学易金卷：高二数学下学期第三次月考【天津专用，测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章～选择性必修第三册】

**基本信息** 聚焦高二选择性必修内容，以导数、统计、概率、排列组合为核心，通过射手射击、晨跑调查等真实情境设计问题，考查数学思维与数据意识，适配月考综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/45|导数运算、线性相关、排列组合|基础概念辨析，如第2题散点图分析考查直观想象| |填空题|6/30|二项式系数、正态分布、AI对话概率|情境创新，第13题结合AI模型切换考查独立事件概率| |解答题|5/75|导数应用、概率分布列、独立性检验|综合应用突出，17题射手射击问题融合独立重复试验与期望计算，18题晨跑调查渗透数据分析与统计推断，20题导数零点证明体现逻辑推理|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共45分） 1、 选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 5．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 7．某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．在的展开式中．的系数为______． 11．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 12．已知随机变量服从正态分布，且，则______． 13．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 14．为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为___________；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 15．若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为_________ 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 17．射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望． 18．晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． (1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 (2)计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ (3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 20．已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [ A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 4 分，共 2 0 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． __________________ __ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共 60 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 4．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 5．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 7．某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．在的展开式中．的系数为______． 11．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 12．已知随机变量服从正态分布，且，则______． 13．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 14．为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为___________；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 15．若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 17．射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望． 18．晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． (1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 (2)计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ (3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 20．已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章~选择性必修第三册。 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故A正确，B错误； ，，故CD错误. 2．对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关， 且线性相关性比较强. 故选：B. 3．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】∵，， 当时，，解得. 4．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 【答案】C 【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 5．已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 6．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 7．某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在．为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量．已知的数学期望，方差．若从这批芯片中再随机抽取2个芯片，则这2个芯片中恰好有1个是良品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，因为，解得． 从这批芯片中再随机抽取2个，恰有1个良品的概率为． 8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【【详解】对 ，求导得 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 整理得 ， 即小于等于在上的最小值， 对求导得 ， 当时， ，得到在上单调递增， 因此最小值为 ，故， 因此实数的取值范围为. 9．已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．在的展开式中．的系数为______． 【答案】 【详解】，， 使可得，则的系数为. 11．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 【答案】 【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位， 然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位， 共有种排法. 12．已知随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】0.4 【详解】随机变量服从正态分布，其对称轴是直线. 因为，所以，所以， 所以. 13．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【分析】借助相互独立事件的概率公式以及全概率公式计算即可得. 【详解】；. 14．为深入开展宪法宣传工作，提升公民法治素养，某市教育局举办了宪法普法知识答题活动．现有甲、乙两所学校晋级决赛，本次决赛计分规则：参赛学校抢到答题权且作答正确的，每题计1分；未抢到答题权，或抢到答题权但作答错误，均不计分．终止规则：任一参赛学校得分比另一校多2分或五道比赛题目全部答完．已知两校每道题抢到答题权的概率均为，且每所学校答对每道题的概率均为．答完两题后，甲校得2分的概率为___________；设活动结束时，两校一共答了道题，则的数学期望为___________． 【答案】 【详解】甲校在每题中得1分的概率为， 记事件“答完两题后，甲校得2分”， 所以； 依题意，每道题的答题结果有以下3种： 甲校抢到且答对得1分，此时乙校得0分，概率为； 乙校抢到且答对得1分，此时甲校得0分，概率为； 不论哪校抢到都答错，即甲乙两校都得0分，概率为； 两校一共答的题目数的可能取值为， 表示某校前2道得2分，对方得0分； 表示某校第3道得1分，前2道只得1分，且对方得0分； 表示第4道得1分，前3道只得1分，且对方得0分，或者第3道和第4道共得2分，前2道只得1分，且对方得1分； ， ， ，； 故的分布列列表如下： 所以. 15．若是函数的两个极值点，则的取值范围为________；若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由函数，可得， 因为函数有两个极值点，即是的两个根， 当时，方程不成立，所以与有两个不同的交点， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，其中， 函数的图象如图所示， 要使得与有两个不同的交点，则满足， 即实数的取值范围为. 由图象可知，，且，因为，即， 由，可得，所以， 令，所以， 令，可得， 令，可得， 所以在区间上单调递减，所以， 所以在区间上单调递减，， 所以，又由，可得， 所以在上单调递减，则，所以实数的最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数. (1)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本； (2)甲得1本，乙得2本，丙得3本； (3)一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 【详解】（1），共有60种不同的分法. （2），所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法. （3）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以，故有， 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法. 17．射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分，若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总分数，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知. 根据二项分布的概率公式可知：在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为. （2）设“第次射击击中目标”为事件， “射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则 . （3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6. ， ， ， ， . ∴的分布列是 0 1 2 3 6 P ∴. 18．晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式．某机构采用有放回简单随机抽样的方法对某高中学生的运动爱好者进行问答调查．得到成对样本观测数据的分类统计结果，已知被调查的运动爱好者中男生有40人，其中不喜欢晨跑的男生有10人；被调查的运动爱好者中女生有60人，其中不喜欢晨跑的女生有30人． (1)填表：将所给数据进行整理，填到如下2×2列联表中 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 10 40 女生 60 合计 100 (2)计算，并依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别有关？ (3)若从该校的运动爱好者中，采用分层随机抽样的方法随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式及数据： ，其中n=a+b+c+d． α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)联表见解析； (2)喜欢晨跑与性别无关； (3)分布列见解析，. 【详解】（1）填列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 （2）， 因此，依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别无关； （3）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则. 19．已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 20．已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若有三个不同的零点，，，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，． 将代入，得切点纵坐标． 对求导得： 所以在处的切线斜率为：， 所以切线方程为，即：． （2）（i）由等价于． 设．． 令，解得或． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 的极大值为；极小值为． 又当时，；当时，． 所以函数的大致图象如图： 所以，要使直线与有3个不同的交点，必须满足： 故实数a的取值范围是． （ii）证明：由（i）知，三个零点分布为：，，． 由零点分布可知，，． 令，，． 显然有，，． 因为，代入得：． 同理代入和可得：，且． 因此，，是方程的两个正根，而u是方程的正根． 因为，两边同时乘以并除以，得： 两边取自然对数： 同理，由可得： 将上述两式相加，得到： 下面证明． 设，由已知． 由于，要证，而且在上单调递减． 等价于证明，即证对任意成立． 构造函数． 即证明：， 令．， 令，，， 因为，所以，即单调递增． ． 所以在上单调递减，． 故成立，进而在上恒成立． 这说明成立，从而得到． 因为且，所以． 代入第一步得到的恒等式中： 将，，代回上式： 所以原不等式得证． 试卷第14页，共15页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B A C D D B C D 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．15 11．300 12．0.4 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分） 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 【详解】（1），共有60种不同的分法. （2），所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法. （3）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以，故有， 所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法． 17．（15分） 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则由题可知. 根据二项分布的概率公式可知：在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为. （2）设“第次射击击中目标”为事件， “射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件，则 . （3）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，6. ， ， ， ， . ∴的分布列是 0 1 2 3 6 P ∴. 18．（15分） 【答案】(1)联表见解析； (2)喜欢晨跑与性别无关； (3)分布列见解析，. 【详解】（1）填列联表为： 喜欢晨跑 不喜欢晨跑 合计 男生 30 10 40 女生 30 30 60 合计 60 40 100 （2）， 因此，依据小概率值的独立性检验推断喜欢晨跑与性别无关； （3）由（1）知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生， 其中男生人数为，女生人数为． 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4. ， . 故随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 4 则 19．（15分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 20．（16分） 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）当时，． 将代入，得切点纵坐标． 对求导得： 所以在处的切线斜率为：， 所以切线方程为，即：． （2）（i）由等价于． 设．． 令，解得或． 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 的极大值为；极小值为． 又当时，；当时，． 所以函数的大致图象如图： 所以，要使直线与有3个不同的交点，必须满足： 故实数a的取值范围是． （ii）证明：由（i）知，三个零点分布为：，，． 由零点分布可知，，． 令，，． 显然有，，． 因为，代入得：． 同理代入和可得：，且． 因此，，是方程的两个正根，而u是方程的正根． 因为，两边同时乘以并除以，得： 两边取自然对数： 同理，由可得： 将上述两式相加，得到： 下面证明． 设，由已知． 由于，要证，而且在上单调递减． 等价于证明，即证对任意成立． 构造函数． 即证明：， 令．， 令，，， 因为，所以，即单调递增． ． 所以在上单调递减，． 故成立，进而在上恒成立． 这说明成立，从而得到． 因为且，所以． 代入第一步得到的恒等式中： 将，，代回上式： 所以原不等式得证． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 姓 名： 答题卡 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 n 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2IA][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][CI[D] 8[A][B][C][D] 說 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 13 1 14 5 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(16分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）