第十一章不等式与不等式组压轴卷2025-2026下学年人教版七年级数学下册

第十一章不等式与不等式组压轴卷2025-2026下学年新教材人教版七年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 2．（本题3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数的次数为1，左右两边为整式． 【详解】解： A． 含有两个未知数，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； B． 中未知数的最高次数是2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； C． 含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不满足一元一次不等式的定义，不符合要求； D． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边都是整式，满足一元一次不等式的定义，符合要求． 3．（本题3分）新华书店销售某种标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（    ） A．五折 B．六折 C．六五折 D．不确定 【答案】C 【分析】根据利润率列出不等式即可求解． 【详解】解：设书店对该畅销书打折， ∵标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折， ∴每本进价为元，实际售价为元， ∵利润率不低于， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴最多可打六五折． 4．（本题3分）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 5．（本题3分）若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．根据不等式的性质，逐项判定即可． 【详解】， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B错误，符合题意； ， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D正确，不符合题意． 6．（本题3分）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． 7．（本题3分）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 8．（本题3分）某数学兴趣小组对关于的不等式组进行讨论，并得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则的取值范围为；③若，则是不等式组的解；④若不等式组只有两个整数解，则的取值范围为．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组解集的判断规则“大小小大中间找，大大小小找不到”，逐一判断每个结论即可． 【详解】解：① 若，根据不等式组解集规则，可得解集为，故①正确； ② 若不等式组无解，则，故②错误； ③第一个不等式为，不满足，因此不是该不等式组的解，故③错误； ④ 若不等式组只有两个整数解，， 两个整数解只能是和， ∴，故④正确； 综上，正确的结论共2个． 9．（本题3分）小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 【答案】C 【分析】根据不等式的运算顺序，对应促销活动的步骤，明确不等式各部分的实际意义即可解答． 【详解】解：∵ 不等式为，表示两件定价为元的文具的总价， ∴表示买两件等值文具先减10元， ∵ 对减完10元的整体乘以，表示减价后再打8折， ∴表示最终花费不到40元，符合选项C的描述． 10．（本题3分）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若，则____0． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．（本题3分）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 验证：当时，，即符合条件． 13．（本题3分）不等式组的解集为___________． 【答案】 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得． 因此原不等式组的解集为． 14．（本题3分）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 【答案】270 【分析】本题先通过列二元一次方程组求解出单艘大船和小船的租金，再根据人均租金判断优先多租大船更划算，列举所有满足载客要求的租船方案，对比各方案费用得到最小值． 【详解】解：设租借艘大船需要元，租借艘小船需要元， 根据题意列方程组得 解得，. 因此单艘大船租金为元，单艘小船租金为元， 设租大船艘，小船艘，总费用为元，根据题意得，其中为非负整数，总费用， 计算得大船人均租金为元，小船人均租金为元，因此优先多租大船可降低总费用，列举可行方案计算费用： 当时，，元； 当时，，剩余人需租艘小船，满足载客要求，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，，剩余人需租艘小船，此时元； 当时，计算可得总费用均大于元. 因此租船费用的最小值为． 15．（本题3分）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 【答案】 6 【分析】（1）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案； （2）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的正整数解之和为6确定不等式组的正整数解，进而可得答案． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组的解集为， ∴； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的正整数解之和为6，且， ∴不等式组的正整数解为1，2，3， ∴ ． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 按照解不等式的基本步骤解答即可． (2) 按照解不等式的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得． 17．（本题9分）已知关于、的方程组按要求解决下列问题． (1)用含的式子表示方程组的解； (2)若满足为正数，为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两式相加求出x，两式相减求出y，则此题可解； （2）根据为正数，为非负数得出不等式组，求出不等式组的解集． 【详解】（1）解： 得，解得． 得－2m，解得－m． 所以原方程组的解是 （2）解：由（1）可知 为正数，为非负数， 解不等式组，得． 的取值范围是 18．（本题9分）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【详解】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 19．（本题9分）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 【答案】；；；，，，，． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为，，，，． 20．（本题9分）为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克． (1)求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ (2)合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了此次吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 【答案】(1)A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克 (2)至少使用7架B款无人机 【分析】（1）设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克，列出方程组，解方程组即可； （2）设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据合作社现要吊运810千克的农作物，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A款无人机每架满载可吊运农作物x千克，B款无人机每架满载可吊运农作物y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：A款无人机每架满载可吊运农作物50千克，B款无人机每架满载可吊运农作物80千克； （2）解：设使用m架B款无人机，则使用架A款无人机，根据题意得： ， 解得：， 答：至少使用7架B款无人机． 21．（本题9分）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； (2)最多可购买B型一体机12台． 【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台． 22．（本题10分）已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、含绝对值式子的化简、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解二元一次方程组，根据题意解不等式即可； （2）由（1）的范围化简式子； （3）由条件可推出的范围，再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：解方程组：， ，得：， ∴， ，得：， ∴， ∴方程组的解为：， 为正数，为非负数， ， 解得； （2）解：， ， 则； （3）解：， ， ∵其解集为， ∴， ∴， 又， ， 为整数， ． 23．（本题10分）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，求出，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解： ，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， 即， 的“青一区间”为， ， 即， ， 综上所述，， 为正整数， ∴； （3）解： ， ，， ， ， ， ，， 得， 即 ， ∴ 的算术平方根为， ∵ ∴， 的算术平方根的“青一区间”是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章不等式与不等式组压轴卷 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）新华书店销售某种标价元本的畅销书，每本进价是标价的五折，书店要想不亏本，必须保证每本书的利润率不低于，那么书店对该畅销书最多可打（    ） A．五折 B．六折 C．六五折 D．不确定 4．（本题3分）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若，则下列各式中，错误的是（  ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 7．（本题3分）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（本题3分）某数学兴趣小组对关于的不等式组进行讨论，并得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则的取值范围为；③若，则是不等式组的解；④若不等式组只有两个整数解，则的取值范围为．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题3分）小华将某文具店的促销活动内容告诉小军后，小军假设某一文具的定价为元，并列出不等式，则下列可能是小华告诉小军的内容是（    ） A．买两件等值的商品可减10元，再打2折，最后不到40元 B．买两件等值的商品可打2折，再减10元，最后不到40元 C．买两件等值的商品可减10元，再打8折，最后不到40元 D．买两件等值的商品可打8折，再减10元，最后不到40元 10．（本题3分）若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若，则____0． 12．（本题3分）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 13．（本题3分）不等式组的解集为___________． 14．（本题3分）人民公园的人工湖有大小两种游船供游客选用，已知租借3艘大船和4艘小船共需240元，租借2艘大船和2艘小船共需要140元，根据规定，大船每次最多可坐8人，小船每次最多可坐5人，若某班有52名同学都参加游船项目活动，则租船费用至少应是____元． 15．（本题3分）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）解下列不等式： (1)； (2)． 17．（本题9分）已知关于、的方程组按要求解决下列问题． (1)用含的式子表示方程组的解； (2)若满足为正数，为非负数，求的取值范围． 18．（本题9分）先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 19．（本题9分）求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 20．（本题9分）为破解山区农产品出山“最后一公里”难题，某农村合作社巧用无人机为当地群众打通农产品出山的“空中走廊”．该合作社目前有A，B两款无人机为农户提供吊运服务，据了解2架A款无人机和1架B款无人机每次满载可吊运农作物共180千克，1架A款无人机和2架B款无人机每次满载可吊运农作物共210千克． (1)求A，B两款无人机每架满载可吊运农作物各多少千克？ (2)合作社现要吊运810千克的农作物，计划使用A，B两款无人机共12架进行吊运，为了此次吊运完成，则至少使用多少架B款无人机？ 21．（本题9分）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 22．（本题10分）已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 23．（本题10分）新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $