精品解析：山西大同市第一中学集团校南校2025-2026学年第二学期期中综合素养评价 八年级 数学

2025-2026学年第二学期期中综合素养评价 八年级数学 注意事项： 1．共8页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（每小题3分共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，，3 D. 9，13，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的三边关系，逐一验证各选项即可． 【详解】解：选项A，最长边为4，因为，所以不满足勾股定理逆定理，所以选项A不合题意； 选项B，最长边为10，因为，所以满足勾股定理逆定理，能构成直角三角形，所以选项B符合题意； 选项C，最长边为3，因为，不满足三角形三边关系，所以不能组成三角形，所以选项C不合题意； 选项D，最长边为15，因为，所以不满足勾股定理逆定理，所以选项D不合题意． 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、加减、乘除运算法则，分别计算各选项即可判断对错． 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：，故D正确． 4. 如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点，由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由已知结合三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 一个n边形的每一个外角等于其相邻内角的，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据内外角互补关系，以及倍分关系，先求出外角度数，再用外角和360°除以一个外角度数即可得结果． 【详解】解：因为n边形的每个外角和它相邻内角的和为180°， 又因为每个外角都等于它相邻内角的， 所以外角度数为180°×=45°， 因为多边形的外角和为360°， 所以n=360÷45=8． 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，以及多边形的外角和为360°．解题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 6. 如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数1的点重合，，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴点E表示的数为． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，再在中，由勾股定理解得，然后根据进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴，即， ∴． 8. 如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F．若，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，，然后可得，则有，设，则有，由勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：． 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12. 如图，已知直线，，，则的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，即， ， ，则的高是． 13. 如图，的周长为，，，相交于点，交于点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可计算的周长． 【详解】解：根据平行四边形的性质得：， ， 为的垂直平分线， 根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：， 的周长． 14. 有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 为的中点，的长为， ． 15. 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长GH交AD点p,先证三角形APH与三角形FGH全等，得AP=GF=1，GH=PH=PG,再由勾股定理求得PG,从而得出答案. 【详解】 如图，延长GH交AD于p, ∵矩形ABCD与CEFG， ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1 ∴AD∥GF, ∴∠GFH=∠PAH ∵H是AF的中点， ∴AH=FH, 在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH, ∠AHP=∠FHG ∴△APH≌△FGH ∴AP=GF=1，GH=PH=PG ∴PD=AD-AP=1 ∴CG=2，CD=1 ∴DG=1 ∴GH =PG=. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，四边形对角线交于点，且为中点，点、在直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】通过证明得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 【答案】应选择中底面型号的纸箱 【解析】 【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为，进而估算出，由此即可得到答案． 【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下： ∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，， ∴甲、乙两件礼品的边长分别为， ∴甲、乙两件礼品的边长之和为， ∵， ∴， ∴只有中型号和大型号两个型号可供选择， ∵， ∴从节约材料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC=90°，即可得出结论； （2）由菱形的性质得OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD，再由勾股定理得CD，根据矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵CE//BD，DE//AC， ∴四边形DECO是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC=90°， ∴平行四边形DECO是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=6， ∴OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD， ∴∠COD=90°， 平行四边形DECO是矩形； 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 20. 项目化学习： 以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案： 课题 检验自行车架是否合格 检验方式 说明书，数学定理 测量示意图 说明：上管，下管，，后下叉，后上叉． 设计要求：保证． 检验过程 检验步骤 数值 1．计算的长度 …… 2．确定的角度 …… 结论 …… 请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程． 【答案】该车架符合设计要求，检验过程见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，再证明，得到，则可得到，进而可得，故该车架符合设计要求． 【详解】解：该车架符合设计要求，检验过程如下： ∵，，， ∴， ∵，， ∵，， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴该车架符合设计要求． 21. 阅读与思考： 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．有以下结论： （1）当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． （2）瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． （3）瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 我们小组同学对四边形进行探究：如图2，在四边形中，点分别是边的中点，当对角线相等时，四边形是① ． 证明：分别为的中点， ，．（② ） 同理…… 任务： （1）填空：材料中①代表的内容______；材料中②代表的内容______； （2）补全材料中的证明过程； （3）在下图中作四边形使它的瓦里尼翁平行四边形为正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）菱形；三角形中位线定理 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和菱形的判定解答即可； （2）根据三角形中位线定理和菱形的判定解答即可； （3）作对角线互相垂直且相等的四边形，再顺次连接这个四边形各边顶点即可． 【小问1详解】 解：菱形；三角形中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）． 【小问2详解】 解：，，， ， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知，当时，四边形为菱形， 若， 由三角形中位线定理，得，， ， ， 四边形为正方形， 作且即可． 22. 综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： （1）图2中的四边形的形状是______； （2）当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，请直接写出的度数． 【答案】（1）正方形 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用折叠的性质即可求得四边形是正方形； （2）连接，证明为等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，得到点也在线段的垂直平分线上，即可证明； （3）利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：；理由如下： 连接， 由折叠知，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵正方形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， 同理， ∴． 23. 综合与探究： 问题情景：如图1，在矩形中，，，点E是对角线上的点，且，过点E作于点F，过点D作的平行线，与的延长线交于点G． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图1中沿射线平移，得到（点G，E，D的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交于点H，N．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②在平移的过程中，当点在射线上的某一位置时，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 【答案】（1）菱形，理由见解析； （2）①，见解析； ②或10． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理解题即可； （2）①根据平移的性质推出 ，，由翻折可知：，，结合等腰三角形的判定解题即可； ②分类讨论当 和时，结合勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 由平移可知： ，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴，， 由翻折可知：，， ∴， ∴． ∴，即， ∴； ②由题意知，点为定点，则当是直角三角形时，有 或， 如图， 当 时， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当 时，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 在和 中， ∴， ∴ ， ∴ ； 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中综合素养评价 八年级数学 注意事项： 1．共8页，时间120分钟，满分120分． 2．答题前请认真核对条形码上的姓名及学生编码．将姓名、学生编码、在答题卡规定的位置． 3．本次评价设有答题卡，请直接在答题卡上作答，答案写在本页上无效． 4．答题卡要保持整洁，不要折叠，不能弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、胶带纸． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（每小题3分共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 6，8，10 C. 1，，3 D. 9，13，15 3. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个n边形的每一个外角等于其相邻内角的，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数1的点重合，，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点E，，．则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F．若，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 1.5 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，点C落在点处，交于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 如图，已知直线，，，则的高是______． 13. 如图，的周长为，，，相交于点，交于点，则的周长为______． 14. 有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点之间的距离为______． 15. 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，四边形对角线交于点，且为中点，点、在直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 18. 快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表： 型号 长 宽 小号 中号 大号 已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为，，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约材料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由． 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F． （1）求证：四边形DECO是矩形； （2）若，，求EF的长． 20. 项目化学习： 以下是某同学利用数学定理检验他的自行车是否合格的方案： 课题 检验自行车架是否合格 检验方式 说明书，数学定理 测量示意图 说明：上管，下管，，后下叉，后上叉． 设计要求：保证． 检验过程 检验步骤 数值 1．计算的长度 …… 2．确定的角度 …… 结论 …… 请你帮他判断该车架是否符合设计要求，并写出检验过程． 21. 阅读与思考： 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．有以下结论： （1）当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． （2）瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． （3）瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 我们小组同学对四边形进行探究：如图2，在四边形中，点分别是边的中点，当对角线相等时，四边形是① ． 证明：分别为的中点， ，．（② ） 同理…… 任务： （1）填空：材料中①代表的内容______；材料中②代表的内容______； （2）补全材料中的证明过程； （3）在下图中作四边形使它的瓦里尼翁平行四边形为正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： （1）图2中的四边形的形状是______； （2）当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，请直接写出的度数． 23. 综合与探究： 问题情景：如图1，在矩形中，，，点E是对角线上的点，且，过点E作于点F，过点D作的平行线，与的延长线交于点G． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图1中沿射线平移，得到（点G，E，D的对应点为，，）． ①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交于点H，N．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②在平移的过程中，当点在射线上的某一位置时，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $