精品解析：河南三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

渑池二高2025－2026学年下学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 6. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面平面，，下列说法正确的是（ ） A. 与内任一条直线平行 B. 与内无数条直线平行 C. 与内任一直线不相交 D. 与无公共点 10. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A. B. 的虚部为 C. z是方程的一个根 D. 为纯虚数 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，那么_________． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 14. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 17. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2025－2026学年下学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 2. 某种手持弹力球的半径是，则这种手持弹力球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得手持弹力球的半径是， 故手持弹力球的体积为. 故选：B 3. 正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】作出原图形如下图所示： 由三视图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是． 故选：A． 4. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 5. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标表示向量共线可得. 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以设， 即. 故选：B 6. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 7. 某圆锥的母线长为，底面半径长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积 【详解】解：由题意得圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：A 8. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求. 【详解】因为， 所以， ， ， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得 ，则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若平面平面，，下列说法正确的是（ ） A. 与内任一条直线平行 B. 与内无数条直线平行 C. 与内任一直线不相交 D. 与无公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面位置关系判断CD；在正方体中，借助正方体中的线、面间的关系，判断AB. 【详解】，，，与无公共点， 从而与内任一直线不相交，CD正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，平面为平面， 平面为平面，显然与内无数条直线平行，故B正确； 又与异面，故A错误． 故选：BCD 10. 下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（    ） A. B. 的虚部为 C. z是方程的一个根 D. 为纯虚数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算化简，再根据复数模的定义，虚部的定义，复数的乘除法运算及乘方运算即可判断． 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，将代入方程得，， 所以不是方程的一个根，故C错误； 对于D，，为纯虚数，故D正确． 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算可得结果. 【详解】∵， ∴， 故答案为： 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 向量，， ∴ ，. 根据投影向量的定义，在方向上的投影向量为， 代入数据得投影向量为. 14. 在中，若三边的比是，则此三角形的最大角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用大边对大角确定最大角，再用余弦定理计算最大角即可. 【详解】不妨设，则c边对的角C最大，令， 得，而，故， 所以此三角形的最大角为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题. 第Ⅱ卷（非选择题） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤 15. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值． （3）求面积的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为 ， 由余弦定理可得 ， 因为 ，所以 . 【小问2详解】 在 中,由正弦定理得 ， 又因为 ，所以 ，解得 . 【小问3详解】 因为 ， 所以 . 17. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则， 又因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 19. 在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. （1）求灯笼总体积；（单位：分米） （2）已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【答案】（1）分米3 （2）分米2 【解析】 【分析】（1）先分别代入公式计算正四棱台的体积和正四棱柱的体积，将两个几何体的体积相加，即可得到灯笼的总体积； （2）先根据正四棱台的高和上下底边长差求出正四棱台的斜高，再分别计算正四棱台的侧面积与正四棱柱的侧面积，将两个侧面积相加，即可得到灯笼所需纸张的总面积. 【小问1详解】 已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，，  所以（分米3），  已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3）， 总体积：​（分米3）. 【小问2详解】 正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $