辽宁省沈阳市第一三四中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 试卷以刺绣图案、河南文旅冰箱贴等文化与现实情境为载体，覆盖几何变换、不等式、函数等八年级核心知识，通过基础题、综合探究题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|轴对称与中心对称、不等式性质、平行四边形判定|第1题结合刺绣图案考查图形性质，体现文化传承| |填空题|5题/15分|多边形内角和、函数不等式解集、等腰三角形周长|第12题通过函数图像交点求不等式解集，培养几何直观| |解答题|8题/55分|尺规作图、几何证明、动态探究、一次函数综合|22题以等腰直角三角形旋转为背景，分初步探究到拓展延伸，发展推理能力与创新意识；20题文旅冰箱贴应用题，考查模型观念与应用意识|

辽宁省沈阳市第134中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 1．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　） A．a+5＜b+5 B．a﹣2＜b﹣2 C．﹣3a＞﹣3b D． 3．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的一个为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．AD＝BC C．∠ADC＝∠ABC D．AB＝CD 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 6．如图，在▱ABCD中，点E是其对角线AC上的一点，AC＝BC，AB＝DE，若∠CDE＝34°，则∠CAD的度数是（　　） A．34° B．35° C．36° D．37° 7．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2≤m≤﹣1 10．△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 11．一个多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个多边形的边数为　 　 ． 22．如图，函数y＝kx（k为常数，k≠0）与y＝mx+n（m，n均为常数且都不为0）的图象相交于点A（﹣4，2），则关于x的不等式kx＞mx+n的解集为　 　 ． 13．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为　 　 ． 14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点E恰好落在AB边上，若∠CED＝76°，则旋转角为　 　 °． 15．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞3cm，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝3cm，连接EF，分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为　 　 ． 16．解不等式组：． 17．如图，△ABC中，∠C＝90°． （1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接BD，当BC＝6cm，AB＝10cm时，求BD的长． 18．如图，△OAB的各顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），O（0，0）． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与△OAB成中心对称的△OA1B1； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将△OAB和△OA1B1分别按顺时针方向旋转90°后的△OA′B′和△OA'1B'1； （2）y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且CD＝1，则四边形ABCD周长最小值为　 　 ． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD． 20．2025年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 21．如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD交于点O，E，F是BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB＝2，BC＝3，且AC⊥AB，求BD的长度． 22．将两块大小不同的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，按图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0＜α＜90），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，进行如下探究． 【初步探究】 （1）如图2，当ED∥BC时，则α＝　 　 ． （2）如图3，当点E，F重合时，请求出AF，BF，CF之间的数量关系． 【深入探究】 （3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （4）如图4，若AF＝1，FC＝3，则AB2＝　 　 ． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为5． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，在y轴上点B的上方取一点G，连接FG，以FG为边向FG右侧作等腰Rt△FGP，其中FG＝FP，当顶点P落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，直线AM交y轴于N点，且满足S△BNM＝S△AON，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 辽宁省沈阳市第134中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 1．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是轴对称图形和中心对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 2．设a＞b，则下列不等关系正确的是（　　） A．a+5＜b+5 B．a﹣2＜b﹣2 C．﹣3a＞﹣3b D． 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【解答】解：A、若a＞b，则a+5＞b+5，原变形错误，不符合题意； B、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，原变形错误，不符合题意； C、若a＞b，则﹣3a＜﹣3b，原变形错误，不符合题意； D、若a＞b，则，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键． 3．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的一个为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：∵x+1≥2， ∴x≥1， 在数轴上表示为： ． 故选：B． 【点评】此题考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件后，仍无法判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．AD＝BC C．∠ADC＝∠ABC D．AB＝CD 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：∵AB∥CD， A、添加AD∥BC，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、添加AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； C、添加∠ADC＝∠ABC，可以得出AD∥BC，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； D、添加AB＝CD，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（　　） A．PC＝PQ B．AC＝AQ C．AP＝BP D．∠BPQ＝∠BAC 【分析】根据作图得出PQ⊥AB，AP平分∠BAC，根据角平分线性质得出PC＝PQ，证明Rt△APQ≌Rt△APC（HL），得出AC＝AQ，根据补角性质得出∠BPQ＝∠BAC，根据题干信息无法证明AP＝BP，即可得出答案． 【解答】解：根据作图可知：PQ⊥AB，AP平分∠BAC， ∵∠ACB＝90°， ∴PC＝PQ，故A一定正确，不符合题意； ∵AP＝AP， ∴Rt△APQ≌Rt△APC（HL）， ∴AC＝AQ，故B一定正确，不符合题意； ∵PQ⊥AB， ∴∠AQP＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠CPQ＝360°﹣∠AQP﹣∠ACB＝180°， ∵∠BPQ+∠CPQ＝180°， ∴∠BPQ＝∠BAC，故D一定正确，不符合题意； ∵PQ垂直AB，但不一定平分AB， ∴AP＝BP不一定正确，故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了尺规作垂线，作角平分线，角平分线性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，补角性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 6．如图，在▱ABCD中，点E是其对角线AC上的一点，AC＝BC，AB＝DE，若∠CDE＝34°，则∠CAD的度数是（　　） A．34° B．35° C．36° D．37° 【分析】根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∵AC＝BC，AB＝DE， ∴AD＝AC，CD＝DE， ∴∠ACD＝∠CED，∠ACD＝∠CDA， 又∵∠CDE＝34°， ∴∠ACD＝∠CED（180°﹣∠CDE）146°＝73°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠CDA＝34°， 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 7．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝3cm，EF＝7cm，则阴影部分的面积为（　　） A．16cm2 B．12cm2 C．11cm2 D．8cm2 【分析】由平移的性质可知BC，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH，S阴影＝S直角梯形BEFH，最后根据面积公式得出答案． 【解答】解：∵将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF， ∴BC＝EF＝7，BE＝AD＝2，∠DEF＝∠B＝90°， ∴BH＝BC﹣CH＝7﹣3＝4． ∴． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，BD平分∠ABC，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F，则AF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求得AB＝10，再证明△ABE≌△FBE（ASA）得到FB＝AB＝10，则CF＝2，在Rt△ACF中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∵过点A作BD的垂线，交BD的延长线于E，交BC的延长线于F， ∴BE⊥AF，则∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴FB＝AB＝10，则CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2， 在Rt△ACF中，， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 9．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣2≤m≤﹣1 【分析】先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【解答】解：由①，得：x≤1.5； 由②，得：x＞m； ∴不等式组的解集为m＜x≤1.5， ∵若关于x的不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、﹣1， ∴﹣2≤m＜﹣1； 故选：C． 【点评】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，正确进行计算是解题关键． 10．△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，请你求出∠CAP＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【分析】由△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，得∠PCD∠ACD，∠PBC∠ABC，推导出∠BPC∠BAC，而∠BPC＝40°，则∠BAC＝2∠BPC＝80°，作PH⊥BC交BC的延长线于点H，PE⊥AC于点E，PF⊥BA交BA的延长线于点F，可证明PE＝PF，进而证明AP平分∠CAF，因为∠CAF＝180°﹣∠BAC＝100°，所以∠CAP∠CAF＝50°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P， ∴∠PCD∠ACD，∠PBC∠ABC， ∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC（∠ACD﹣∠ABC）∠BAC， ∵∠BPC＝40°， ∴∠BAC＝2∠BPC＝80°， 作PH⊥BC交BC的延长线于点H，PE⊥AC于点E，PF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC， ∴PE＝PH，PF＝PH， ∴PE＝PF， ∴点P在∠CAF的平分线上， ∴AP平分∠CAF， ∴∠CAF＝180°﹣∠BAC＝100°， ∴∠CAP∠CAF＝50°， 故选：B． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11．一个多边形的内角和比它的外角和多180°，则这个多边形的边数为　5　 ． 【分析】根据题意列出方程（n﹣2）×180°＝360°+180°求解即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，（n﹣2）×180°＝360°+180°， 解得n＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了多边形的内角和、外角和，熟练掌握这两个定理是解题的关键． 12．如图，函数y＝kx（k为常数，k≠0）与y＝mx+n（m，n均为常数且都不为0）的图象相交于点A（﹣4，2），则关于x的不等式kx＞mx+n的解集为x＜﹣4　 ． 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）和一次函数y＝mx+n的图象交于点（﹣4，2）， ∴当x＜﹣4时，kx＞mx+n， ∴关于x的一元一次不等式kx＞mx+n的解集为x＜﹣4． 故答案为：x＜﹣4． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 13．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为　15　 ． 【分析】分类讨论另一边可能的情况，再利用三角形的三边关系检验能否构成三角形，最后算出周长即可． 【解答】解：利用三角形的三边关系分情况讨论： 若等腰三角形的另一边长为3，此时三边分别为3，3，6，因为3+3＝6，不能构成三角形； 若等腰三角形的另一边长为6，此时三边分别为3，6，6，因为3+6＞6，能构成三角形，所以三角形周长为：3+6+6＝15， 即三角形的周长为15； 故答案为：15． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边． 14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点E恰好落在AB边上，若∠CED＝76°，则旋转角为　28　 °． 【分析】根据旋转的性质得到∠B＝∠CED＝76°、CE＝CB，进而得到∠CEB＝∠B＝76°，最后利用三角形内角和定理求出旋转角∠ECB的度数即可． 【解答】解：将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC， ∴∠B＝∠CED＝76°、CE＝CB， ∴∠CEB＝∠B＝76°， ∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝180°﹣76°﹣76°＝28°， ∴旋转角为28°， 故答案为：28． 【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＞BC＞3cm，E，F分别是边AC，BC上的点，且AE＝BF＝3cm，连接EF，分别取EF，AB的中点M，N，并连接MN，则MN的长为　cm ． 【分析】连接FN并延长至D，使ND＝FN，连接ED、AD，证明△BNF≌△AND，根据全等三角形的性质得到AD＝BF，∠B＝∠DAN，证明△ADE为等边三角形，根据等边三角形的性质求出DE，再根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：如图，连接FN并延长至D，使ND＝FN，连接ED、AD， 在△BNF和△AND中， ， ∴△BNF≌△AND（SAS）， ∴AD＝BF，∠B＝∠DAN， ∵AE＝BF， ∴AE＝AD， ∵∠C＝120°， ∴∠CAB+∠B＝60°， ∴∠CAB+∠DAN＝∠EAD＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AE＝3cm， ∵点M，N分别为FE、FD的中点， ∴MN是△FED的中位线， ∴MNDEcm， 故答案为：cm． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 16．解不等式组：． 【分析】先分别解出两个不等式，再确定不等式组解集即可． 【解答】解：解不等式2x+3≤﹣5，得x≤﹣4， 解不等式1，得， ∴不等式组的解集为x≤﹣4． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 17．如图，△ABC中，∠C＝90°． （1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）在（1）条件下，连接BD，当BC＝6cm，AB＝10cm时，求BD的长． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据勾股定理和线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示， （2）∵∠C＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm， ∴， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， 设AD＝BD＝xcm，则CD＝AC﹣AD＝（8﹣x）cm， ∵BC2+CD2＝BD2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得， ∴． 【点评】本题考查作图﹣复基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18．如图，△OAB的各顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），O（0，0）． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与△OAB成中心对称的△OA1B1； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将△OAB和△OA1B1分别按顺时针方向旋转90°后的△OA′B′和△OA'1B'1； （2）y轴上有C，D两点，点C在点D下方，且CD＝1，则四边形ABCD周长最小值为　1　 ． 【分析】（1）利用中心对称变化，旋转变换的性质作出图形即可； （2）如图，作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥y轴，且A′A″＝1，连接BA″交y轴于点C，在点C的上方取点D，使得CD＝1，连接AD，A′D，此时四边形ABCD的周长最小．利用勾股定理求出AB，BA″可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）如图，作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥y轴，且A′A″＝1，连接BA″交y轴于点C，在点C的上方取点D，使得CD＝1，连接AD，A′D，此时四边形ABCD的周长最小． ∵A′A″∥CD，A′A″＝CD＝1， ∴四边形A′A″CD是平行四边形， ∴A′D＝A″C， ∵A，A′关于y轴对称， ∴AD＝DA′， ∴四边形ABCD的周长的最小值＝AB+AD+CD+BC＝AB+CD+A″C+CB＝AB+CD+BA″， ∵AB，BA″， ∴四边形ABC端点周长的最小值＝1． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称变换，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线． 求证：BD＝2CD． 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，根据含30度角的直角三角形的性质得到BD＝2DE，得到BD＝2CD． 【解答】证明：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD， 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 则BD＝2DE， ∴BD＝2CD． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 20．2025年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． （1）求A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． （2）若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出w＝﹣10a+1200，然后根据一次函数的性质求解． 【解答】解：（1）设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元， 答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进（60﹣a）套， 根据题意列一元一次不等式得，40a+45（60﹣a）≤2600， 整理得，5a≥100， 解得a≥20， 又∵60﹣a≥0， ∴a≤60， ∴20≤a≤60， 设销售利润为w元， 根据题意，得w＝（50﹣40）a+（65﹣45）（60﹣a）＝﹣10a+1200， ∵﹣10＜0， ∴w随a的增大而减小， 又∵20≤a≤60， ∴当a＝20时，w有最大值，最大值为﹣10×20+1200＝1000，此时60﹣a＝40， ∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 21．如图，▱ABCD的两条对角线AC与BD交于点O，E，F是BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AB＝2，BC＝3，且AC⊥AB，求BD的长度． 【分析】（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形． （2）由勾股定理并结合平行四边形的性质计算即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∵BE＝DF， ∴OE＝OF． ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解：∵AC⊥AB，AB＝2，BC＝3， ∴AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO， ∴BO， ∴BD＝2BO． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 22．将两块大小不同的等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，按图1的方式摆放，∠ACB＝∠ECD＝90°，随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0＜α＜90），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，进行如下探究． 【初步探究】 （1）如图2，当ED∥BC时，则α＝　45°　 ． （2）如图3，当点E，F重合时，请求出AF，BF，CF之间的数量关系． 【深入探究】 （3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （4）如图4，若AF＝1，FC＝3，则AB2＝　20+6　 ． 【分析】（1）根据平行线性质即可得到答案； （2）利用手拉手全等模型得到三角形全等，再根据等腰三角形性质，通过边的转换得到答案； （3）构造全等，利用（2）方法再证明三角形全等即可得到答案； （4）利用（2）的结论，再结合三角形AFB是直角三角形，最后利用勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）∵Rt△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵ED∥BC， ∴∠BCD＝∠CDE＝45°， ∴α＝∠BCD＝45°， 故答案为：45°； （2）∵点E、F重合，Rt△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°， ∴CD＝CF，DF，∠ACF+∠ACD＝90°， ∵Rt△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD， 在△ACF和△BCD中， ， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴AF＝BD， 又∵BD+DF＝BF， ∴AF； （3）∵Rt△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°， ∴CD＝CE，∠ACE+∠ACD＝90°， ∵Rt△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD， 如图，在BF上取一点G，使得BG＝AF，连接CG， 在△BCG和△ACF 中， ， ∴△BCG≌△ACF（SAS）， ∴CG＝CF，∠BCG＝∠ACF， ∴∠FCG＝∠ACF+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝∠ACB＝90°， ∴GF， 又∵BG+GF＝BF， ∴AF， ∴当点E、F不重合时，（2）中的结论成立； （4）如图，设AC，BF 交于点O， 由（3）已证：∠CAE＝∠CBD， 由对顶角相等得：∠AOF＝∠BOC， ∴∠AFB＝180°﹣∠CAE﹣∠AOF＝180°﹣∠CBD﹣∠BOC＝∠ACB＝90°， 由（3）已证：AF， ∵AF＝1，CF＝3， ∴BF＝AFCF＝1+3， 在Rt△ABF 中，AB2＝AF2+BF2＝1+（）2＝20， 故答案为：20+6． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为5． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，设点F为线段AB中点，在y轴上点B的上方取一点G，连接FG，以FG为边向FG右侧作等腰Rt△FGP，其中FG＝FP，当顶点P落在直线BC上时，求点G的坐标； （3）如图2，若M为线段BC上一点，直线AM交y轴于N点，且满足S△BNM＝S△AON，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点A坐标，再求出点C，结合点B坐标即可求出直线表达式； （2）先求点F坐标，结合图象，设点P坐标，利用三角形全等即可得到线段相等，然后求出答案； （3）利用面积相等，求出直线AM表达式，利用表达式设点E坐标，然后利用中点公式即可求出点D坐标； 【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣2，0），B（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∵S△ABCAC×OB＝5， ∴AC＝5， ∴OC＝AC﹣OA＝3， ∴C（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为yx+2； （2）∵点F为线段AB中点，A（﹣2，0），B（0，2）， ∴F（﹣1，1）， 如图1所示，设G（0，n）（n＞2）， 过F作IH∥y轴，分别过P、G作GI⊥IH，PH⊥IH，则I（﹣1，n）， 设点P的坐标为（p，），则H（﹣1，）， ∴IG＝1，HP＝p+1，IF＝n﹣1，FH＝1﹣（p+2）， ∵四边形FGQP是正方形， ∴∠GFP＝90°，FG＝PF， ∴∠IFG＝90°﹣∠HFP＝∠HPF， ∵∠FIG＝∠PHF＝90°， ∴△IFG≌△HPF（AAS）， ∴HF＝IG＝1，IF＝HP， ∴， 解得：， ∴G（0，5）； （3）在x轴上是存在点D，使得以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设M（m，m+2）（0≤m≤3），直线AM的表达式为y＝hx+i， 则， 解得：， ∴直线AM的表达式为y， 当x＝0时，y，即N（0，）， ∴ON，BN ∵S△BNM＝S△AON， ∴|xM|ON•xA， 解得：m＝﹣2（舍）或m， 当m时，直线AM的解析式为y， 设当E（e，），D（d，0）时，得以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形， ①如图2，当BC为对角线时， 依题意得：，， 解得：d，e， ∴点D的坐标为（，0）； ②如图3，当BC为平行四边形的一边且点D在点C的右边时， 依题意得：，， 解得：d，e， ∴点D的坐标为（，0）； 如图4，当BC为平行四边形的一边且点D在点C的左边时， 依题意得：，， 解得d，e， ∴点D的坐标为（，0）； 综上所述，在x轴上存在点D，使得以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，且点D的坐标为（，0）或（，0） 或（，0）． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、正方形的性质、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $