甘肃陇南市宕昌县第一中学、第二中学、两当县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 三校联考期中卷聚焦高一下学期核心知识，以复数、解三角形、向量、函数为主体，通过《数书九章》文化情境（第10题）与函数零点数列综合题（第19题），构建基础巩固与创新应用的能力梯度，体现数学抽象与推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量运算、三角形形状判断|基础概念辨析，如第3题结合边角关系考查几何直观| |多选题|3/18|复数性质、三斜求积术、三角函数性质|文化传承与多维度分析，第10题融合古代数学成就考查数学语言表达| |填空题|3/15|复数因式分解、向量模与夹角、函数恒成立|运算能力与抽象思维，第14题考查函数最值的数学思维| |解答题|5/77|向量运算、解三角形多问、函数与数列综合|分层设问，如17题结合面积与中线考查推理能力，19题体现模型意识|

绝密★启用前 2025-2026年宕昌第一中学、第二中学、两当第一中学 高一下学期期中考试数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．已知复数，则z的虚部为(      ) A.1 B.i C.-1 D. 2．若，满足，，则可以是(   ) A. B. C. D. 3．在中,若,则的形状一定是(      ) A.等腰三角形 B.等腰或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不含的直角三角形 4．已知，，则(      ) A.-4 B. C. D. 5．已知,,则(      ) A. B. C. D. 6．已知，，三点，点P在圆上运动，则的最大值与最小值之和为( ) A.96 B.98 C.100 D.102 7．已知的半径为1,直线PA与相切于点A,直线PB与交于B,C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为(      ) A. B. C. D. 8．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,,,则(      ) A.120° B.135° C.150° D.165° 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数,,则(      ) A.是纯虚数 B.在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 10．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有满足,且的面积,请运用上述公式判断下列结论正确的是( ) A.的周长为 B.三个内角满足 C.外接圆的直径为 D.的中线的长为 11．已知函数在上有最大值，无最小值，则(   ) A.为奇函数 B.在上单调递增 C.直线是图象的离y轴距离最近的对称轴 D.的最小正周期为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在复数范围内分解因式：__________. 13．已知,且,则______,______. 14．函数,当时,不等式恒成立,则实数m的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）(1)若,求； (2)已知,,,求和的夹角. 16．（15分）在中,角所对的边分别为,已知. (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值. 17．（16分）在中,内角的对边分别是,且. （1）若的面积为,求的周长; （2）若,D为边上的一点,,且,求的面积. 18．（16分）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,. （1）求B; （2）若D为外一点,B,D分别位于直线的两侧,,,,求的面积. 19．（18分）设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且. (1)求ω的值； (2)求函数图象的对称中心； (3)求数列的前项和. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.答案：C 解析：z=i2-i5=-1-i,所以z的虚部为-1. 2.答案：C 解析：山题意可得a=2x-名或a=2-,B-a=2+号或B-u=2- 6 3 k,k2∈Z, 因为B=(B-a)+a,所以B=2(k+)π+元或B=2(k+k)元-或 6 2 B2飞+x,K，七E乙，路可知C确，ABD错误 故选C. 3.答案：B 解析：由c-acosB=2a-b)cosA和正弦定理，可得 sin C-sin AcosB=2sin Acos A-sin Bcos A, 因sinC=sinA+B)=sin Acos B+cos Asin B,代入上式，化简得： 2sin B cos A=2sin Acos A, 即(sinB-sin A)cos A=0,故得cosA=0或sinB-sinA=0, 当cosA=0时，0<A<π，所以A=此时△ABC是直角三角形： 当sinB-sinA=0时，sinB=sinA,又0<A<π，0<B<元， 则A=B或B=π-A(舍去)，此时△ABC为等腰三角形 综上：可得△ABC的形状一定是等腰或直角三角形 故选：B. 4.答案：C 解析：由cos(a+B)=2sin(a-B),得cosacosB-sinasinB=2 sinacosB-2 cosasinB, 即(cosa-2sina)cosB=(sina-2cosa)sinB,所以cosa-2sina=tanB, sina-2cosa 所以-2tana、3 ana-2=-2’tana=-4,所以an2a= 2tand 8 1-tan'a 15' 5.答案：D 解折：ana-3tanB→s加g=3s0g→sin=3 sino, cosa cos B 1 由sin(a+B]=3→sina co+sinB=3→3 os+ossnB= 3 →cosa sin阝= →sinacosB=1 12 所以sin(&=B=sinacos-cosa sinB=412= 6.答案：D 解析：由点P在圆x2+y2=1上运动，设P(cos0,sin0), 所以PA+2PB+31PCP=(cos0+5)2+(sin0-1)2 +2[(cos0-1)2+(sin0-1)2]+3(cos0-1)2+(sin0+2)2]=51+6sin0, 显然51+6sin0的最大值、最小值分别为57和45， 所以PA+2PB+3PC的最大值与最小值之和为102. 故选：D 7.答案：A 解析：如图所示，0A=1,0P=V2,则由题意可知：∠AP0= 由勾股定理可得PA=VOp2-OA=1 当点A,D位于直线PO异侧时或PB为直径时，设∠OPC=a,0≤a< 则：pa.pn=PHPDeosa+4) =1x /2cosa cos a+ =√2cosu √2 -c0S0- -sin a cos-a-sina cosa =1+c0s2a 2 2sin 2a 1 22 0sa<则-s2- 44 当20至子时及.P历有经大值1 B 当点A,D位于直线P0同侧时，设∠OPC=,0<a<工 则：PA.PD=PA.PDcos -a =1xv2 cosa cos - 4 =2cosa cosa+- 2 2 cosa +sina cosa =1+cos2a,1 -+sin 2a 2 0≤a<,则牙s2a+刀<3n 4 44 当2a+子号时网历有最大值中2 综上可得，PA.PD的最大值为+V2 2 故选：A 8.答案：A 解析：在△ABC中，S=号besin A,又S=(b2-c2)sinA, 则besin=(b2-e2)sinA,而sin4>0, 则bc=b2-2c2,即(b-2c)b+c)=0,又b+c>0,则b=2c, 而、1 1 cos A cosC sin C cos A+sin AcosC sin(A+C)sin B "tan 4 tan C sin 4 sin C sin Asin C sin Asin C sin Asin C' 由L+L=2得snB-2cosB,即sin2B=2 sin 4sin Cco58, tan A tan C tan B sin Asin C sin B 由正弦定理得b2=2 ac cos B,由余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB 因此b2=a2+c2-b2,即4c2=a2+c2-4c2,则a2=7c2, 田余弦定理cos46+c-a-4c十+C7c=又0<1<180 2be 所以A=120° 故选：A 9.答案：ABC 解析：对A:z2=9i,为纯虚数，故A正确： 对B:三=5-8i_5i+885 Z,9i ,由-8<0、-5<0， -999 故子在复平面内对应的点位于第三象限赦B正确： 对C:由z1=5-8i,则z,=5+8i,故C正确； 对D:2=V92=9,故D错误 10.答案：ABC 解析：由正弦定理可得a:b:c=2:3:√7. 设a=2m,b=3m,c=√7m(m>0), 7m2.4m2 7m2+4m2-9m2 3V m=65, 2 2 解得m=2,△ABC的周长为a+b+c=4+6+2√7=10+27，故A正确； 由余弦定理得cosC= a2+b2-c216+36-281 2ab 2×4×629 BC匹产A+BC=A+B2C=1+B,放B正确 由正弦定理知，△BC外接圆的直径2R=C。-27.42 sin C sin73故C正确： 3 由中线定理得G+=0+2c0,即cD-16+36-×28-10, 2 CD=√19，故D错误 故选：ABC 11.答案：CD 解析：f(x)=sin2ox+cos2ox=√2sin 当x∈ ππ /π0元2π0+π 12'3 时，20x+ 64’34 因为函数f(x)在 ππ 12’3 上有最大值，无最小值， 所以存在k∈Z,使得-+2km≤0+<+2k<2T@+及s3π+2km, 一十 十 642 342 9+12k≤0<2 9 3 +12k, 整理得 k eZ, 2+3k<@≤ 5 +3k, 8 ( 9 3 0< 2 2 3 3 所以 解得。<0< 15 8 2 <ω≤ 8 又因为o∈N,所以o=1, 所以f)=5sn2x+引 对于A,函数f(x)的定义域为R,且∫(0)=1≠0，所以函数f(x)不是奇函数，故A 错误； 对于，当任引时，2+)=后》所以数在任引 上单 调递减，故B错误； 对于C,令2x+ +k缸，kEL,则x+,kE乙，所以离y轴距离最近的为 42 称销方程为x=名，故C正确： 对于D,f)的最小正周期为=元，故D正确 故选CD. 2岑案-列+9+5 解析：x3-27=x3-33=(x-3)x2+3x+9 令r+3x+9=0,由求根公式可得：x=-3±27=-3±33 2 2 故-n-号+） 数客案-+子+】 13.答案：-/-0.28：31v2 25 50 解折因为u所以a+低】 因为ea+8}-房所以sma+别--oma+君-} 因为2a+骨-2a+ 7 ππ 因为2a+ 0 =2a+ 34 所以nu+}s[2u+到--sma+引s-fa+} 50 14.答案：(-0,2] 解析：因为f(x=x3-3x2+4x-1=(x-1)3+(x-1)+1, 所以f'(x)=3x2-6x+4=3x2-6x+3+1=3x-1)2+1>0, 则f(x在R上单调递增，由已知得f(x)=(x-1)+(x-1)+1, 令x-1=t,可将f(x)化为h(t)=r+t+1,且令g(t)=t+t, 而g-t)=(-t)+(-t)+1=-t3-t=-g(0),即g(t)是奇函数， 因为f(msin0)+f(4-m)>2, 所以(msin0-1)+h(4-m-1)>2, 则g(msin0-1)+g3-m)+2>2,即g(msin0-1+g(3-m)>0 即g(msin0-1)>-g(3-m)=g(m-3), 由题意得f(x)在R上单调递增，可得g(t)在R上单调递增， 则msin0-1>m-3,化简得m< 2 1-sin0' 2 令t(0)=1-sin ,得到m<t(0)min, 由正弦函数性质得)=sm9在(0，受 上单调递增， 可得0)在0,2 上单调递增，即(0)∈(2，+oo),故m∈(-oo,2]. 故答案为：(-o,2] 15.答案：(1)10i 2 6 解析：(1)油z=5+i,得i(z+z=i(5-i+5+i)=10i; (2)油2a-ba=0, 得2a2-a-6=2-l5cos(a,6）=0, 又=5,6=4，cosa,6=2×3-5 432 ra,ie[0,元， :石和5的夹角为君 16.答案：(1)4 2分 4 7 6)4 解析：(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B, 9 即25=4t2+9t2-2×2t×3t×,,解得1=2（负舍)； 16 则a=4,c=6. 2法一：因为B为三角形内角，所以sinB=1-cosB-1-6 5v7 16 45 sin4sim即sin5万，解得sinA=5 再根据正弦定理得。= b 4 16 法二：由余弦定理得cosA=6+c2-a=32+62-43 2bc 2×5×64 因为4e1则4-目-9 6)法一：因为c0sB= >0,且8e0,所以8e0引， 16 由(2)法一知sinB= 57 16 因为a<b,则A<B,所以cosA 14 则n21=2n4w4=2w7-24=2os4-2[目-1月 448 cos(B-24)=cos Bcos24+sin Bsin 24=9x557 16816864 法=：sin2A=2in4cosA=2x5x3-3V5 448 则c0s2A=2c0s2A-1=2× - 925万 因为B为三角形内角，所以sinB=-cosB=-6=16 所以cosB-2A)=2A+sin Bsin2A=9x'+5V万×3V7_57 16816864 17.答案：(1)3√2 (2)3V5 解析：(1)在△ABC中，因为2c=a+2 bcosA, 由正弦定理得2sinC=sinA+2 sinBcosA, 2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA sinA+2sinBcosA, 所以2 sin Acos B=sinA,即sinA(2cosB-l)=0, 又4e0,sm4>0,所以eos8- 又B∈(0，，所以B=元 3 h5aon8-9-9得c=2 22 弦定理得cosB=+c-广-7得a2+c22=ac得a+c=3ac+28 2ac a+c=2V2, 所以△ABC的周长为a+b+c=√2+2V2=3√2. (2)由题意知Sc=SAn+SAD,BD=3,由(1)知B= 所以csin5=)x3asin”+ “32 2x3 esin,即ac=3(a+c. 62 由余弦定理得=a+e2-2acos号则a2+c2-ac=12,即(a+c-3ac=12, 结合ac=V3(a+c,得(ac2-9ac=36,解得ac=l2或ac=-3(舍)， 所以Sac=)acsinB=,×12x5=3V5. 2 2 18.答案：(1) 3 (2)4V35+9 2 解因为g-25c到}所以5=2nc+引=nccc, 由正弦定理可得V3(sinA-cosCsinB)=sinBsinC, 所以V3(sin(B+C)-cosCsinB)=sinBsinC,所以√3 cosBsinC=sinBsinC, 又C∈(0，π)，则sinC>0,所以sinB=√3cosB, 则tanB=V5,B∈(0，元，所以B= 3 2)由（1)知，B=行，a=4,在△AC中，由正弦定理得， AC BC 4 sin∠Bsin∠BAC sin∠BAC' 所以AC= 2W3 sin∠BAC 3w5 3v5 叉ADC-:AD34 BAC-ZDAC所以4C3 2 2 cOS∠DAC cos∠BAC 35 故2V5 ,即3sin∠BAC=4cos∠BAC. sin∠BAC cos∠BAC 又sn∠BAC+os∠BAC=-1所以sn∠B4C-号c0s∠B4C-所以4C-55 2 又sin/ACB=sin 所以△4BC的面积为)AC.BCsin∠ACB=5V5sin∠ACB=4v5+9 19.答案：(1)0=π .21 2)k+2 (3)S2n=2n2 3 解析：(I)冷f(x=sin ox-2）-}0得 32 0X 25-+2m或0x-2-死+2p,其中m,peZ, 36 36 解得x=红+2m或x=3抓+2pr 600 20 0 所以当m=0时，f)的最小正零点为x=5江 60 5 依题意有x= 5ra气故0=元 60 (2)油1)知fx)=sinr-2）_1 32 令x- 2 三k红，解得x三k+kE乙 21 所以函数y=f(x)图象的对称中心为k+ 3’2 k e Z. 6)油(1)可知f)=0满足x=三+2m或x= *2p, 3 依据三角函数的特性可知，f(x)=0在一个周期内有两个零点， 所以最小的两个正零点为4，= 4房州期7=经2， 所以数列{a的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 6 数列Q,的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 6 221-为奇数 +2m+1-1 所以an= 3 7 1 所以a=2n-6’a.=2n- 2 所以s8+g+t”-引4n+号)2+号 2 22 +3》