精品解析： 广西南宁市武鸣区2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试题

2024-2025学年度春季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本测试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2．作答时，请认真阅读答题止的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，第小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式在实数范围内有意义，取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. C. 4，5，6 D. 7，24，25 4. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离（　　） A 变大 B. 变小 C. 先变小后变大 D. 不变 7. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 8. 如图，在中，对角线相交于，且，则的周长（ ） A. 30 B. 48 C. 28 D. 29 9. 如图，矩形的对角线交于点，，则的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 10. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 11. 我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（ ）尺 A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 12. 在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（ ） A 12 B. 13 C. 16 D. 17 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：________. 14. 如图，将同等宽度的两张纸条重叠在一起，使，则的度数为______． 15. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 16. 如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）已知，求的值． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）画一个三角形，使得三条边的长度分别为，，3． （2）求的面积． 19. 如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 20. 如图，矩形的对角线相交于点，且． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，求四边形面积． 21. 小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． （3）应用运算规律化简： 22. 五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．     （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 23. 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数． 【实践探究】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度春季学期期中学业质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本测试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效． 2．作答时，请认真阅读答题止的注意事项． 3．不能使用计算器． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，第小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： 选项A：，被开方数为分数，需分母有理化，化简为，不是最简． 选项B：，被开方数15分解为，无平方因数，且分母无根号，符合最简条件． 选项C：，可开方为2，不是最简二次根式形式． 选项D：，即，需分母有理化为，不是最简． 综上，B正确答案， 故选：B． 2. 二次根式在实数范围内有意义，取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，建立不等式解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 解得， 故选：D． 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 B. C. 4，5，6 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理解答即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 4. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算，逐一计算验证各选项的正确性，解答即可． 本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：， 故A错误． 选项B：， 故B错误． 选项C：， 故C正确． 选项D：， 故D错误． 故选：C． 6. 如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（OM）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离（　　） A. 变大 B. 变小 C. 先变小后变大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出 即可得出答案． 【详解】在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是： 连接OP， ∵，P为AB中点， ∴ 即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是. 故选D. 【点睛】考查直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 7. 如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，对角线相交于，且，则的周长（ ） A. 30 B. 48 C. 28 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的二关键． 【详解】解：根据得到， 故的周长为， 故选：A． 9. 如图，矩形的对角线交于点，，则的长为（ ）． A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的对角线交于点，，得到，判定是等边三角形，后根据勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据矩形的对角线交于点，， 故， 故是等边三角形， 故， 故， 故选：A． 10. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，根据三个角都为直角的四边形是矩形可得答案． 【详解】解：由三个角都为直角的四边形是矩形， 可知测测量其中三个角是否都为直角可判断一个四边形门框是否为矩形， 故选：D． 11. 我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题，今有方池一丈二，葭生其中央，出水二尺，引薜赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈尺）．意思是有一个长方体池子，底面是边长为丈的正方形，正中间有芦苇，把高出水面2尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，则芦苇长（ ）尺 A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设芦苇长为x尺，根据题意，得尺，尺，尺，根据勾股定理计算即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设芦苇长为x尺， 根据题意，得尺，尺，尺， 根据勾股定理得， 解得． 故选：B． ． 12. 在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，将军饮马河原理，熟练掌握性质和原理是解题的关键．连接，证明转化得到，利用将军饮马原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得， 连接交于点F， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：________. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 14. 如图，将同等宽度的两张纸条重叠在一起，使，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据题意可知，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：根据题意可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 15. 最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式，二次根式的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出，变形即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为______． 【答案】0.5或5 【解析】 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可． 【详解】解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）将字母的值代入，根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 详解】解：（1）原式； （2）原式． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）画一个三角形，使得三条边的长度分别为，，3． （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）1.5 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理作图，计算网格中图形面积，正确掌握勾股定理是解题的关键． （1）分别画出三边长为，，3的线段，顺次连线即可； （2）利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：面积 19. 如图，在平行四边形中，点分别在边上，且．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的性质可得，，进而由即可证明； （）由平行四边形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，即得，据此即可得到四边形是平行四边形； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，矩形的对角线相交于点，且． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法，解题的关键是熟记菱形的各种判断方法． （1）首先可根据，判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分可得，由此可判定四边形是菱形； （2）连接，通过证四边形是平行四边形是平行四边形，得，根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积． 【小问1详解】 解：四边形是菱形． 理由： ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形． 小问2详解】 解：连接， 四边形是矩形， ， 由（1）可得， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 21. 小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． （1）具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． （3）应用运算规律化简： 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：． 22. 五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传．     （1）求的度数． （2）请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？ （3）若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】（1） （2）小丽在家能听到广播，计算见解析 （3）小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判断的形状； （2）过点作，根据等积法求出的长，然后和250米作比较解答即可； （3）作，根据勾股定理求出长，再根据时间路程时间解答即可． 【小问1详解】 解：， 又， ， 是直角三角形，即． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为D， 直角三角形， ， ， 解得， 小丽在家能听到广播； 【小问3详解】 解：依题意，， 根据勾股定理，， 移动广播车的速度为10米／秒， 秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 23. 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点是的中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点为，延长交线段于点，连接．求的度数． 【实践探究】 （2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点，分别在，上，连接，，．若，，求的长． 【拓展迁移】 （3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）的长为3；（3） 【解析】 【分析】此题是四边形综合题目，考查了折叠性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，得出，由直角三角形的性质可得出答案； （2）延长到，使，连接，证明，得出，由勾股定理可得出答案； （3）将沿和翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点，证明四边形是正方形，得出，设，则，，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）由折叠可得：，，． 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）延长到，使，连接， 则， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在中，， ， ， 的长为3． （3）将沿翻折得到，沿翻折得到，延长，交于点， ，，，，， 四边形是正方形， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$