精品解析：河北石家庄市张家口市部分学校2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

5月高二年级期中测试卷 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量. 对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量； 对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量； 对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量. 综上，②③是离散型随机变量. 2. 李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 7种 D. 5种 【答案】A 【解析】 【分析】由分步计数原理结合题设可得答案. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有种不同的布置方案. 3. 若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】由题意得，解得． 4. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】因为，解得或（舍去），则． 5. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 2 0.3 0.3 A. 0.3 B. 0.6 C. 0.9 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得， ， . 6. 袋子中有大小、质地相同的4个球，其中标号为的球有2个，标号为a，b的球各有1个．从袋中任取2个球，已知有一个球标号为，则另外一个球标号也为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】记取出的2个球中，至少一个标号为为事件，2个球标号都为为事件， 则，， ． 7. 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以的展开式的通项公式为， 所以． 8. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 1 B. 7 C. 21 D. 7或21 【答案】B 【解析】 【分析】由极大值点为，可得，然后由组合数定义可得答案. 【详解】由题意有， 令，解得或， 当，此时在R上单调递增，无极值，不满足题意； 当，，， 则在和上单调递增，在上单调递减，从而为极大值点， 但此时与矛盾； 当，，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，所以为极大值点，可得．因此，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】设 ，则， 所以在点处的切线斜率， 则，又，所以得， 对照选项，只有选项AC符合题意． 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，结合数学期望对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为， 则，解得，故A正确； ，故B正确； 则，故C正确； ，故D错误． 11. 蔚县（非遗与古堡文化）、阳原县（人类起源与考古）、怀来县（生态与湿地）是张家口地区的三大文化研学地．现有甲、乙、丙、丁位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，事件为“乙同学前往阳原县（人类起源与考古）研学”．则（ ） A. 事件发生有12种方案 B. C. 事件发生有4种方案 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先算出4名同学分配的总基本事件数为36，再分两类求出甲去蔚县且阳原、怀来都有人的分配共12种，判定事件A正确并算出概率为即B正确；接着分析甲去蔚县且乙去阳原的交事件情况数为5，得出C错误；由A、B概率相等结合条件概率公式，推得两个条件概率相等，判定D正确，最终选ABD. 【详解】事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，此时其余3名同学的分配需保证阳原县和怀来县都有人前往，一类是从其余3人中任选1人与甲同往蔚县，其余2人在阳原县和怀来县一人一地排列，第二类是其余3人，选出2人合成一组，与剩下的1人在阳原县和怀来县排列，共有种，故A正确； 由题可知，总基本事件数为，所以，故B正确； 事件AB：当甲同学前往蔚县研学，乙同学前往阳原县研学时，有两种情况， ①怀来县有两位同学研学，即丙丁，只有1种情况； ②蔚县或阳原县有两位同学研学，在丙丁2人中先选1人去怀来县，另1人去蔚县或阳原县，共有种情况； 所以事件共有种情况，故C错误； 同理可得，因为，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】在定义域范围内，利用导函数判断单调性，导函数小于零的解集为原函数单调递减区间． 【详解】因为，，故， 令得，解得， 故的单调递减区间为． 13. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列，，则______． 【答案】21 【解析】 【分析】根据该数阵第行有个数，从左向右分别为，第行最后一项位于原数列第项即可求解 【详解】将数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…变成以下数阵： 第1行 2 第2行 3 3 第3行 4 6 4 第4行5 10 10 5 … … 则因为，所以在该数阵第6行的第2个位置，故． 14. 为研究不同性别学生对“豆包”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解豆包”，“学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【详解】已知，抽取男生和女生各50名，所以． 根据条件概率公式，可得． 根据条件概率公式，可得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校从6名男教师，5名女教师中选出4名参加支教活动． （1）求共有多少种不同的选法？（用数字作答） （2）从中选出4名教师，并安排到4个不同的学校，每个学校安排1名教师，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 从6名男教师，5名女教师中选出4名教师的选法种数为； 【小问2详解】 从6名男教师，5名女教师中选出4名教师，再将选出的教师安排到4个学校，每个学校安排1名教师的安排种数为． 16. 中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 已知甲品牌的占比和甲品牌的合格率，根据条件概率乘法公式，可直接计算出机器人是甲品牌合格品的概率； （2）要求该机器人是合格品的概率，需要分别计算出甲，乙，丙三个品牌的合格品概率，再根据进行计算. 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得 ． 17. 在的展开式中，第5项为常数项． （1）求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项（结果的系数用数字表示）； （2）若在展开式中任取3项，其中无理项的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出展开式的通项，根据第5项为常数项求出，再根据二项式系数的性质即可得解； （2）先确定展开式中无理项的项数，进而可得出的所有可能取值，再求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 的展开式的通项为， 因为第5项为常数项，所以当时，有，解得， 所以该展开式共有9项，二项式系数最大的项为第5项，； 【小问2详解】 由（1）知展开式的通项为 ， 由，可得， 即展开式中有理项的个数为3，无理项的个数为6， 故随机变量的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 因此． 18. 已知函数，． （1）求的极值点； （2）若在区间内单调递减，求的取值范围； （3）若，比较与1的大小．（其中） 【答案】（1）为的极大值点，为的极小值点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后通过分析函数的单调性即可求解； （2）由（1）知在上单调递减，则在区间内单调递减可转化为进行求解； （3）由（1）知，，然后对分类讨论求得函数的最大值与1的大小关系即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， ， 因为，所以，由，可得或， 由，可得，因此在和上单调递增，在区间上单调递减； 故为的极大值点，为的极小值点． 【小问2详解】 由（1）得在上单调递减， 要想在内单调递减，则， 即，解得，又，则的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知，， ①当即时，又，则， 即在上单调递减，则，所以； ②当时，即， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最大值为与中的较大者， 而，， ，即，所以； 综上，当且时，. 19. 某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人都在组的概率； （2）求甲在两天内至少担任一次组长的概率； （3）记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型，先计算10名运动员分成A、B两组的总方法数，再计算甲、乙两人都在A组的分组方法数，通过两者的比值计算所求概率. （2）先求出甲每天不担任组长的概率，利用对立事件的概率公式，用1减去甲两天都不担任组长的概率，得到甲在两天内至少担任一次组长的概率. （3）先确定随机变量的可能取值，分别计算时的概率，列出概率分布列，再根据分布列的定义计算数学期望. 【小问1详解】 10名运动员分成A，B两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人都在组”，则事件共有种不同方法， 所以. 【小问2详解】 甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在两天内至少担任一次组长”， 则． 【小问3详解】 根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： A组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种， 第二天选组长： 组从5人中选1人有种，组从5人中选1人有种，总选法为种， 对于任一小组，两天选出同一名组长的概率为， 选出不同组长的概率为. 的含义：两天的组长完全相同，即组两天选同一个人，组两天也选同一个人， 所以， 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以， 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为4，即组两天选不同的人，组两天也选不同的人， 所以， 所以的分布列为 2 3 4 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月高二年级期中测试卷 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 李老师要从3幅不同的油画、2幅不同的国画和2幅不同的水彩画中各选取1幅布置自己的名师工作室，则不同的布置方案有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 7种 D. 5种 3. 若的展开式中各二项式系数和为64，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 0 1 2 0.3 0.3 A. 0.3 B. 0.6 C. 0.9 D. 1 6. 袋子中有大小、质地相同的4个球，其中标号为的球有2个，标号为a，b的球各有1个．从袋中任取2个球，已知有一个球标号为，则另外一个球标号也为的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 64 8. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 1 B. 7 C. 21 D. 7或21 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 若点在曲线上，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则可以取（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ） A. B. C. D. 11. 蔚县（非遗与古堡文化）、阳原县（人类起源与考古）、怀来县（生态与湿地）是张家口地区的三大文化研学地．现有甲、乙、丙、丁位同学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地点至少有一人前往．设事件为“甲同学前往蔚县（非遗与古堡文化）研学”，事件为“乙同学前往阳原县（人类起源与考古）研学”．则（ ） A. 事件发生有12种方案 B. C. 事件发生有4种方案 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，从上到下第行（行号从1开始）的所有数字之和为，若去除杨辉三角中所有值为1的项后，将剩余项按原顺序依次排列构成数列 ，，则______． 14. 为研究不同性别学生对“豆包”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解豆包”，“学生为女生”，据统计，将样本的频率视为概率，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校从6名男教师，5名女教师中选出4名参加支教活动． （1）求共有多少种不同的选法？（用数字作答） （2）从中选出4名教师，并安排到4个不同的学校，每个学校安排1名教师，那么有多少种不同的安排方法？（用数字作答） 16. 中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率． 17. 在的展开式中，第5项为常数项． （1）求的值，并求该展开式中二项式系数最大的项（结果的系数用数字表示）； （2）若在展开式中任取3项，其中无理项的个数为，求的分布列和数学期望． 18. 已知函数，． （1）求的极值点； （2）若在区间内单调递减，求的取值范围； （3）若，比较与1的大小．（其中） 19. 某学校田径队有甲、乙等10名运动员，现将这10人随机平均分成A，B两组进行集训，分组后两组人员固定．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． （1）求甲、乙两人都在组的概率； （2）求甲在两天内至少担任一次组长的概率； （3）记为这两组在连续两天中至少担任一次组长的总人数，求的概率分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $