精品解析：重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试八年级数学试题

重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试初2027届 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，可知只有D选项中的图形为中心对称图形． 故选：D 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若是整式，且中含有字母，则式子是分式，根据分式的定义逐一判断即可，注意是常数不是字母． 【详解】解：A．是整式，故该选项不符合题意， B．的分母为常数，属于整式，故该选项不符合题意， C．的分子分母都是整式，且分母含字母，是分式，故该选项符合题意， D．的分母是常数，属于整式，故该选项不符合题意． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义． 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求． 选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义． 4. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定逐一辨别即可． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项正确，符合题意； C、对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，故C选项错误，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项错误，不符合题意． 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程 是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 6. 重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件分别表示出原计划和实际的采摘天数，再根据“实际比原计划提前天完成”的等量关系列出方程即可． 【详解】据题意，建立表格： 每天采摘（亩） 采摘面积（亩） 采摘天数（天） 原计划 实际 ∵实际比原计划提前天完成， ∴可得方程 ． 7. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明得出垂直平分，进而证明是等边三角形，勾股定理求得，再根据菱形的性质，即可求解． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，则 又∵ ∴ ∴，即 又∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴ ∴，则是等边三角形， ∴ ∴ ∴菱形的面积为 8. 如图，在平行四边形ABCD中，的角平分线交BC于点E，过点B作于点F，连接EF，若，，则的度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及平行线的性质，得出，结合已知得出，根据三角形内角和定理求得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 9. 如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点．若，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，延长至，使得，连接，证明，，在中，勾股定理求得，进而勾股定理求得的长，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，延长至，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，则 ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设， ∵，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴， ∴ ∴ 10. 给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①时，； ②时，； ③不存在实数，使． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是数列的周期性与代数式求值，关键在于先通过递推公式发现数列的循环规律，再结合代数运算逐一验证结论．首先，根据递推公式计算数列的前几项，可发现数列以为周期循环，利用周期性可简化复杂项的计算；其次，对代数式进行整体代换、平方变形等代数运算，验证分式的值；最后，计算一个周期内的乘积，结合周期性求出前 项的乘积，再通过一元二次方程根的判别式判断是否存在满足条件的实数． 【详解】解：当时，，，，，， 数列以为周期循环， ， ，①正确； ，，， ， ， 两边平方得，化简得， ，②正确； 先计算一个周期内的乘积： ， 即每项的乘积为，， ， 令 ，整理得， ，该方程无解， 不存在实数，使，③正确； 综上所述，正确的为①②③，共个． 故选：． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式的值为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为，可得分母不为，分子为，即可求解． 【详解】∵的值为，且， ∴，解得：． 12. 若，则常数________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推出，即可求解． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得： ∴． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点为的中点，若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平行四边形的对角线互相平分，可知点为的中点，再结合点为的中点，可求出，再运用三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，点为的中点， ∵点为的中点，， ∴， ∴ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 16. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据解是正数且分母建立不等式求的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘得， ， ， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且，解得：且． 17. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点．若，，，则的长为________．连接，，，则的面积为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据折叠的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，设，则，，进而勾股定理分别求得得出，即可得出的长；分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据的面积为，利用勾股定理，等面积法求得相关线段长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点． ∴ ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在中，，则， 在中， ∵， ∴ 解得： 则的长为，，， ∴ 如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点， ∵折叠， ∴，， 又∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴ ∵， ∴， ∴的面积为 18. 对于一个四位正整数，若各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和多1，则称这个四位数为“相宜数”．例如：对于四位数3156，，∴3156是“相宜数”．则最小的“相宜数”是________．若（，且均为整数）是“相宜数”，能被12整除，且，则满足条件的M的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设四位“相宜数”根据定义得：各数位，互不相等且不为；，即，先求得最小的“相宜数”；根据条件，整理得出，结合已知条件，得出候选为：，然后根据能被12整除，逐个验证，即可求解． 【详解】解：设四位“相宜数”根据定义得：各数位，互不相等且不为；，即； 要使四位数最小，需高位数字尽可能小：千位最小取；百位不能为和，最小取； 代入条件得：即， 时，与重复； 时，与重复； 时，四个数字互不相等，符合条件； 因此最小的“相宜数”是． 已知条件整理：，变形得：，由为到的正整数，得， ∴ 因此； ∴ ∵， 联立方程组解得所有符合为1~9整数且数字不重复的候选为：． 能被12整除， ：，不能被12整除； ：，，能被12整除，符合所有条件； ：，不能被12整除． 因此满足条件的是． 三、计算题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】（1）、（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：， 两边同乘：， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴为原方程的解； 【小问2详解】 解： ， 两边同乘：， ， ， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴原分式方程无解． 21. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 22. 先化简：，再从，，中选一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ∵当或时原式无意义， ∴将代入，原式． 四、解答题（本大题共5个小题，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共46分） 23. 如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤即可作图； （2）先证明，再由全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． 24. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得； （2）根据矩形的性质及勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴． 25. 近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． （1）求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ （2）4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 【答案】（1）每顶普通帐篷进价元，每顶星空帐篷进价元 （2） 【解析】 【分析】（1）设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶列方程求解即可； （2）根据普通帐篷总费用为元，星空帐篷数量为 顶，新进价为 元，由总采购费为12000元，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每顶普通帐篷的进价为元，由题意得每顶星空帐篷进价为元， 根据普通帐篷数量比星空帐篷多5顶 列分式方程：  化简得： ，解得 经检验，是原方程的解， 因此 即普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元； 【小问2详解】 解：4月份采购数量： 普通帐篷数量： 顶，星空帐篷数量： 顶， 5月份采购条件：普通帐篷：数量25顶，新进价为元，总费用：元； 星空帐篷：数量为 顶，新进价为 元， 由总采购费为12000元，列方程：  化简整理得：    因为， 所以 26. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． （1）求的值； （2）点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； （3）如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1），； （2）的最小值为； （3）的横坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数的图象与轴、轴的坐标，结合题意求出、，再代入一次函数即可求解； （2）先根据一次函数、与坐标轴的交点，设点，分别求出，，根据即可求出点坐标，再作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作 轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、，当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值，∴推出点与点重合，点与点重合，点与点重合，然后根据垂直平分线性质与平行的性质，推出轴，即可求出点、坐标，证明为等腰直角三角形，即可求出坐标，的最小值即可求解； （3）先根据题意，求所在直线的解析式：上，设，分别求出，分类讨论：情况一：，情况二：，情况三：，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点， ∴当时，，当时，，即、， ∴， ∵， ∴，即， ∵在一次函数上， ∴，解得：，即， ∵、在一次函数上， ∴，解得：， ∴在一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即， ∵由（1）得，，， ∴， ∴， ∵点为线段上一点，即点在一次函数上， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：，即， 如图，作点关于一次函数的对称点，且与一次函数交于点，作轴交一次函数于点，与轴交于点，连接，过点作，且，作 轴交一次函数于点，与轴交于点，过点作交于点，连接、、， ∵点关于一次函数的对称点， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴当三点共线时，且轴时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵由（1）得一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∵点在一次函数上， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：设一次函数与一次函数平行，且经过点， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴点在上，设， ∵由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，进行分类讨论： 情况一：如图，， ∴， ∴，解得：， 情况二：如图，， ∴， ∴， 解得：，； 情况三：如图，， ∴， ∴， 解得：，(舍)； 综上，的横坐标为或或或． 27. 如图，为等边三角形，平分交于点，，分别为线段，上的点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）如图1，若于点F，，，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点，在运动过程中满足，将绕点顺时针旋转至，连接，，当取最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，根据得出，，进而求得，再在中，根据勾股定理，即可求解． （2）以为边在其右侧作等边三角形，连接，证明，即可得证． （3）在上截取，连接，交于点，连接，证明得出四边形是平行四边形，则，即在过点且平行于的直线上运动，再证明，得出，证明得出，则，当时，取得最小值，过点作于点，设，则，勾股定理解直角三角形分别求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 在中，； 【小问2详解】 证明：如图，以为边在其右侧作等边三角形，连接， ∴ 设 ∵为等边三角形，平分， ∴，则 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 在中， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在上截取，连接，交于点，连接 ∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ，则，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴， ∴ ∵为等边三角形，平分， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ∴，即在过点且平行于的直线上运动， 延长至，使得，连接，设与交于点，则，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 当时，取得最小值， 设，则， ∵，，则 ∴ ∴，， 过点作于点， ∴， ∴ 在中， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试初2027届 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ）． A. B. C. D. 6. 重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，连接．当，时，菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，的角平分线交BC于点E，过点B作于点F，连接EF，若，，则的度数为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 如图，在正方形中，点，，分别为，，上的点，连接，交于点．若，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 给定一列数，把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定（为正整数），下列说法： ①时，； ②时，； ③不存在实数，使． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 若分式的值为，则的值为________． 12. 若，则常数________． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值为________． 14. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点为的中点，若，，则的周长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 16. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是________． 17. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点．若，，，则的长为________．连接，，，则的面积为________． 18. 对于一个四位正整数，若各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和多1，则称这个四位数为“相宜数”．例如：对于四位数3156，，∴3156是“相宜数”．则最小的“相宜数”是________．若（，且均为整数）是“相宜数”，能被12整除，且，则满足条件的M的值为________． 三、计算题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 解一元二次方程： （1）； （2）． 22. 先化简：，再从，，中选一个适当的数代入求值． 四、解答题（本大题共5个小题，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共46分） 23. 如图，在平行四边形中，点E为对角线延长线上的一点，连接，．请完成以下作图和填空： （1）在平行四边形的外部，用尺规作，且射线交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ①________， ，， ②________， 在和中， ， ， ③________，， ④________， ∴四边形是平行四边形． 24. 如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 近年来，公园露营成为市民休闲的新方式．每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷．某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售．已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶． （1）求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？ （2）4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷．其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了；星空帐篷的采购数量比上月增加了顶，每顶的进价比上月降低了，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，且与的图象交于点．已知． （1）求的值； （2）点为线段上一点，连接，和四边形的面积分别记为，．在线段上有两动点（点在点的上方），且，过点作轴于点，连接．当时，求的最小值； （3）如图，将沿射线方向平移得到，点为平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的横坐标． 27. 如图，为等边三角形，平分交于点，，分别为线段，上的点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）如图1，若于点F，，，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，点，在运动过程中满足，将绕点顺时针旋转至，连接，，当取最小值时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $