广西南宁市武鸣区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

广西南宁市武鸣区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。） 1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（　　） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 3．（3分）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 5．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 8．（3分）若，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x＜0 D．x≤0 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 10．（3分）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知导线的电阻为2Ω，2s时间导线产生50J的热量，电流I的值是（　　） A．5 B． C． D． 11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB，垂足为H，∠CAD＝20°，则∠BDH的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝9cm，∠ADC＝120°，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s．若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C．3 D．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）写一个使在实数范围内有意义的x，可以是　 　 ． 14．（3分）若，则a＝　 　 ． 15．（3分）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　 　 ．（写出一个即可） 16．（3分）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则a﹣b的值为　 　 ． 三、解答题（共72分） 17．（10分）计算： （1）． （2）． 18．（8分）如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 19．（10分）阅读材料： 在进行二次根式的运算时，如遇到像这样的式子，还需进一步地化简： 方法一：． 方法二：． 解决问题： （1）选择你喜欢的一种方法化简：． （2）计算：． 20．（10分）已知，，求代数式x2﹣y2的值． 21．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形， （1）利用尺规作∠ABC的平分线，交AD边于E，连结EC． （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）若▱ABCD的面积为m，则△BEC的面积为　 　 ． （3）试猜想线段CD，DE和BC的数量关系，并加以证明． 22．（12分）综合与实践： 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙立面是黄金矩形． （1）如图，经测量，帕特农神庙的立面宽约为31米，那么它的高度大约是　 　 米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3所示的AD处； 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DF，矩形BCDF就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它的黄金矩形，请判断并说明理由． （3）若MN＝2，以图3中的折痕AQ为边，构造黄金矩形，则这个矩形的面积是　 　 （直接写出结果）． 23．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1． （1）求证：△ABP≌△CDE． （2）判断△BEC的形状，并说明理由． （3）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断． 广西南宁市武鸣区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分。） 1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断． 【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．（3分）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（　　） A．2，3，4 B．，3，5 C．5，12，13 D．6，8，9 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足a2+b2＝c2，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【解答】解：A、22+32≠42，2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意； B、，，3，5不能组成直角三角形，不符合题意； C、52+122＝132，5，12，13能组成直角三角形，符合题意； D、62+82≠92，6，8，9不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 3．（3分）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【解答】解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意； B，，所以B选项不符合题意； C．|﹣2|＝2，所以C选项不符合题意； D． 2，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 4．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【分析】对于选项A，根据矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等即可对该选项进行判断； 对于选项B，根据矩形和菱形的对角线都互相平分即可对该选项进行判断； 对于选项C，根据菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直即可对该选项进行判断； 对于选项D，根据矩形和菱形的对角都相等即可对该选项进行判断； 综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等； ∴该选项矩形具有而菱形不具有， 故选项A符合题意； 对于选项B， ∵矩形和菱形的对角线都互相平分， ∴该选项矩形和而菱形都具有， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∴菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直， ∴该选项菱形具有而矩形不具有， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵矩形和菱形的对角都相等， ∴该选项矩形和而菱形都具有， 故选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决问题的关键． 5．（3分）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 【分析】首先连接AC，BD相交于点E，由在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），可求得点E的坐标，继而求得答案． 【解答】解：连接AC，BD相交于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD， ∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2）， ∴BD＝6，AE＝2， ∴DEBD＝3，AC＝2AE＝4， ∴点C的坐标为：（3，4）． 故选：C． 【点评】此题考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直． 6．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】解：∵AD＝AB＝2， ∴DE， ∴CD＝2； 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键． 7．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝110°，与∠α相邻的外角是70°，则∠β的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】先求出∠α的度数，再根据四边形内角和即可求出∠β的度数． 【解答】解：∵与∠α相邻的外角是70°， ∴∠α＝180°﹣70°＝110°， ∵四边形ABCD的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠β＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠α＝360°﹣80°﹣110°﹣110°＝60°， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 8．（3分）若，则x的取值范围是（　　） A．x＞0 B．x≥0 C．x＜0 D．x≤0 【分析】根据二次根式的性质和已知条件求出答案即可． 【解答】解：∵， ∴x≤0， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质和化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10． 又∵CD为中线， ∴CDAB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BFCD＝2.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 10．（3分）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知导线的电阻为2Ω，2s时间导线产生50J的热量，电流I的值是（　　） A．5 B． C． D． 【分析】将已知量代入物理公式Q＝I2Rt，即可求得电流I的值． 【解答】解：通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt， 所以电流． 故电流I的值为， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的实际应用．熟练掌握运算法则是关键． 11．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB，垂足为H，∠CAD＝20°，则∠BDH的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【分析】由菱形的性质推出∠BAC＝∠CAD＝20°，AC⊥BD，由余角的性质得到∠BDH＝∠BAC＝20°． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠CAD＝20°，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠AOB＝∠DHB＝90°， ∴∠BDH+∠DBH＝∠BAC+∠DBH＝90°， ∴∠BDH＝∠BAC＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝9cm，∠ADC＝120°，点E、F同时从A、C两点出发，分别沿AB，CB方向匀速运动（到点B停止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s．若经过t秒时，△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】连接BD，证出△ADE和△BDF全等，得到AE＝BF，再利用AE＝tcm，CF＝2tcm，则BF＝BC﹣CF＝（9﹣2t） cm，求出时间t的值． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝9cm，∠ADB∠ADC＝60°，∠ABC＝∠ADC＝120°， ∴∠CBD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝∠DEF＝60°， 又∵∠ADB＝60°， ∴∠ADE＝∠BDF， 在△ADE和△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（ASA）， ∴AE＝BF， 由题意得AE＝t，cmCF＝2tcm， ∴BF＝BC﹣CF＝（9﹣2t）cm， ∴t＝9﹣2t， ∴t＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE＝BF． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）写一个使在实数范围内有意义的x，可以是　2（答案不唯一）　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x的范围，即可解答． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 则的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 14．（3分）若，则a＝　6　 ． 【分析】先根据合并同类二次根式法则计算，再根据已知条件求出a即可． 【解答】解：∵， ∴a＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减，解题关键是熟练掌握合并同类二次根式的法则． 15．（3分）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　2或3或4或5或6　 ．（写出一个即可） 【分析】由平行四边形两个邻边长分别为3和4，根据三角形的三边关系，即可求得它的一条对角线长n的取值范围． 【解答】解：如图， ∵平行四边形两个邻边长分别为3和4， ∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3， 即它的一条对角线长n的取值范围是：1＜n＜7． ∴n＝2或3或4或5或6． 故答案为：2或3或4或5或6． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握三角形三边关系的应用． 16．（3分）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则a﹣b的值为　　 ． 【分析】先估算的范围，即可得出的范围，根据题意，即可得出a，b的值，最后把a，b的值分别代入a﹣b计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的整数部分为5，小数部分为， ∵a，b分别是的整数部分和小数部分， ∴a＝5，， ∴a﹣b ． 故答案为：． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握“夹逼法”估算无理数的大小是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17．（10分）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算； （2）先对二次根式进行化简，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2 ＝1； （2）原式＝2 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18．（8分）如图，▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC、OA以及▱ABCD的面积． 【分析】直接利用平行四边形对边相等得出BC＝AD＝8，再利用勾股定理得出AC的长，结合平行四边形对角线互相平分以及利用平行四边形面积公式求出即可． 【解答】解：∵▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC， ∴BC＝8，则AC6， ∴AO＝CO＝3， ∴▱ABCD的面积为：AC×BC＝6×8＝48． 【点评】此题主要考查了平行四边形的面积以及其性质和勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键． 19．（10分）阅读材料： 在进行二次根式的运算时，如遇到像这样的式子，还需进一步地化简： 方法一：． 方法二：． 解决问题： （1）选择你喜欢的一种方法化简：． （2）计算：． 【分析】（1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据方法一，进行分母有理化计算即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ＝﹣1+2 ＝1． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算及分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 20．（10分）已知，，求代数式x2﹣y2的值． 【分析】根据二次根式的加减法法则分别求出x+y，x﹣y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：∵x1，y1， ∴x+y＝2，x﹣y＝﹣2， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝2（﹣2） ＝﹣4． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则和平方差公式是解题的关键． 21．（10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形， （1）利用尺规作∠ABC的平分线，交AD边于E，连结EC． （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）若▱ABCD的面积为m，则△BEC的面积为　m ． （3）试猜想线段CD，DE和BC的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）易知△BEC的面积是▱ABCD面积的一半； （3）由角平分线的定义以及平行四边形的性质可得CD＝AE，AD＝BC，则BC＝CD+DE． 【解答】解：（1）如图，BE即为所求； （2）S△BECS▱ABCDm， 故答案为：m； （3）BC＝CD+DE．证明：∵BE为∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝CD， ∵AD＝BC＝AE+DE， ∴BC＝CD+DE． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行四边形的性质、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的作图方法以及平行四边形的性质是解答本题的关键． 22．（12分）综合与实践： 背景知识：宽与长的比等于（约为0.618）的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙立面是黄金矩形． （1）如图，经测量，帕特农神庙的立面宽约为31米，那么它的高度大约是　19　 米．（结果取整数） 实验操作：折一个黄金矩形 第一步，在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形MNCB，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图3所示的AD处； 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DF，矩形BCDF就是黄金矩形（如图4）． 问题思考： （2）图4中是否还存在其它的黄金矩形，请判断并说明理由． （3）若MN＝2，以图3中的折痕AQ为边，构造黄金矩形，则这个矩形的面积是　或　 （直接写出结果）． 【分析】（1）直接根据黄金矩形的定义，列式计算即可； （2）设MN＝2a，根据题意，易得ME＝BE＝a，根据黄金分割求出BF，进而求出MF，求出的值，即可得出结论； （3）分AQ为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：帕特农神庙的高度与面宽的比约为0.618， 则帕特农神庙的高度≈31×0.618≈19； 故答案为：19； （2）存在，理由如下： 设MN＝2a，则BC＝MB＝MN＝2a， 由折叠可知ME＝BE＝a， ∵矩形BCDF就是黄金矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形MNDF为黄金矩形； （3）∵MN＝2， ∴MB＝MN＝AE＝2， ∴， ∴， ∵折叠， ∴∠BAQ＝∠QAD， ∵矩形纸片， ∴MQ∥DN， ∴∠BQA＝∠QAD＝∠BAQ， ∴， ∴， ∴， 当AQ为黄金矩形的长时，则宽为， 则矩形的面积为：； 当AQ为黄金矩形的宽时，则长为， 则矩形的面积为：； 综上，矩形的面积为或． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查黄金分割，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握黄金矩形的定义是解题的关键． 23．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1． （1）求证：△ABP≌△CDE． （2）判断△BEC的形状，并说明理由． （3）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断． 【分析】（1）利用边角边即可得证； （2）利用勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，可说明△BEC为直角三角形； （3）根据平行四边形的性质与判定可证明四边形EFPH为矩形； 【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠ABP＝∠CDE＝90°， 在△ABP和△CDE中， ， ∴△ABP≌△CDE（SAS）； （2）解：△BEC为直角三角形． 理由：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵DE＝BP＝1， ∴AE＝5﹣1＝4， 在Rt△ABE和Rt△DEC中， BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5， ∴BE2+CE2＝25， ∵BC2＝52＝25， ∴BE2+CE2＝BC2， ∴∠BEC＝90°， ∴△BEC为直角三角形； （3）解：四边形EFPH为矩形． 证明：∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1， ∴AE＝PC， ∴四边形APCE，四边形DEBP均为平行四边形， ∴BE∥PD，AP∥CF， ∴四边形EFPH为平行四边形， ∵∠BEC＝90°， ∴四边形EFPH为矩形． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定，直角三角形的判定，矩形的判定，勾股定理等知识的综合运用，属于四边形综合题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $