10.1.1有限样本空间与随机事件课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.1 有限样本空间与随机事件 第十章　概率 数学 学习目标 ①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义. ②能运用集合语言准确描述随机事件,理解其在数学表达中的合理性与必要性. ③能绘制反映样本点、样本空间、随机事件三者关系的 Venn 图,理解随机事件与样本点、样本空间的关系. ④感悟从实际情境到文字描述,再到符号化、数字化的数学抽象过程,提升数学抽象素养. 学习重难点 重点： 理解样本空间概念,会用集合语言表示一个随机试验的样本空间与随机事件. 难点： 随机事件用适当的集合语言表示一个随机试验的样本空间,实现随机事件的自然语言与集合语言之间的相互转换. 课堂导入 概率论的产生和发展 1654年,梅累向法国数学家帕斯卡提出赌金分配问题 帕斯卡与法国数学家费马展开通信讨论 荷兰科学家惠更斯深入研究并完成《论赌博中的计算》 情境 帕斯卡 课堂导入 问题1：从今天开始,我们学习“概率”,那么概率的研究对象是什么呢? 先来看几个例子. 问题 假如你正在参加篮球比赛,球在你手中,你要把球传给谁? 探究一　随机现象 课堂探究 队友 甲 乙 丙 投篮 命中率 0.6 0.8 0.5 某同学早上 6:30 左右从家到学校, 预测该同学明天从家到学校所需的时间. 探究一　随机现象 课堂探究 探究一　随机现象 课堂探究 周次 第一周 第二周 第三周 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 上学用时（min） 9 10 11 10 12 10 9 11 10 9 10 10 12 11 9 某同学早上 6:30 左右从家到学校, 预测该同学明天从家到学校所需的时间. 上学用时（min） 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 周一 周二 周三 周四 周五 9 10 11 10 12 10 9 11 10 9 10 10 12 11 9 追问1：这些现象的共同特征是什么? 就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性;但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性. 课堂探究 随机现象 追问2：你还能举出随机现象的例子吗? 探究一　随机现象 问题2：如何对随机现象展开研究? 有一些随机现象(如上述抽签、掷骰子的例子), 每个可能结果的概率可以通过理论计算得到; 而有一些随机现象(如上述投篮命中率、到校所需时间、随机摸球的例子), 则需要进行大量重复试验来统计分析,从而估计每个可能结果的概率. 探究二　随机试验 课堂探究 随机试验： 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验, 常用字母 E 表示. 归纳新知 课堂探究 随机现象 随机试验 课堂探究 追问：我们感兴趣的随机试验具有哪些特点? 探究二　随机试验 (1)试验可以在相同条件下重复进行; (2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 随机试验的特点： 从结果上看,试验具有可知性(所有可能的结果明确可知)和不确定性(事先不能确定出现哪一个结果); 从过程上看,试验具有可重复性(能够在相同条件下重复进行). 归纳新知 课堂探究 可知性 不确定性 可重复性 问题3：我们研究随机现象、进行随机试验,自然就要观测试验的所有可能结果. 那么,如何对试验结果进行表示? 例1　如何表示出下列试验的所有可能结果? E1:抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上; E2:抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数. 探究三　样本点和样本空间 课堂探究 文字 字母 数字 归纳新知 课堂探究 内容 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验E的　　　　　　　　　　　称为样本点  用　　表示样本点  样本 空间 　　　　　　　　　　　称为试验E的样本空间  用　　表示样本空间  有限样 本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间 Ω={ω1,ω2,…,ωn} 每个可能的基本结果 ω 全体样本点的集合 Ω 思考：随机试验可能出现的结果数量一定是有限的吗? 追问：以试验“E1:抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上”为例,你能规范地写出试验的样本空间吗? 探究三　样本点和样本空间 课堂探究 文字表示:样本空间Ω={正面朝上,反面朝上}. 字母表示:若用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={h,t}. 数字表示:若用1表示“正面朝上”,0表示“反面朝上”,则样本空间Ω={1,0}. 注意：在用字母和数字形式表示时,要交代字母和数字的含义. 变式1：先后抛掷两枚不同的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间. 探究三　样本点和样本空间 课堂探究 字母表示:用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={hh,ht,th,tt}. 数字表示:用1表示“正面朝上”,0表示“反面朝上”,则样本空间Ω={11,10,01,00}. 数组表示:第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示, 其中x,y∈{0,1}(0表示反面,1表示正面),那么试验的样本点可用数组(x,y)表示,样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}. 变式2：先后抛掷两枚硬币,观察反面朝上硬币的个数,写出其样本空间. 探究三　样本点和样本空间 课堂探究 结论：同一随机试验,若观测目标不同,则得到的样本空间也不相同. 对比变式1和变式2,你能得到什么结论? 样本空间Ω={0,1,2}. 【练习1】 一个家庭有两个小孩,则样本空间为(　　) A.{(男,女),(男,男),(女,女)} B.{(男,女),(女,男)} C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} D.{(男,男),(女,女)} 课堂探究 解析 两个小孩的所有结果是:男男,男女,女男,女女, 所以样本空间为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},故选C. C 问题4：以试验“E2:抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数”为例,回答下列问题. (1)“掷出奇数点”是随机事件吗? (2)“掷出的点数为3的倍数”是随机事件吗? (3)如何用集合的形式表示上面的两个事件?这些集合与样本空间有什么关系? (4)运用样本点、样本空间的概念,如何看待和定义随机事件? 探究四　随机事件 课堂探究 是 是 归纳新知 课堂探究 内容 定义 随机事件 我们将样本空间Ω的　　　　称为随机事件,简称事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示. 基本事件 只包含　　　　样本点的事件称为基本事件 事件A发生 在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生  子集 一个 追问：我们在学习数学概念时,往往要关注其中的特殊情形. 样本空间的子集中有哪些比较特殊? 探究五　必然事件和不可能事件 课堂探究 空集和样本空间自身, 即必然事件和不可能事件. 归纳新知 课堂探究 内容 定义 必然事件 Ω作为自身的子集,包含了　　　　样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中　　　　　发生,我们称⌀为不可能事件 都不会 所有的 事件类型的判定方法： 明确条件 三种事件均相对于特定条件而言; 判断结果 一定发生是必然事件,可能发生是随机事件,一定不发生是不可能事件. 归纳新知 课堂探究 【练习2】 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件: (1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元; (2)三角形的内角和为180°; (3)没有空气和水,人类可以生存下去; (4)同时抛掷两枚硬币一次,都出现正面朝上; (5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张,抽到1号标签; (6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现. 课堂探究 随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件 随机事件 不可能事件 【例题2】 如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合表示下列事件: M=“恰好两个元件正常”; N=“电路是通路”; T=“电路是断路”. 课堂探究 课堂探究 解 (1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态, 则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示. 进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态, 则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}. 如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果. 课堂探究 解 (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1, 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}. “电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1, 所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}. 同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0. 所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}. 1.写样本空间的关键在于明确样本点,具体有以下三种方法: 列举法：适用样本点数量较少,可以把样本点一一列举出来的情况. 列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且样本点数量相对较多的情况.通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法. 树状图法：适用于较复杂问题中样本点的探求.一般需要分步(两步及两步以上)完成的试验,可以用树状图分层列举所有可能的结果. 归纳新知 课堂探究 2.用集合形式表示随机事件的步骤: 列出试验所有可能的基本结果,即所有的样本点; 确定所求随机事件中包含的样本点; 以这些样本点为元素构成集合. 该集合即为所求随机事件的数学表达. 归纳新知 课堂探究 课堂小结 总结归纳 我们今天都讲了哪些知识? 有限样本空间与随机事件 随机试验 样本点与样本空间 事件的分类 随机事件 必然事件 不可能事件 1.关于样本点、样本空间，下列说法错误的是( ) A.样本点是构成样本空间的元素 B.样本点是构成随机事件的元素 C.随机事件是样本空间的子集 D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多 [解析] 由定义知A，B，C中说法均正确． 因为随机事件是样本空间的子集， 所以由子集的定义可知D中说法错误．故选D． √ 课堂练习 32 2.［2025· 安徽江淮十校高二联考］下列各项中，属于随机事件的是 ( ) A.若正方形的边长为，则正方形的面积为 B.在没有任何辅助的情况下，人在真空中也可以生存 C.在一个标准大气压下，温度达到 时水会沸腾 D.抛掷一枚硬币，反面向上 √ 33 [解析] 对于A，若正方形的边长为，则由面积公式可知其面积为 ， A中事件是必然事件，故A不符合题意； 对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助的情况下，人不能在真空 中生存，B中事件是不可能事件，故B不符合题意； 对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到，水才会沸腾， 当温度是 时，水不会沸腾，C中事件是不可能事件，故C不符 合题意； 对于D，抛掷一枚硬币，可能是正面向上，也可能是反面向上，D中 事件是随机事件,故D符合题意.故选D. 34 3.一个家庭有两个孩子，观察两个孩子的性别，则样本空间为( ) A.{（男，女），（男，男），（女，女）} B.{（男，女），（女，男）} C.{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）} D.{（男，男），（女，女）} [解析] 两个孩子的性别的所有结果是男男，男女，女男，女女， 则样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}. 故选C. √ 35 4.做抛掷一枚质地均匀骰子的试验,观察骰子出现的点数,则事件 “出现质数点”用集合表示为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知 .故选B. √ 36 5.［2025·上海杨思高级中学高二质检］从装有标号为1，2，3的三个 球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机 试验的样本空间是_______. [解析] 若取出的两个球标号为1，2，则标号和为3； 若取出的两个球标号为1，3，则标号和为4； 若取出的两个球标号为2，3，则标号和为5. 故此随机试验的样本空间是 . 37 6.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件. （1）如果,都是实数,那么 ； （2）从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取1张,得到4号签； （3）没有水分,种子发芽； （4）某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫. 解：结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知， （1）是必然事件，（3）是不可能事件， 是随机事件. 38 7.［教材P245习题10.1T1改编］抛掷一蓝、一黄两枚质地 均匀的正四面体骰子，两枚骰子的四个面上均分别标有数字1，2，3， 4，分别观察底面上的数字，分别用， 表示蓝、黄骰子底面上的数 字，用 表示试验结果. （1）用表格表示试验的所有可能结果并写出样本空间； 39 解：该试验的所有可能结果如下： 所以样本空间，，，，， ， ，，，，，，，， ， . 40 7.［教材P245习题10.1T1改编］抛掷一蓝、一黄两枚质地 均匀的正四面体骰子，两枚骰子的四个面上均分别标有数字1，2，3， 4，分别观察底面上的数字，分别用， 表示蓝、黄骰子底面上的数 字，用 表示试验结果. （2）设事件“两个数字相同”， “两个数字之和等于5”，用列 举法表示事件和事件 ； 41 解：事件包含的样本点有，，， ， 所以，，，； 事件包含的样本点有 ，，，， 所以，，， . 42 7.［教材P245习题10.1T1改编］抛掷一蓝、一黄两枚质地 均匀的正四面体骰子，两枚骰子的四个面上均分别标有数字1，2，3， 4，分别观察底面上的数字，分别用， 表示蓝、黄骰子底面上的数 字，用 表示试验结果. （3）指出随机事件，，， 的含义. 解：事件，，， 的含义是“蓝色骰子底面上 的数字为2”. 43 布置作业 基础巩固:教材第231页练习第1,2,3题. 拓展延伸:查阅资料,了解更多概率论的起源背景与典型应用案例. 谢谢大家 谢谢大家 $