10.5分式方程提优特训A·B卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，通过定义辨析、步骤规范、错因分析构建分式方程解题体系，强化运算与建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|A卷选择1-3题、填空11题|定义对比法（分式与整式方程区分）|从分母含未知数的本质特征切入，建立概念认知| |解法步骤|A卷解答21题、填空12题|转化思想（去分母化整式方程）+四步规范法|以转化思想为核心，通过步骤分解降低复杂度| |增根与无解|A卷选择7-9题、填空13题|分类讨论法（增根使分母为0/整式方程无解）|结合验根操作，揭示增根与无解的逻辑关系| |实际应用|A卷23-24题、B卷23-24题|场景建模法（行程/工程/购物等量关系提取）|从生活实景抽象数学模型，体现应用意识|

数学臻选·苏科版八年级数学下 《第十章分式第五节分式方程》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.   精准辨析分式方程的定义，区分分式方程与整式方程；熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程标准解题步骤，明确增根的产生原因，能够规范完成验根操作；熟练结合行程、工程、购物两类实际场景，列分式方程解决实际应用问题。 2.   经历观察对比、类比整式方程解方程、小组合作探究解题流程的完整过程，转化数学思想，把陌生分式方程问题转化为熟悉的整式方程求解问题；通过实操解方程、分析错题案例，归纳分式方程无解、有增根的核心判断方法，提升运算纠错能力与实际建模解题能力。 3.   养成严谨规范、步步验算的数学解题习惯，主动规避漏验根、漏乘常数项等高频易错点；结合生活实景应用题感知分式方程的实用价值，贴合日常学习生活场景建立数学应用意识，主动主动参与课堂探究互动，提升数学学习主动性。 4.   强化数学运算素养，保障分式通分、去分母、解方程全过程精准无误；培养数学建模素养，快速提取实际题干等量关系搭建方程模型；提升逻辑推理素养，有理有据分析增根、无解的本质区别与成因。 ) 二．思维导图 ( ) 三．知识清单 ( （ 一 ） 分式方程的概念 1.   分母中含有________的方程，叫做分式方程。 2.   分式方程与整式方程的根本区别是________。 （ 二 ） 分式方程的解法 1.   解分式方程的基本思想是________，即把分式方程转化为________方程求解。 2.   最简公分母：各分母所有因式的________次幂的乘积。 3.   解分式方程的一般步骤： ① ________，化为整式方程； ② 解这个________方程； ③ ________（必备步骤）。 4.   去分母时，方程两边的每一项都要乘________，不能漏乘________。 ) ( 5.   检验时，将整式方程的解代入________，若________，则是原方程的解；若________，则是增根。 （ 三 ） 增根与无解 1.   增根：使分式方程的________为0的根，是________方程的根，但不是________方程的根。 2.   分式方程无解的两种情况： ① ________； ② ________。 （ 四 ） 分式方程的应用 1.   列分式方程解应用题的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五________、六答。 2.   应用题检验需双重检验： ① 检验是否为________的解； ② 检验是否符合________。 3.   工程问题：核心等量关系：工作总量=_____ × _____，常设工作总量为________。 4.   行程问题：核心等量关系：路程=_______ × _______，注意统一________。 5.   购物问题：核心等量关系：总价=_______ × _______，常用 “ 单价差 ” 或 “ 数量差 ” 列方程。 （ 五 ） 易错点总结 1.   去分母时，漏乘不含分母的________。 2.   分子是多项式时，去分母后未加________。 3.   解分式方程忘记________步骤。 4.   混淆 “ 增根 ” 与 “ 无解 ” 的概念。 5.   应用题未检验解的________意义。 【 答案 】 （ 一 ） 分式方程的概念 1.   未知数 2.   分母中是否含有未知数 （ 二 ） 分式方程的解法 1.   转化思想；整式 2.   最高 3.  ① 去分母； ② 整式； ③ 检验 4.   最简公分母；常数项 5.   最简公分母；最简公分母 ≠ 0；最简公分母= 0 （ 三 ） 增根与无解 1.   分母；整式；原分式 2.  ① 整式方程无解； ② 整式方程的解全是增根 （ 四 ） 分式方程的应用 1.   检验 2.   分式方程；实际意义 3.   工作效率；工作时间；1 4.   速度；时间；单位 5.   单价；数量 （ 五 ） 易错点总结 1.   常数项 2.   括号 3.   检验 4.   实际 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（　　） A． 2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D． +3 【答案】C 【解析】A、2x﹣3y=0是整式方程，故本选项错误；B、﹣3=是整式方程，故本选项错误；C、=是分式方程，故本选项正确；D、+3不是方程，故本选项错误．故选C． 2．方程的解为（　　） A． x= B．x= C．x=﹣2 D． 无解 【答案】B 【解析】去分母得，3（x+1）=x+2，解得x=﹣，经经验x=﹣是原方程的根，所以原方程的解为x=﹣．故选B． 3．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（　　） A． a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D． a=﹣3 【答案】A 【解析】去分母得：ax﹣3x+3=0，将x=﹣1代入得：﹣a+3+3=0，解得：a=6，故选A 4．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2 【答案】D 【解析】去分母得，m+2=x﹣1，解得，x=m+3，∵方程的解是正数，∴m+3＞0，解这个不等式得，m＞﹣3，∵m+3﹣1≠0，∴m≠﹣2，则m的取值范围是m＞﹣3且m≠﹣2．故选D． 5．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，得．故选：C． 6．关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可．，去分母，得x+m-2m=3（x-2），解得x=， ∵关于x的分式方程的解为正实数，∴x-2≠0，x＞0．即≠2，＞0，解得m≠2且m＜6，故选D． 7．若方程=1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 【答案】B 【解析】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．当x=1时，m=3，当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，所以增根只能是x=1．故选B． 8．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案.等式的两边都乘以(x - 2)，得x = 2(x-2)+ m，解得x=4-m，且x≠2，由关于x的分式方程的解为正数，∴4-m＞0，4-m≠2∴m<4且m≠2则满足条件的正整数 m 的值为m=1，m=3，故选: D. 9．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】根据分式方程无解来进行求解．将原分式方程去分母得， ∴，当时，∴．∵该分式方程无解，∴将−6代入中得，解得，当时，∴，此时分式方程无解，符合题意，综上所述，或时，关于x的方程﹣1＝无解．故选：D． 10．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件．结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．请问原计划每小时加工多少个零件？（　　） A．40 B．50 C．30 D．24 【答案】 A　 【解析】设原计划每小时加工x个零件，则现在每小时加工（x+10）个零件，根据题意，得：＝， 解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，即原计划每小时加工40个零件，故选：A． 二．填空题（共30分） 11．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　　． 【答案】3分式方程有：③④⑤，故答案为3． 12．分式方程的解为　　． 【答案】x= 【解析】去分母得：1=2（x﹣1），解得x=，经检验得；x=是原方程的解． 13．关于x的分式方程无解，则m的值是　　． 【答案】1 【解析】分式方程去分母得：x﹣2（x﹣1）=m，由分式方程无解得到x﹣1=0，即x=1， 代入整式方程得：m=1．故答案为：1． 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　． 【答案】：m＞﹣1且m≠1 【解析】原方程整理得：m﹣1=2x﹣2，解得：x=，∵原方程有解，∴x﹣1≠0，即， 解得m≠1，∵方程的解是正数，∴＞0，解得m＞﹣1，∴m＞﹣1且m≠1，故应填：m＞﹣1且m≠1． 15．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是　　 ． 【答案】= 【解析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，则第二块试验田每亩的产量为（x+200）千克，由题意得，=．故答案为；=． 16．小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　 ． 【答案】（x+2）（﹣0.5）=12． 【解析】设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为：（x+2）（﹣0.5）=12． 故答案为：（x+2）（﹣0.5）=12． 17.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 【答案】13 【解析】分别用a表示出再根据列出方程，求出a的值并检验即可，∵，∴； ∵，∴ ∴ 解得，，经检验，是方程的解，故答案为：13． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 【答案】7 【解析】求出分式方程的解，根据分式有意义的条件得出且，进而求出所有的值，然后求和即可．， 去分母得：，去括号得：，移项合并得：，系数化为1得：，∵且 ∴，∴方程的解为整数时，的值为，0，2，3，5，∴，故答案为：7． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 【答案】 【解析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．∵关于x的分式方程有增根， ∴2x−1＝0，解得x＝，由得x−m＝3（2x−1），∴m＝−5x＋3，∴m＝−5×＋3＝．故答案为：． 20.市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 　 　． 【答案】80%． 【解析】设甲厂产品的合格率为x%，则乙厂产品的合格率为（x﹣5）%，根据题意得： ＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， 即甲厂产品的合格率为80%，故答案为：80%． 三．解答题（共60分） 21.（8分）解方程： （1）； （2）． 解：（1）去分母，得x﹣5=2x﹣5，解得x=0，经检验，x=0是分式方程的解. （2）去分母，得8+x2﹣1=x2+4x+3，移项、合并同类项，得4x=4，解得x=1，经检验，x=1是增根，分式方程无解． 22．（6分）已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 解：(1)由原方程，得2x＝mx－2x－6，①整理，得(4－m)x＝－6，当4－m＝0即m＝4时，原方程无解；②当分母x＋3＝0即x＝－3时，原方程无解，故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2，综上所述，m＝2或4； (2)由(1)得到(4－m)x＝－6，当m≠4时．x＝＜0，解得m＜4综上所述，m＜4且m≠2. 23.（8分）为落实“美丽盐城”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意得：，解得x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，．答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米． （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得7m+5×=145 解得：m=10． 答：至少安排甲队工作10天． 24.（8分）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120千米，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地.问： （1） 大巴与小车的平均速度各是多少？ （2） 刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 行程问题 解：（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，据题意，得 =++解得x=60，经检验x=60 是原方程的解，1.5x=90（千米/时）. 答：大巴的平均速度为60千米/时，小车的平均速度为90千米/时. （2）设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有y千米，根据题意得 += 解得y=30. 答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30千米. 25.（10分）已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 解:（1）当时，．理由如下：∵， ∴．∵，∴，． ∴．∴．∴． （2）①依题意，得：．故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数，∴y可以取1，2，3，4．当时，， 解得，符合；当时，，解得，符合 ；当时，， 解得，不合，舍去；当时，，解得，符合．综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3．故答案为：0或1或3 26.（8分）阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 解：（1）解是x1=c，x2=， 经检验，c和是原方程的解. （2）原方程可化为x-1+，根据题意得x-1=a-1或x﹣1=， ∴x1=a，x2=1+=． 27．（12分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； （2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴﹣＝0.54， 解得a＝600，经检验，a＝600是原分式方程的解，∴＝0.6，＝0.06， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为xkm，由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，解得x＞5000， 答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（　　） ①； ②； ③； ④． A． 2个 B．3个 C．4个 D． 1个 【答案】B 【解析】①方程分母中不含未知数，故①不是分式方程；②方程分母中含未知数，故②是分式方程；③方程分母中含表示未知数的字母，故③是分式方程；④方程分母中含未知数x，故④是分式方程；故选：B． 2．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程=0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+=1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个 【答案】A 【解析】①解分式方程不一定会产生增根；②方程=0的根为2，分母为0，所以是增根；③方程的最简公分母为2x（x﹣2）；所以①②③错误，根据分式方程的定义判断④正确．故选：A． 3．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（　　） A ﹣=2 B． ﹣=2 C﹣=2 D． = 【答案】A 【解析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（1+20%）x米， 由题意得，﹣=2．故选：A． 4．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设乙车的速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x﹣12）千米/小时， 由题意得，=．故选：B． 5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（　　） A． ﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D． 【答案】A 【解析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个， 由题意得，﹣=5．故选：A． 6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． = B．= C．= D． = 【答案】D 【解析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元， 由题意得，=．故选：D． 7．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 【答案】B 【解析】：，解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞， ∵不等式组的解集为x≥6，∴6，∴a＜7；分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），解得：y＝，∵方程的解是正整数，∴＞0，∴a＞﹣5；∵y﹣1≠0，∴1，∴﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，∴能使是正整数的a是：﹣1，1，3，5，∴和为8，故选：B． 8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 【答案】B 【解析】当＞，即x＞0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解；当＜，即x＜0时，方程变形得：＝﹣2，去分母得：5＝6﹣2x，解得：x＝0.5，不符合题意，综上，方程的解为x＝2．故选：B． 9．已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】D 【解析】根据分式方程无解，可得关于m的方程，根据解方程，求出m的值即可得答案． 方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2）， 解得x=．因为方程无解，所以m-1=0或，解得m=1或4或2所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7，故选：D． 10．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（    ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【解析】设通过AB的速度是xm/s，则根据题意可列分式方程，解出x即可．设通过AB的速度是xm/s，根据题意可列方程： ，解得x=1，经检验：x=1是原方程的解且符合题意．所以通过AB时的速度是1m/s．故选B 二．填空题（共30分） 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 【答案】﹣3 【解析】：10．解：根据题意得：＝，去分母得：4（2a+3）＝3（a﹣1）， 解得：a＝﹣3． 12．关于x的分式方程+＝3有增根，则m的值是 　 　． 【答案】 【解析】：∵关于x的分式方程+＝3有增根，∴2x﹣1＝0，解得x＝， 由+＝3得x﹣m＝3（2x﹣1），∴m＝﹣5x+3，∴m＝﹣5×+3＝． 13．已知关于x的分式方程＝a有解，则a的取值范围是　 　． 【答案】a≠﹣且a≠0 【解析】：分式方程去分母得：2a+1＝ax+a，整理得：ax＝a+1，显然当a＝0时，方程无解； 当a≠0时，x＝，显然≠﹣1，∴a的范围是a≠﹣且a≠0． 14．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为　 　． 【答案】m＞﹣8且m≠﹣4 【解析】，2x﹣m=4x+8，﹣2x=8+m，x=﹣，∵关于x的方程的解是负数，∴﹣＜0，解得：m＞﹣8，∵方程，∴x+2≠0，即﹣≠﹣2， ∴m≠﹣4，故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4． 15．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． 【答案】2 【解析】：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x， ∵该不等式组有且只有四个整数解，∴该不等式组的解集为：≤x＜5，且0≤1， 解得：﹣2＜a≤2，+＝2，方程两边同时乘以（y﹣1）得：y+a﹣2a＝2（y﹣1）， 去括号得：y﹣a＝2y﹣2，移项得：y＝2﹣a，∵该方程的解为非负数，∴2﹣a≥0且2﹣a≠1，解得：a≤2且a≠1，综上可知：符合条件的正整数a的值为2，故答案为：2． 16．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　 ． 【答案】﹣=． 【解析】设骑自行车的速度为x千米/时，则摩托车的速度为2x千米/小时， 由题意得，﹣=．故答案为：﹣=． 17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是　　 ． 【答案】﹣=3 【解析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，由题意得，﹣=3． 故答案为：﹣=3． 18．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 【答案】①③ 【解析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h， 依题意得：①；③；④＝．故其中正确的方程有①③． 故答案为：①③． 19.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． 【答案】﹣1 【解析】根据题意得：＝2，去分母得：4x﹣4＝10x＋2，移项合并得：6x＝﹣6，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解. 20.人们越来越感受到冰雪运动的独特魅力，某玩具商购进甲、乙两款以冬奥会运动项目为主题的立体拼图，甲、乙两款拼图的数量比为9：2．已知销售每套甲款拼图的利润率为30%，销售每套乙款拼图的利润率为40%，当把所有拼图销售完毕，该玩具商得到的总利润率为34%，该玩具商又购进新的一批甲、乙两款拼图，两款拼图每套的进价与售价均与前一次相同；同时，该玩具商还购进一批丙款拼图，每套丙款拼图的进价为每套甲款拼图进价的2倍，并按进价提高35%进行销售，已知第二次购进的甲、乙、丙三款拼图的数量比为5：3：3，并且所有拼图全部销售完毕，则该玩具商在第二次销售中得到的总利润率为 　 　． 【答案】36% 【解析】设甲款拼图的进价为a元，乙款拼图的进价为b元， 第一次销售 成本 利润 销量 甲款拼图 10a 3a 9k 乙款拼图 10b 4b 2k ∴， 即b＝3a． 第二次销售 成本 利润 销量 甲款拼图 10a 3a 5m 乙款拼图 10b＝30a 4b＝12a 3m 丙款拼图 20a 7a 3m ∴第二次销售的总利润率＝．故答案是：36%． 三．解答题（共60分） 21.（8分）解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 解：（1）＝，即＝，方程两边乘x（x+1）得：4x﹣3＝2x，解得：，检验：当时，x（x+1）≠0，∴原分式方程的解为． （2）方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，整理得：2x＝1， 解得：x＝，检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝﹣≠0，∴原方程的解为x＝； 22. （6分）探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 解：（1） （-） （2）（-+-+-）=，（-）=，2（x+9）-2x=9x，x=2，经检验：x=2是原方程的根，∴方程的解为x=2. 23.（8分）一项工程由A、B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 解：（1）设A单独完成需要x天，则B单独完成需要1.5x天，由题意得：，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的解．则B单独完成需要天数：200×1.5＝300（天）． 答：A单独完成需要200天，则B单独完成需要300天． （2）A工程队需要费用为：0.5×200＋0.01×200＝102（万元）；设B工程队每天的施工费用为y万元，则：300y＋300×0.01≤102，解得：y≤0.33，所以B工程队每天的施工费用为0.33万元． 24.（8分）为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1600元，乙种足球共花费1200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量 （2）列方程求乙种足球的单价． 解：（1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量. （2）由（1）可得：＝＋10，解得：x＝40，经检验得：x＝40是原方程的根， 答：乙种足球的单价为40元． 25．（10分）解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 解：①0　②1　③2　④3 (1)第⑤个方程：＝－1，它的解为x＝4，第⑥个方程：＝－1，它的解为x＝5. (2)第n个方程：＝－1，它的解为x＝n－1.方程两边都乘x＋1，得n＝2n－(x＋1)．解得x＝n－1. 26.（8分）先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0，因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1，∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1），解得x=，检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面，∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1，此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 解：x2++x+=0，（x+）2+x+﹣2=0，设x+=a，则原方程化为a2+a﹣2=0， 解得a=﹣2或a=1，当a=﹣2时，x+=﹣2，x2+2x+1=0，解得x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解；当a=1时，x+=1，x2﹣x+1=0，此方程无解；综上所述，原方程的解为x=﹣1． 27.（12分） 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍. （1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2） 甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程. （3） 如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ 解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，由题意得+=1 解得x=30，经检验x=30 是原方程的解.2x=60.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天. （2）（20-） （3） 设甲工程队单独施工了y天，y+（20-）×（1+2.5）≤64，解得y≥36. 答：甲工程队至少要单独施工36天. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·苏科版八年级数学下 《第十章分式第五节分式方程》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.   精准辨析分式方程的定义，区分分式方程与整式方程；熟练掌握可化为一元一次方程的分式方程标准解题步骤，明确增根的产生原因，能够规范完成验根操作；熟练结合行程、工程、购物两类实际场景，列分式方程解决实际应用问题。 2.   经历观察对比、类比整式方程解方程、小组合作探究解题流程的完整过程，转化数学思想，把陌生分式方程问题转化为熟悉的整式方程求解问题；通过实操解方程、分析错题案例，归纳分式方程无解、有增根的核心判断方法，提升运算纠错能力与实际建模解题能力。 3.   养成严谨规范、步步验算的数学解题习惯，主动规避漏验根、漏乘常数项等高频易错点；结合生活实景应用题感知分式方程的实用价值，贴合日常学习生活场景建立数学应用意识，主动主动参与课堂探究互动，提升数学学习主动性。 4.   强化数学运算素养，保障分式通分、去分母、解方程全过程精准无误；培养数学建模素养，快速提取实际题干等量关系搭建方程模型；提升逻辑推理素养，有理有据分析增根、无解的本质区别与成因。 ) 二．思维导图 ( ) 三．知识清单 ( （ 一 ） 分式方程的概念 1.   分母中含有________的方程，叫做分式方程。 2.   分式方程与整式方程的根本区别是________。 （ 二 ） 分式方程的解法 1.   解分式方程的基本思想是________，即把分式方程转化为________方程求解。 2.   最简公分母：各分母所有因式的________次幂的乘积。 3.   解分式方程的一般步骤： ① ________，化为整式方程； ② 解这个________方程； ③ ________（必备步骤）。 4.   去分母时，方程两边的每一项都要乘________，不能漏乘________。 ) ( 5.   检验时，将整式方程的解代入________，若________，则是原方程的解；若________，则是增根。 （ 三 ） 增根与无解 1.   增根：使分式方程的________为0的根，是________方程的根，但不是________方程的根。 2.   分式方程无解的两种情况： ① ________； ② ________。 （ 四 ） 分式方程的应用 1.   列分式方程解应用题的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五________、六答。 2.   应用题检验需双重检验： ① 检验是否为________的解； ② 检验是否符合________。 3.   工程问题：核心等量关系：工作总量=_____ × _____，常设工作总量为________。 4.   行程问题：核心等量关系：路程=_______ × _______，注意统一________。 5.   购物问题：核心等量关系：总价=_______ × _______，常用 “ 单价差 ” 或 “ 数量差 ” 列方程。 （ 五 ） 易错点总结 1.   去分母时，漏乘不含分母的________。 2.   分子是多项式时，去分母后未加________。 3.   解分式方程忘记________步骤。 4.   混淆 “ 增根 ” 与 “ 无解 ” 的概念。 5.   应用题未检验解的________意义。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1．在下列各式中，是关于x的分式方程的是（　　） A． 2x﹣3y=0 B．﹣3= C．= D． +3 2．方程的解为（　　） A． x= B．x= C．x=﹣2 D． 无解 3．若x=﹣1是方程﹣=0的根，则（　　） A． a=6 B．a=﹣6 C．a=3 D． a=﹣3 4．若关于x的分式方程=1的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． m＞3 B．m≠﹣2 C．m＞﹣3且m≠1 D． m＞﹣3且m≠﹣2 5．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是　　 A．且 B．且 C．且 D．且 7．若方程=1有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1和﹣1 8．若关于的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数的值为（  ） A． B． C． D． 9．若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（    ） A． B．或 C． D．或 10．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件．结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．请问原计划每小时加工多少个零件？（　　） A．40 B．50 C．30 D．24 二．填空题（共30分） 11．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有　　． 12．分式方程的解为　　． 13．关于x的分式方程无解，则m的值是　　． 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　． 15．有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克．已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克．若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是　　 ． 16．小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为　　 ． 17.已知，，，……，（，且n为正整数）．若，则a的值为______． 18.若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和等于______． 19．若关于的分式方程无解，则的值为______． 20.市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为 　 　． 三．解答题（共60分） 21.（8分）解方程： （1）； （2）． 22．（6分）已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 23.（8分）为落实“美丽盐城”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？ 24.（8分）八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120千米，队伍8:00从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地.问： （1） 大巴与小车的平均速度各是多少？ （2） 刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 行程问题 25.（10分）已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 26.（8分）阅读下列材料： 关于x的方程：的解是x1=c，；的解是x1=c，；的解是x1=c，；… （1）请观察上述方程与解的特征，比较关于（m≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证； （2）请用这个结论解关于x的方程：． 27．（12分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．在下列方程中，关于x的分式方程的个数有（　　） ①； ②； ③； ④． A． 2个 B．3个 C．4个 D． 1个 2．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程=0的根为2； ③方程的最简公分母为2x（2x﹣4）； ④x+=1+是分式方程． 其中正确的个数是（　　） A． 1个 B．2个 C．3个 D． 4个 3．某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是（　　） A ﹣=2 B． ﹣=2 C﹣=2 D． = 4．已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地．设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为（　　） A． ﹣=5 B．﹣=5 C．﹣=5 D． 6．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（　　） A． = B．= C．= D． = 7．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程+＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．5 B．8 C．12 D．15 8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}＝﹣2的解为（　　） A． B．2 C．或2 D．1或﹣2 9．已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（    ） A．1 B．2 C．6 D．7 10．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（    ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 二．填空题（共30分） 11．关于x的方程的解为x＝1，则a＝　 　． 12．关于x的分式方程+＝3有增根，则m的值是 　 　． 13．已知关于x的分式方程＝a有解，则a的取值范围是　 　． 14．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为　 　． 15．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为　 　． 16．A、B两地相距60千米，若骑摩托车走完全程可比骑自行车少用小时，已知摩托车的速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度．设骑自行车的速度为x千米/时，根据题意可列方程为　　 ． 17．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，请列出满足题意的方程是　　 ． 18．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有　 　． 19.如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是﹣4，，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x＝　　． 20.人们越来越感受到冰雪运动的独特魅力，某玩具商购进甲、乙两款以冬奥会运动项目为主题的立体拼图，甲、乙两款拼图的数量比为9：2．已知销售每套甲款拼图的利润率为30%，销售每套乙款拼图的利润率为40%，当把所有拼图销售完毕，该玩具商得到的总利润率为34%，该玩具商又购进新的一批甲、乙两款拼图，两款拼图每套的进价与售价均与前一次相同；同时，该玩具商还购进一批丙款拼图，每套丙款拼图的进价为每套甲款拼图进价的2倍，并按进价提高35%进行销售，已知第二次购进的甲、乙、丙三款拼图的数量比为5：3：3，并且所有拼图全部销售完毕，则该玩具商在第二次销售中得到的总利润率为 　 　． 三．解答题（共60分） 21.（8分）解方程： （1）． （2） ﹣1＝； 22. （6分）探索规律： （1）直接写出计算结果： +++…+= ； 猜想并写出= ； （2）探究并解方程： ++=. 23.（8分）一项工程由A、B两工程队合作，120天可以完成；如果A，B两工程队单独完成此项工程，B工程队所用时间是A工程队的1.5倍． （1）求A，B两工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）在施工过程中，该总公司派一名技术人员在现场对施工质量进行全程监督，每天总公司补助技术人员100元，若由A工程队单独施工，平均每天A工程队的费用为0.5万元，现总公司选择了B工程队单独施工，要求总费用不能超过选择A工程队时的总费用，则平均每天B工程队的费用最多为多少？ 24.（8分）为响应“足球进校园”的号召，某校到商场购买甲、乙两种足球，购买甲种足球共花费1600元，乙种足球共花费1200元．已知甲种足球的单价是乙种足球单价的2倍，且购买甲种足球的数量比乙种足球少10个． （1）设乙种足球的单价为x元，用含x的代数式表示下表中相关的量 （2）列方程求乙种足球的单价． 25．（10分）解方程： ①＝－1的解x＝__ __； ②＝－1的解x＝__ __； ③＝－1的解x＝__ __； ④＝－1的解x＝__ __． (1)根据你发现的规律直接写出第⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出求解过程． 26.（8分）先阅读理解例题，再按要求解答问题： 解方程（）2﹣6（）+5=0. 解：令=y，代入原方程后，得y2﹣6y+5=0，因式分解，得（y﹣5）（y﹣1）=0， 解得y1=5，y2=1，∵=y，∴=5或=1. ①当=5时，方程可变为x=5（x﹣1），解得x=，检验：将x=代入原方程， 最简公分母不为0，且方程左边=右面，∴x=是原方程的根； ②当=1时，方程可变为x=x﹣1，此方程无解. 综上所述，原方程的根为x=. 根据以上材料，解关于x的方程x2++x+=0． 27.（12分） 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完成天数的2倍. （1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ （2） 甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程. （3） 如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $