精品解析：天津市微山路中学2025-2026学年高二第二学期数学学科阶段练习（一）试题

2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习（一） 一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】， 故选：B 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型. 3. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 【答案】A 【解析】 【详解】由图可知，当时，，而，则； 当时，，而，则； 当时，，而，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，无极小值. 4. 函数在处有极值10，则点为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出值再分别验证即可. 【详解】，则，即， 解得或， 当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去. 当,，令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则为极小值点，符合题意. 故点为， 故选：B 5. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值． 【详解】解：的导数为， 可得在点处的切线的斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 解得， 故选：． 6. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 7. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种. 故选：A 8. 若的展开式中的系数为30，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项为，结合题意，求得的系数，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 则的展开式中为， 可得，解得. 故选：A. 9. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案. 【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座. 要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐， 即有种坐法. 故选：A. 10. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论，、各分得张与、两人一人得张、另外一人得张，按照分步、分类计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】依题意，若、各分得张，则有种不同的分法； 若、两人一人得张、另外一人得张，则有种不同的分法； 综上可得一共有种不同的分法. 故选：B 11. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 12. 在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项. A. B. C. 2或3 D. 3或4 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 14. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式定理求解即可. 【详解】的展开式的通项为. 令，则 的展开式的通项为， 令，则系数为. 因此含项的总系数为 . 15. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故选：A. 16. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 17. 函数在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用导数的几何意义求解即可 【详解】易知，又，所以切线的斜率， 所以函数在点处的切线方程为， 化简得. 故答案为： 18. 函数的单调递减区间是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求得函数的导数，令导数小于0，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 令 ，解得 ， 由于 ，故， 所以函数的单调递减区间是， 故答案为： 19. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足，即可求解 【详解】，因为函数在上是单调函数， 故只能满足在上恒成立，即，，解得 故答案为: 20. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求出和的展开式中的系数，相加即可得出结果. 【详解】， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为. 故答案为：0. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于中等题. 21. 将一枚质地均匀硬币扔三次，设为正面向上的次数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】将一枚硬币扔一次，正面向上的概率为， . 22. 盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以， 随机变量， ， ， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题. 三、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】直接利用求导公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 . 【小问3详解】 因为， 所以. 【小问4详解】 因为， 所以. 24. 已知函数 （1）若函数的极值点，求a的值； （2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数. 【答案】（1）1 （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）根据极值点列出方程，求出a的值，检验得到结论；（2）求导后，构造，证明出在恒成立，从而得到当时，. 【小问1详解】 定义域为， 因为函数的极值点，所以， 即，解得：， 检验，当时，是函数的极小值点，满足要求， 所以 【小问2详解】 ， 令， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 故在恒成立， 所以在恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习（一） 一、单选题：本题共16小题，每小题3分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知函数，导函数为，那么等于（ ） A. B. C. D. 1 3. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 4. 函数在处有极值10，则点为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 5. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 7. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 若的展开式中的系数为30，则 （ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 10. 王华有张不同的邮票要分给、、三个好朋友，其中分得张，、每人至少分得一张，则不同的分法有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 240种 D. 360种 11. 的展开式中的系数为（ ） A. 24 B. C. D. 12. 在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项. A. B. C. 2或3 D. 3或4 13. 设，则（ ） A. B. C. D. 14. 在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 15. 已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 3 P a 若离散型随机变量，则（ ）． A. B. C. D. 16. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 17. 函数在点处的切线方程为___________. 18. 函数的单调递减区间是_______. 19. 已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是_________． 20. 在的展开式中，的系数是__________. 21. 将一枚质地均匀硬币扔三次，设为正面向上的次数，则________． 22. 盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______． 三、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 24. 已知函数 （1）若函数的极值点，求a的值； （2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $