10.1.2 事件的关系和运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 第十章　概率 数学 学习目标 ①了解随机事件的包含、互斥和对立的含义. ②会判断两个随机事件是否互斥、是否对立. ③了解随机事件的并事件、交事件的含义. ④会进行随机事件的并、交运算. 学习重难点 重点： 了解随机事件的并、交与互斥的含义; 能结合实例进行随机事件的并、交运算. 难点： 事件的关系和运算的符号语言表示及其应用. 课堂导入 在掷骰子试验中,观察骰子落地时朝上面的点数,定义如下随机事件: C1＝{点数为1};C2＝{点数为2};C3＝{点数为3}; C4＝{点数为4};C5＝{点数为5};C6＝{点数为6}; D1＝{点数不大于1};D2＝{点数不大于3}; D3＝{点数不大于5}; E＝{点数小于5},F＝{点数大于4}, G＝{点数为偶数},H＝{点数为奇数}. 情境 课堂导入 在上述事件中, (1)事件C1与事件C2的并事件是什么? (2)事件D2与事件G及事件C2之间有什么关系? (3)事件C1与事件C2之间有什么关系? (4)事件E与事件F之间有什么关系? 你还能写出这个试验中其他一些事件吗?请用集合的形式表示这些事件. 借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗? 问题1 课堂导入 回顾集合间的关系和运算: 问题1 集合的关系或运算 A⊆B A∪B A∩B A∩B＝∅ A∩B＝∅, A∪B＝U 图形表示 答案 (1)C1∪C2＝{点数为1或2};(2)D2∩G＝C2; (3)事件C1与事件C2互斥; (4)事件E与事件F对立. 探究一　事件的关系和运算 课堂探究 事件的关系或运算 定义 符号表示 图形表示 阅读教材,完成表格. 包含 若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B ) 探究一　事件的关系和运算 课堂探究 事件的关系或运算 定义 符号表示 图形表示 阅读教材,完成表格. 并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A+B) 探究一　事件的关系和运算 课堂探究 事件的关系或运算 定义 符号表示 图形表示 阅读教材,完成表格. 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 探究一　事件的关系和运算 课堂探究 事件的关系或运算 定义 符号表示 图形表示 阅读教材,完成表格. 互斥 (互不相容) 如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=∅,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅,则A与B互斥 探究一　事件的关系和运算 课堂探究 事件的关系或运算 定义 符号表示 图形表示 阅读教材,完成表格. 互为对立 如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=∅,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅, A∪B＝Ω, 则A与B对立 从运算的含义总结事件的关系或运算 归纳小结 课堂探究 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 并事件(和事件) 交事件(积事件) 互斥(互不相容) 互为对立 从运算的含义总结事件的关系或运算 归纳小结 课堂探究 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅,A∪B＝Ω 类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件. 探究二　互斥事件与对立事件的辨析 课堂探究 问题2：抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数, 记事件A＝{点数大于4},事件B＝{点数为5}, 则事件B发生时,事件A一定发生吗? 答案 因为5>4,故事件B发生时事件A一定发生. 探究二　互斥事件与对立事件的辨析 课堂探究 答案 因为1为奇数,所以A⊆B. 问题3：在掷骰子试验中,观察骰子落地时朝上面的点数, 记事件A＝{点数为1},事件B＝{点数为奇数}, 事件A与事件B应有怎样的关系? 探究二　互斥事件与对立事件的辨析 课堂探究 问题4：判断两个事件互为对立事件的条件是什么? 答案 ①看这两个事件是否互斥事件, ②看这两个事件是否必有一个必然发生. 若满足这两个条件,则是对立事件;否则不是. 互斥事件及其特征 若事件A与事件B满足A∩B=⌀,则称事件A与事件B互斥.其特征包括: ①若事件A发生,则事件B一定不发生; ②若事件B发生,则事件A一定不发生; ③事件A,B可能同时不发生. 归纳小结 课堂探究 对立事件及其特征 如果事件A和事件B满足A∪B=Ω,且A∩B=⌀,那么称事件A与事件B互为对立. 其特征包括: ①必满足互斥事件的前两种情况(A发生则B不发生,反之亦然); ②必满足A∪B为必然事件(如投掷硬币时,A={正面朝上},B={反面朝上}). 归纳小结 课堂探究 互斥事件与对立事件的区别 对立事件是互斥事件的特例,事件A的对立事件有且仅有一个, 而互斥事件可以有多个. 互斥事件与对立事件的联系 互斥事件与对立事件均满足A∩B=∅(不同时发生),但对立事件额外要求A∪B=Ω. 因此,对立必互斥,但互斥不一定对立. 归纳小结 课堂探究 【例题1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各4张)中任取一张.判断下列各对事件是否为互斥事件、是否为对立事件,并说明理由. (1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 课堂探究 解 (1)是互斥事件,不是对立事件. 理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”不可能同时发生,所以是互斥事件.因为还可能抽出“方块”或者“梅花”,不能保证“抽出红桃”和“抽出黑桃”必有一个发生,所以二者不是对立事件. 【例题1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各4张)中任取一张.判断下列各对事件是否为互斥事件、是否为对立事件,并说明理由. (1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 课堂探究 (2)既是互斥事件,又是对立事件. 理由:从40张扑克牌中,任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,但必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. 【例题1】 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各4张)中任取一张.判断下列各对事件是否为互斥事件、是否为对立事件,并说明理由. (1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 课堂探究 (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 理由:从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌点数为10,因此,二者不是互斥事件,自然也不可能是对立事件. 判定事件关系的方法 包含关系:通过事件对应集合的包含关系判定. 互斥与互为对立的辨析 (i)从发生的角度看: ①互斥事件:可能都不发生,也可能仅一个发生,但不同时发生; ②互为对立事件:不同时发生,且必有一个发生. (ii)从事件个数的角度看: 互斥概念适用于两个或多个事件,而对立概念只适用于两个事件. 归纳小结 课堂探究 【例题2】 一个袋子里有大小和质地相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球.设事件A=“1个红球和2个白球”,事件B=“2个红球和1个白球”,事件C=“至少有1个红球”,事件D=“既有红球又有白球”.则: (1)事件D与事件A,B是什么关系? (2)事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系? 课堂探究 解 (1)对于事件D, 可能的结果为“1个红球和2个白球”或“2个红球和1个白球”, 故D=A∪B. 【例题2】 一个袋子里有大小和质地相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球.设事件A=“1个红球和2个白球”,事件B=“2个红球和1个白球”,事件C=“至少有1个红球”,事件D=“既有红球又有白球”.则: (1)事件D与事件A,B是什么关系? (2)事件C与事件A的交事件与事件A是什么关系? 课堂探究 (2)对于事件C, 可能的结果为“1个红球和2个白球”“2个红球和1个白球”“3个红球”, 故C∩A=A,所以事件C与事件A的交事件与事件A相等. 【例题3】 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件; (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件,并说明它们的含义及关系. 课堂探究 解 (1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态, 则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常,0表示元件失效, 则样本空间为Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}. 【例题3】 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件; (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件,并说明它们的含义及关系. 课堂探究 (2)根据题意,可得 A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)}, ={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}. 【例题3】 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”. (1)写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件; (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件,并说明它们的含义及关系. 课堂探究 (3)A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},={(0,0)}; A∪B表示电路工作正常,表示电路工作不正常; A∪B和互为对立事件. 【例题4】 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件; (2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系? (3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系? 课堂探究 课堂探究 解 (1)所有的试验结果如图所示. 用数组(x1,x2)表示可能的结果, x1是第一次摸到的球的标号, x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}. 事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}; 事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}. 同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}, N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 课堂探究 (2)因为R⊆R1, 所以事件R1包含事件R; 因为R∩G=∅, 所以事件R与事件G互斥; 因为M∪N=Ω,M∩N=∅,所以事件M与事件N互为对立事件. (3)因为R∪G=M, 所以事件M是事件R与事件G的并事件; 因为R1∩R2=R, 所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 事件的运算方法 (1)利用事件运算的定义 首先列出同一条件下试验的所有可能结果(即样本空间), 然后依据事件运算的定义,对这些结果进行分析并进行事件的运算. (2)利用Venn图 把同一条件下试验的所有可能结果在Venn图中表示出来, 然后借助集合运算的思想,对事件进行直观分析和运算. 归纳小结 课堂探究 【练习1】 某人打靶时连续射击两次,下列事件中,与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是(　　) A.至多一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都没有中靶 课堂探究 D 课堂小结 总结归纳 通过本节课的学习,你掌握了哪些知识和思想方法? 1.事件的关系和运算 (1)事件的包含关系与相等关系. (2)交事件和并事件. (3)互斥事件和对立事件. 2.方法归纳:列举法、Venn图法. 3.常见误区:混淆互斥事件和对立事件的概念. 1.事件与事件 的关系如图所示，则( ) A. B. C.与互斥而不对立 D.与 互为对立事件 [解析] 由题图知，事件与事件 不能同时发生， 且 ，因此与 互斥而不对立，故选C． √ 课堂练习 35 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个 白球”相等的事件是( ) A.全是红球 B.至少有1个红球 C.至多有1个红球 D.1个红球，1个白球 [解析] 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个 白球，则其包含的样本点是“1个白球1个红球”和“2个白球”， 至多有1个红球包含的样本点也是“1个白球1个红球”和“2个白球”. 故选C. √ 36 3.同时掷两枚质地均匀的硬币，事件 “向上的面都是正面”，事件 “向上的面至少有一枚是正面”，则有( ) A. B. C. D.与 之间没有关系 [解析] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，其样本空间 （正，正），正，反，反，正，反，反， 其中事件 （正，正）， 事件（正，正），正，反，反，正 ， 所以 .故选C. √ 37 4.打靶3次，事件表示“击中发”，其中 ，1，2，3，那么事件 表示( ) A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中2发 [解析] 表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选B. √ 38 5.［2025·安徽蚌埠高二期末］抛掷一枚质地均匀的骰子，观察其朝 上面的点数，有如下随机事件：“点数不大于3”， “点数不小 于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”， “点数为偶数”，下 列结论正确的是( ) A.，为互斥事件 B.， 为对立事件 C.，为互斥事件 D.， 为对立事件 √ 39 [解析] 样本空间.对于A选项，事件，2， ， 事件，4，5，，由于 ，故， 不为互斥事 件，A错误； 对于B选项，事件， ，结合A选项，可知 ， ，故， 不为互斥事件也不为对立事件，B错误； 对于C选项，事件，3， ，结合B选项，可知 ，故, 不为互斥事件，C错误； 对于D选项，事件，4，，结合C选项，可知 ， 且 ，故， 为对立事件，D正确.故选D. 40 6.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，可以得到以下 事件：“出现1点”；“出现2点”；“出现3点”； “出现4 点”；“出现5点”；“出现6点”； “出现的点数不大于1”； “出现的点数小于5”；“出现奇数点”； “出现偶数点”.请判 断下列两个事件的关系：___；___；___；___ . [解析] 因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出 现4点四种情况，所以事件发生时，事件必然发生，故 ； 同理，；易知事件与事件相等，即 . 41 7.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中， 事件表示随机事件“甲中靶”，事件表示随机事件“乙中靶”，事件 表示随机事件“丙中靶”.试用，， 的有关运算表示下列随机事件： （1）甲未中靶； 解：甲未中靶： ． （2）甲中靶而乙未中靶； 解：甲中靶而乙未中靶：，即 ． 42 7.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中， 事件表示随机事件“甲中靶”，事件表示随机事件“乙中靶”，事件 表示随机事件“丙中靶”.试用，， 的有关运算表示下列随机事件： （3）三人中只有丙未中靶； 解：三人中只有丙未中靶：，即 ． （4）三人中至少有一人中靶； 解：三人中至少有一人中靶： ． （5）三人中恰有两人中靶． 解：三人中恰有两人中靶： ． 43 8.生产某种产品需要2道工序，只有当2道工序均加工合格时，产品 才合格.设事件“第一道工序加工合格”，事件 “第二道工序加 工合格”，则事件 表示的含义是 ____________. 产品不合格 [解析] 事件 表示的是第一道工序和 第二道工序中至少有一道工序加工不合格， 所以事件 表示“产品不合格”. 44 9.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品 中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件 “恰有一件次品”；事 件“至少有两件次品”；事件“至少有一件次品”；事件 “至 多有一件次品”.给出以下结论:; 是必然事件; ; .其中正确结论的序号是______. ①② [解析] 事件“至少有一件次品”，即事件 ，所以①正确; 事件 ，所以③不正确; 事件 表示至少有两件次品或至多有一件次品，包含了所有样本 点，所以②正确; 事件 表示恰有一件次品，即事件 ，所以④不正确.故填①②. 45 布置作业 教材第235页练习, 教材第247页习题10.1第15题. 谢谢大家 谢谢大家 $