第十章二元一次方程组压轴卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组压轴卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义：只有两个未知数，所含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、只有1个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、，未知数y的次数为2，不是二元一次方程，不符合题意； D、的未知数y在分母上，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2．（本题3分）已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程的一组解， ， ． 3．（本题3分）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两次购买的等量关系，总费用等于两种图书的费用之和，据此列出方程组即可． 【详解】解：购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得； 购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元， 可得 因此可列方程组． 4．（本题3分）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 5．（本题3分）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个方程代入第二个方程，再去括号即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 ，即． 故选：A． 6．（本题3分）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】判断出长和长两种规格的钢管可能的对应数量，即可得出总根数的可能取值． 【详解】解：总长，假设长和长两种规格的钢管数量分别为，， 则， 得， ∴的可能取值为、、，对应的取值为，，， ∴的可能取值为..， 故总根数不可能为． 7．（本题3分）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 【答案】B 【分析】依次计算四种做法，判断是否消去一个未知数即可得到结果． 【详解】解：得，即， 没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了y，能完成消元； 得，即，没有消去未知数，不能完成消元； 得，即，消去了x，能完成消元； ∴不能完成“消元”的是甲和丙 8．（本题3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 【答案】D 【分析】在正方形框内填入数字，由题中幻方规律列出关于的二元一次方程组，对每一个方程恒等变形得出关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：设正方形框内所填数字为，如图所示： 则由题意得， 由①得， 由②得， ， 解得， 将代入得． 9．（本题3分）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 10．（本题3分）若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去，得到关于和的方程，再根据方程组有解的条件确定的值. 【详解】解：二元一次方程组， ②-①，得， 整理得， 即， ∵无论取何值，关于的二元一次方程组都有解， ∴， 解得：， ∴， 解得； 故选：C ． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程未知数的次数是1求解即可． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程， ， 解得． 12．（本题3分）已知，用x的代数式表示y，则________． 【答案】 / 【分析】根据等式的性质，通过移项运算即可求解． 【详解】解：． 移项得，． 13．（本题3分）方程组的解满足．则_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次方程，解题的关键是先求出方程组的解，然后代入，再解关于的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）关于， 的方程组的解是，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求一个数的平方根． 把关于，的方程组的解代入方程组，可得关于，的二元一次方程组，解方程组可得，，从而可得，求平方根即可． 【详解】解：∵关于， 的方程组的解是， ∴， 解得， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 15．（本题3分）已知关于x、y的方程组的解为，则________． 【答案】11 【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为， ∴， ①+②得：3m-4n=11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把①代入②求出x的值，把x的值 代入①，求出y的值即可； （2）①+②×2求出x的值，把x的值代入①，求出y，即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得7x＋2x＝9 解得x＝1 把x＝1代入①得y＝2 ∴ （2）解： ①+②×2得5x＝10 解得x＝2 把x＝2 代入①得6＋4y＝4 解得y＝ ∴ 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法：代入法和加减法，熟练掌握两种方法的步骤是解题的关键． 17．（本题9分）某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买盏甲种路灯和盏乙种路灯共需元，购买盏甲种路灯与盏乙种路灯共需元．求甲、乙两种路灯的单价． 【答案】甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元 【分析】设甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种路灯的单价为元，乙种路灯的单价为元． 18．（本题9分）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个 (2)选择促销方案①更合适，理由见解析 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元”建立二元一次方程组求解即可； （2）分别计算两个方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据题意得， 解得． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （2）解：选择促销方案①所需费用为（元）； 选择促销方案②所需费用为（（元）， 因为，所以选择促销方案①更合适． 19．（本题9分）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把代入方程组，然后用加减消元法求解即可； （2）把两个方程相加得，结合即可求出的值． 【详解】（1）当时，这个方程组可化为 ，得③， ，得④， 由得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以当时，这个方程组的解为 （2） 由，得， ，， 解得． 20．（本题9分）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 【答案】(1)或 (2)2或0 【分析】（1）根据立方根、平方根即可求出a，b的值； （2）估算无理数的大小即可求c的值，将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， ∵是4的平方根， 或， 当时，解得， 当时，解得． 综上，或． （2）解：∵， ∴的整数部分是3， ， 当，时，，8的立方根是2； 当，时，，0的立方根是0； 综上，的立方根是2或0． 21．（本题9分）学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元． (1)若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案； (2)若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案． 【答案】(1)①购买平板电脑台，台式电脑台；②购买平板电脑台，笔记本电脑台 (2)①购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台；②购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台，分情况讨论：①若购买平板电脑和台式电脑，②若购买平板电脑和笔记本电脑，③若购买台式电脑和笔记本电脑，分别建立方程组求解即可； （2）根据“购进三种不同类型的电脑共台，总费用为元，笔记本电脑的购买量不少于台”，列方程组即可求解． 【详解】（1）解：设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台． ①若购买平板电脑和台式电脑，则由题意得：， 解得：， ②若购买平板电脑和笔记本电脑，则由题意得：， 解得：， ③若购买台式电脑和笔记本电脑，则由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑台，台式电脑台；②购买平板电脑台，笔记本电脑台． （2）由题意得：， 解得：或， 故共有两种购买方案：①购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台；②购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台． 22．（本题10分）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】甲把看成了，乙把看成了，原方程组的正确解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，把代入方程可得的错误值，把代入方程可得的错误值，再把代入方程可得的正确值，把代入方程可得的正确值，即可得到方程组，再解方程组即可求出正确解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴甲把看成了； 把代入方程得，， ∴， ∴乙把看成了； 把代入方程得，， ∴， 把代入方程得，， ∴， ∴方程组为， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴原方程组的正确解为． 23．（本题10分）如图，，，分别在直线，上，且，若射线绕点逆时针旋转至后立即回转，射线绕点顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点，点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且，满足方程组． (1)求，的值． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点逆时针先转动秒，射线才开始绕点顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 【答案】(1)， (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】（1）用加减消元法解方程组即可； （2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作，证明，得出方程，解方程即可； （3）求出，设射线再转动秒时，射线、射线互相平行，分三种情况分别画出图形并列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直，如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，过点作， ∴， ∵，且射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒， ∴，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：至少旋转秒时，射线和射线互相垂直； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设射线再转动秒时，射线、射线互相平行， 设旋转后的射线、射线分别用射线、射线表示， ∵射线绕点逆时针先转动秒，转动了， ①当射线未到达时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当射线到达后再返回时，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当射线到达后返回，再一次到达原位置后继续逆时针旋转，如图， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，在射线到达之前，射线再转动秒或秒或秒，射线和射线互相平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章二元一次方程组压轴卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，某校欲购进《论语》《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元；若购买《论语》本，《弟子规》本，则共需要元．设《论语》的单价为元，《弟子规》的单价为元，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（本题3分）用代入消元法解 ，代入后所得方程正确的是 （   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数不可能是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（本题3分）用加减消元法解二元一次方程组时，有如下四种解法，甲：；乙：；丙：；丁：．其中不能完成“消元”的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丁 8．（本题3分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（   ） A．0 B．8 C．10 D． 9．（本题3分）小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 10．（本题3分）若无论取何值，关于的二元一次方程组都有解，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）已知是关于，的二元一次方程，则______． 12．（本题3分）已知，用x的代数式表示y，则________． 13．（本题3分）方程组的解满足．则_____． 14．（本题3分）关于， 的方程组的解是，则的平方根是_________． 15．（本题3分）已知关于x、y的方程组的解为，则________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解方程组 (1) (2) 17．（本题9分）某社区为打造绿色低碳社区，决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买盏甲种路灯和盏乙种路灯共需元，购买盏甲种路灯与盏乙种路灯共需元．求甲、乙两种路灯的单价． 18．（本题9分）根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 19．（本题9分）已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 20．（本题9分）已知的立方根是，是4的平方根． (1)求a，b的值； (2)若c是的整数部分，求的立方根． 21．（本题9分）学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元． (1)若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案； (2)若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案． 22．（本题10分）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的，求得方程组的解为；乙看错了方程组中的，求得方程组的解为；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程组的正确解． 23．（本题10分）如图，，，分别在直线，上，且，若射线绕点逆时针旋转至后立即回转，射线绕点顺时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点，点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且，满足方程组． (1)求，的值． (2)若射线和射线同时旋转，至少旋转多少秒时，射线和射线互相垂直？ (3)若射线绕点逆时针先转动秒，射线才开始绕点顺时针旋转，在射线到达之前，射线再转动多少秒，射线和射线互相平行？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $