精品解析：辽宁省沈阳市和平区南昌中学沈北分校2024-2025学年八年级下学期期中阶段考试数学试题

2024-2025学年度下学期八年级数学学科限时性作业 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （哪吒2）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么再列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 5. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中不能有两个角为锐角 B. 一个三角形中不能有两个角为钝角 C. 一个三角形中能有两个角为锐角 D. 一个三角形中能有两个角为钝角 6. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明为了测量某湖两岸两点间的距离，先在外选定一点，然后测量得到的中点，且，从而计算出两点间的距离是（ ） A. 30m B. 40m C. 60m D. 90m 8. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 9. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 将点向右平移a个长度单位得到点，则______． 11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于，则 ________________． 12. 某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 13. 如图，点分别是等边三角形的边的点，且与相交于点．则的度数为_______． 14. 在中，过点A分别向直线和直线做垂线，垂足分别为点E，点F．若，且的周长为，则等于______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. （1）解不等式：； （2）解不等式组： 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （2）请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （3）点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 17. 如图，E，F是的对角线AC上的点，，分别连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 18. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 19. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题． （1）如图，在中．求作： ①的角平分线； ②线段BC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线与的角平分线交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可不写作法与作图结论）． （2）在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 20. 随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 21. 【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 22. 等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级数学学科限时性作业 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （哪吒2）动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小． 本题根据图形的平移知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边图案与右边图案形状、方向与大小没有改变，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C； 2. 如果，那么再列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行分析判断． 【详解】解：A、在不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，即，不符合题意； B、在不等式的两边同时加上1，不等号的方向不变，即，不符合题意； C、在不等式的两边同时乘-2，不等号法方向改变，即，不符合题意； D、在不等式的两边同时乘2，不等号的方向不变，即，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质.不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可． 3. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 5. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中不能有两个角为锐角 B. 一个三角形中不能有两个角为钝角 C. 一个三角形中能有两个角为锐角 D. 一个三角形中能有两个角为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法，三角形的分类，根据命题一个三角形中不能有两个钝角的否定为三角形的内角至少有两个钝角，从而得出结论． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为钝角”时，应先假设“一个三角形中能有两个角为钝角”, 故选D． 6. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求得，继而根据旋转的性质即可求得答案 【详解】解：，， ， 是由旋转得到， 旋转角为． 7. 如图，小明为了测量某湖两岸两点间的距离，先在外选定一点，然后测量得到的中点，且，从而计算出两点间的距离是（ ） A. 30m B. 40m C. 60m D. 90m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理可得到，可得到答案． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：C． 8. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 9. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 将点向右平移a个长度单位得到点，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点向右平移时横坐标“右加”的变化规律是解题的关键．利用点在平面直角坐标系中平移时，横坐标的变化规律来求解的值，即点向右平移，横坐标增加． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点在平面直角坐标系中向右平移时，横坐标的变化为原横坐标加上平移的单位长度，纵坐标不变， ， 解得． 故答案为： ． 11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于，则 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形对边平行以及平行线的性质得到，再由角平分线的定义推出，则可得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于，交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某种商品进价200元，标价300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润不能少于．请你帮助售货员计算一下，此种商品最多__________折销售． 【答案】##七 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据利润的要求，列出相关的关系式，从而求解． 设打折销售，根据题目意思，列出关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：设打折销售，则售价为元，利润为元， 由题意得：， 解得：， 此种商品可以按最多打7折销售， 故答案为：7． 13. 如图，点分别是等边三角形的边的点，且与相交于点．则的度数为_______． 【答案】60° 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质根据SAS证明△BCE≌△CAD，得到∠CBE=∠ACD，再根据三角形外角的性质即可得到答案. 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠A=60°， ∵CE=AD， ∴△BCE≌△CAD， ∴∠CBE=∠ACD， ∴=∠OBC+∠OCB=∠ACD+∠OCB=∠ACB=60°， 故答案为：60°. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质. 14. 在中，过点A分别向直线和直线做垂线，垂足分别为点E，点F．若，且的周长为，则等于______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，注意本题有两个解，通过计算确定高的位置．本题考虑两种情形∶①当是钝角时，设，，列方程组求出a、b，再利用勾股定理求出、，即可解决问题，②当是锐角时，求出、即可． 【详解】解∶①如图中，当是钝角时， 设，， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，即． ， ，即． 由，解得，． 在中，，，． ． ． 在中，，，， ． ， ． ． ②如图中，当是锐角时， 由可知∶． ，． ． 故答案为∶或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. （1）解不等式：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （2）请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） （3）点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 如图，E，F是的对角线AC上的点，，分别连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．利用四边形是平行四边形，得出，证明，得出，，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18. 暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游，选择甲旅行社实际收费（元），选择乙旅行社实际收费 （元）． （1）分别求出，与的关系式． （2）你认为他们应该选择哪家旅行社更合算？为什么？ 【答案】（1）， （2）当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两个旅行社所给的收费标准列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所列关系式建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算； 时，， 解得， ∴当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算； 综上所述，当学生人数小于4人时，选择乙旅行社更合算；当学生人数等于4人时，选择两个旅行社一样合算；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社更合算． 【点睛】本题主要考查了列关系式，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 19. 阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题． （1）如图，在中．求作： ①的角平分线； ②线段BC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线与的角平分线交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，可不写作法与作图结论）． （2）在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数． 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线和作线段的垂直平分线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和，熟练掌握相关作图方法和相关判定与性质是解题的关键． （1）①利用角平分线的作法作图即可； ②利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）过点分别作于，延长线于，证明，得出，证明，再证明，得出，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，即为所求作， 作法：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于两点； 再分别以这两点为圆心，大于这两点线段的一半长为半径作弧，两弧交于一点； 过点和两弧交点作射线即可； ②如图，即为所求作， 作法：分别以，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点； 连接这两点，分别与的角平分线交于点D，与交于点E，即为所求作． 【小问2详解】 解：如图，过点分别作于，延长线于， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 随着全球能源转型与环保意识增强，新能源汽车逐渐普及，但“充电难”问题成为制约其发展的瓶颈．某校八年级学生在学习了综合与实践课——生活中的“一次模型”后，利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用“一次模型”探究新能源汽车充电桩问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积（单位：平方米） 3 1 已知新建1个地下充电梯比新建1个地上充电桩多万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要万元． 问题一 填空：该小区新建1个地上充电桩需要______万元，新建1个地下充电桩需要______万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于30个，设建造m个地下充电桩，求出m的取值范围． 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，设地下充电桩和地上充电桩占地总面积为s平方米，求s与m的关系式，并求出s的最小值以及s取得最小值时的具体方案． 【答案】问题一：，；问题二：，m为正整数；问题三：，s的最小值94平方米，新建43个地下充电桩，17个地上充电桩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解不等式组的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 问题一：先设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元．再根据题意列出方程组，即可作答． 问题二：依题意，列出不等式组，再解得，再结合m为正整数，即可作答． 问题三：根据地上、地下充电桩数量及各自占地面积，得出总占地面积与地下充电桩数量的函数式．依据函数单调性得随增大而减小，结合的范围，取最大43时最小．将代入函数，得，此时地上充电桩数量为，即可得出方案． 【详解】解：问题一：设一个地上充电桩为x万元，一个地下充电桩为y万元． ， 解得 答：一个地上充电桩为万元，一个地下充电桩为万元． 问题二：设地下充电桩数量为m个，则地上充电桩数量为个， ， 解得， ∵为正整数， ∴ 问题三： 地上每个充电桩占地面积为3平方米，地下每个充电桩占地面积为1平方米， 总占地面积：． ，且， 当时，代入得 ， ∴最小为94平方米， 此时，地上充电桩数量为个， ∴对应方案为建造43个地下充电桩和17个地上充电桩． 21. 【定义新知】 定义：一条直线既平分一个图形的面积，又平分这个图形的周长，我们把这条直线叫做这个图形的公正线． 性质：若一条直线是一个图形的公正线，那么这条直线既平分这个图形的面积，也平分这个图形的周长． 【特例感知】 例如图1，已知，，直线于点D．求证：直线是的公正线． 证明：， 在和中， ，， ，的面积等于的面积， ， ∴直线是的公正线． 问题： （1）填空： ①如图2，已知，若直线是的公正线，则与______相等（填“一定”或“不一定”）． ②已知，在平面直角坐标系中，的顶点，直线是的公正线，且与直线交于点P，则点P的坐标是______． 【学以致用】 问题（2）如图3，已知，直线与交于点F，，．求证：直线是的公正线． 【迁移探究】 问题（3）如图4，已知四边形，．点E，点F分别是边，边上的点，直线是的公正线，则的周长=______． 【答案】（1）①一定②（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（1）①根据公正线的定义即可解答； ②根据平移的规律可得点D的坐标为，根据平行四边形过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，可知直线过对角线的交点，即可解答； （2）如图3，过点F作于G，作于H，先根据角平分线的性质可得，再根据公正线的定义即可得结论； （3）如图4，过点A作于点G，根据公正线的定义可得，，设，则，根据勾股定理列方程可得，即可解答． 【详解】解：（1）①∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：一定； ②∵的顶点， ∴点， ∵直线是的公正线，且与直线交于点P， ∴点P是的中点， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 如图3，过点F作于G，作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的公正线； （3）如图4，过点A作于点G， ∵直线是的公正线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查新定义“公正线”的理解与运用，矩形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，理解“公正线”是解本题的关键． 22. 等腰直角三角形是我们学习几何的基本图形，在学完平移，旋转，轴对称三种几何变换后，数学活动课上老师想利用图1中的等腰直角三角形为背景展开有关图形的平移，旋转，轴对称的探究活动．如图1，已知和是共顶点的两个等腰直角三角形，，，．老师首先给了如下一道题，请你完成（1）的详细解题过程． （1）如图2，在图1的条件基础上，分别连接，将绕点A旋转至点B在线段上时． ①求证：； ②求线段的长． （2）数学活动小组的同学解答完对上述问题后，又对这个图形进行了观察和测量，并发现了新的问题，该活动小组小聪，小明，小慧三名同学分别提出下面的问题，请你在小聪，小明，小慧三名同学所提出的问题中选择一道题进行解答，并直接写出答案．（如果选择多道题解答，按所选答题中得分最高的题给分，（2）问满分3分） ①小聪提出的问题：如图3，在图1的条件基础上，分别连接，．点F是线段的中点，连接，将绕点A在平面内自由旋转，则的最大值是______． ②小明提出的问题：如图4，在图1的条件基础上，将绕点A旋转至，且点C在线段上方时，位置不变．连接，，将沿射线方向平移，得到，连接，，则的最小值是______． ③小慧提出的问题：如图5，在图1的条件基础上，将绕点A在平面内自由旋转，当以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，______． 【答案】（1）①见解析；② （2）①；②；③2或 【解析】 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点作于点，在等腰直角中求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （2）①取中点，连接，得出， 可知点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动，由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大，此时点为如图，最大值为，求出即可； ②证明，，得出，，，由为定点，沿方向平移，作直线，作点关于直线的对称点，连接，，则，当、、依次共线时，的最小值为，此时设直线交于，得出点、、共线，求出，利用勾股定理求解即可； ③由,当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：情况一：当在左侧时，四边形是平行四边形；情况二：当在右侧时，四边形是平行四边形；当和为对角线时，四边形是平行四边形，分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①取中点，连接， ∵点F是线段的中点，， ∴， ∵固定，绕点A在平面内自由旋转， ∴点固定，点在运动， ∴点的运动轨迹为以为圆心， 为半径的圆上运动， 由圆外一定点到圆上一点的最大距离可知，当、、依次共线时最大， 此时点为如图，最大值为， ∵为中点，， ∴， ∴， 即最大值为； ②∵，和是共顶点的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿射线方向平移，得到， ∴，， ∵， 由为定点，沿方向平移，如图，作直线，作点关于直线的对称点，连接，， 则，当、、依次共线时，的最小值为， 此时设直线交于， 由对称性得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∴， 即的最小值是； ③∵, 当和为边时，只需，则以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 情况一：如图，当在左侧时，四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点在上， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 情况二：如图，当在右侧时，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 当和为对角线时，如图，四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在上， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，轴对称，定点定长轨迹圆，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $