 如图所示，中，，，，把折叠，使落在直线上． （1）判断的形状． （2）求重叠部分（阴影部分）的面积． 五、解答题（三）（本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：有一个角为直角平行四边形是矩形． （1）如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； （2）如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 23. （1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025八年级数学（下）第二次拓展训练 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故选C． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，8，13 C. 1，1， D. 1，，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，结合选项中的边长，利用勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于，由勾股定理的逆定理可知，4，5，6不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、由于，由勾股定理的逆定理可知，5，8，13不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C、由于，由勾股定理的逆定理可知，1，1，能作为直角三角形三边长，符合题意； D、由于，由勾股定理的逆定理可知，1，，4不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 故选：C 3. 下列各曲线中表示是的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查函数图象的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以C正确． 故选：C 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除计算法则分别计算并判断． 【详解】解：A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，正确掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键． 5. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 点在一次函数的图象上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数自变量， 将点代入一次函数解析式即可求解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：C． 7. 在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC中点，BC＝6，则DE＝（　　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得答案． 【详解】如图， 点D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝6， 是的中位线， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 8. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）. A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边都相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故选：B． 9. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：在一次函数中，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴图象一定不经过第二象限． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边作菱形轴，则菱形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理或两点间的距离公式计算出线段的长，最后利用菱形的性质计算周长即可．本题是一道函数与几何的综合题．重点考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，两点间的距离公式（或勾股定理），菱形的性质．如果是使用两点间距离公式，注意公式的正确使用：设点，，则A、B两点间的距离． 【详解】解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令，得，解得， ∴， 则． 令，得， ∴， 则． 在中，． ∵四边形是菱形， ∴． ∴． 故选：D． 二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在圆的面积公式中，常量是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据常量、变量的定义，可得答案． 【详解】解：在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了常量与变量，常量是在事物的变化中保持不变的量． 12. 化简二次根式的结果等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 13. 如图，中，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，理解并掌握勾股定理是解题关键．勾股定理：在直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形中，，易证得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，记的中点为，连接，则，由正方形，勾股定理得，，由题意知，，即，然后作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴由勾股定理得，， 由题意知，，即， ∴线段长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 三、解答题（一）（本小题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算． （1）原式先计算二次根式的乘法，然后再进行除法运算即可； （2）原式直接进行二次根式乘法运算，然后再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，点 、、 分别在、 、上， ，，且 是的中点．求证： 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】证明：∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四边形BDEF是平行四边形 ∴DE=BF ∵F是BC的中点 ∴BF=CF ∴DE=CF ． 18. 已知y与成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得； （2）将代入（1）中的函数解析式即可得． 【小问1详解】 解：设y与之间函数解析式为， 将时，代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：将代入， 得． 四、解答题（2）（本小题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9） （1）求这个一次函数的解析式； （2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把已知两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）分别令x与y为0求出y与x的值，确定出一次函数与坐标轴的交点坐标，确定出函数图象与坐标轴围成三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为y=kx+b， 把（3，5），（-4，-9）代入得： 解得： 则一次函数解析式为y=2x-1； 【小问2详解】 对于y=2x-1， 令x=0，则y=-1，令y=0，则x= ∴函数图象与两坐标轴交点坐标为（0，-1），（，0）， 则函数图象与坐标轴围成的三角形面积S=×1×=． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 20. 在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）证明四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力﹒ （1）根据题意，直接运用“角角边”证明即可； （2）结合（1）的结论，先证明其为平行四边形，然后证明一组邻边相等，根据菱形的定义判定即可． 【小问1详解】 解∶， 是的中点， 在与中， 【小问2详解】 由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 21. 如图所示，在中，，，，把折叠，使落在直线上． （1）判断的形状． （2）求重叠部分（阴影部分）的面积． 【答案】（1）直角三角形；（2）36 【解析】 【分析】（1）根据AB、AC、BC的长度，利用勾股定理的逆定理计算并判断即可； （2）利用勾股定理求出CD=6，所以阴影部分面积为×CD×AC，求出即可． 【详解】解：（1）∵，，， 则， 即满足， ∴△ABC是直角三角形； （2）设CD=x， ∵在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上， ∴BD=B′D=16-x，B′C=AB-AC=20-12=8，∠DCB′=90°， ∴在Rt△DCB′中， CD2+B′C2=DB′2， ∴x2+82=（16-x）2， 解得：x=6， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为：×6×12=36． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知得出BD=B′D=16-x，B′C=8是解题关键． 五、解答题（三）（本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形． （1）如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； （2）如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明和全等，根据全等三角形对应角相等即可得证； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出,然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （3）利用平行四边形的性质，首先得出， ，进而得出，再推出,即可得出结论． 【小问1详解】 四边形是平行四边形， . 在和中， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 ． 理由如下：如下图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 （2）中的结论仍然成立． 证明：如下图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及折叠的性质是解题的关键． 23. （1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）； （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】（1）等腰直角；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明（），由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作轴于点，证明，从而得到、，则可得到点的坐标； （3）当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，由一次函数解析式求出，，证明，求出点坐标，求出直线的解析式，则可得出答案．当点D在点B的左侧时，画出图形，用同样的方法求出结果即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角； （2）过点作轴于点，如图， 则：． ∴， ∴−−−． 和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点， 把代入中，得， ∴点的坐标为， ∴， 把代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴点的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$