广西南宁市第二中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数满足，则（ ） A B. 2 C. 5 D. 7 2. 四边形中，若，则四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形 3. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，，则 5. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c并且，，．设，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 7. 已知向量，，满足：，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱柱的底面边长为，高为6，经过上底面棱的中点与下底面的顶点截去该三棱柱的三个角，如图1，得到一个几何体，如图2所示，若所得几何体的六个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于，下列说法正确的有（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. 若，则 11. 如图，在棱长为6的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的有（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 直线与直线所成角的最大值为 C 面 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个正四棱锥的底面周长为8，高为3，则该正四棱锥的体积为__________. 13. 已知向量，若，则实数__________. 14. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，钝角，，． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点． （1）求证：平面； （2）求几何体的体积． 17. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，分为，的中点，点在线段上，且.求证：平面平面. 18. 已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． （1）求证：； （2）若，求周长的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，即三角形中的费马点是唯一的，且当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题： （1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点. （i）若，求； （ii）若，，，求的最小值. 南宁二中2024-2025学年度下学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（本题共5小题，共77分.解应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）见解析；（2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $