安徽合肥一六八中学等校2026届高三最后一卷数学试题

2026届高三最后一卷·数学 参考答案提示及评分细则 一.单项选择题： 1.答案：C 28来：A调为2.围2=（我启1，以-+：遮A 3答案：A解：因为月-2，且向量a,6的夹角为，所以a6-月cos-月(3a-20)(a+④列-9， 得3a+a.i-25=9则2+-3=0，解得=1（负值舍）. 1 4答案：B解：设等比数列的公比为9，易知g=1,由思意名=95及%-4=3，解得4-，由4分 9=2 9=2时，4=4q2=2. 5.答案：B.解：由题意知A(-a,0),(-c,0),F(C,0),由△PEE为等腰三角形，且∠乃P=120°，得 P=耳=2c过p作P9垂直x轴于O,如图所示， 则在RaPR2中，∠PR0=18-120°=60，故Pgl=|PFsin.∠Pr0=x×Y 2, R@Po∠PR0=号c,所以P+6Vd,即Pc5.代入直线r的方程y乐(e+a: 钓c-c+a,即a2c,所以所案的将离心率为8=后号 a21 6若案：B解：由题意可得儿)=3c2-到引}1=3co2-引1=3nx1令2x=kez,得 x=经ke乙，此时f)=3ma1=1所以e)图象的对称中心是〔经kc,答案为B 7答案：D. 解：取BC中点E,连接AE,DE,:AB=BC=AC=2W3,4E1BC,AB=3,CD=23,CE=V5, ∠BC=120°，DE⊥BC,DE=3,∠AED为二面角A-BC-D的平面角， 2026届高三数学答案第1页共7页 ∠AED=60°，∴.AE=DE=3,△AED为等边三角形，AD=3。设△BCD的外心为O,△ABC的外心 为O3,△BCD中，BD=6,21= _BD=45,K=2W5,△MBC为等边三角形，2= BC =4, sin120° sin60° 5=2,过O作平面BCD的垂线，过O,作平面ABC的垂线，交点为球心O,由二面角60°计算得 及一子所以表面表为 148 二π，选D. 3 8.答案：A 解：要证明a>c,需证.3 3 ,得证a>c 2 构适函数f)=ln0+9-2x(x>0).求导得f()= x+2 1+0(c+2>0,故在0，+∞)单调递增. 2 因此W>fo)=0,即血1+)>2x。 1 8、7 2 >x十2令=得m 得证b>c. +215 由In(1+Wsx0,得1n8s是1=e月 =e,故a>b.综上，a>b>c,答案A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.答案：ACD 解：对于A,因随机变量X~W1,σ)，则u=1,由正态曲线的对称性可得P(X≤0)=P(X≥2)，故A正 确： 对于B,由事件A,B相互独立可知P(AOB)=P(A)P(B),对于随机事件A,B,都有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B),故仅当A,B互斥时，才有P(A⌒B)=O, 故结论不成立，即B错误： 对于C,由题意，=12，了=2(5-=2，对于数据25+1,25+1，，2x+1,其均值为 ni-1 ni1 =2(2+0=2x2x+n×12+1,其方差为 ni-1 究=号22+1)-2，=x=4xx-)4w=4x2=8,故c正 n台 对于D,相关指数R越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故 D正确。 2026届高三数学答案第2页共7页 10.答案：BC 解：易知A错误； f(x)=(1+cose)sinx+sine cosx+sin=(1+cos0)2+sin20 sin(x+)+sin@s2+2cos0+sin0 ，M0)=V2+2cos0+sin0=21cos91+in0≤2cos9+2sim9cos9=2cos9a+sim号： 2 2 2 2 2 令号=1，则p0=2cast0+sn.w0=2X0-2sn0+sin=0,所以sm1=.或者cos1=5 2 2 所以p()max 3V5 ,选项B正确： 设f(x)<-1,f(x+π)<-1，f(x)+f(x+)<-2,即sn日<-1矛盾，选项c正确： 当1+cos0=0时，cos6=-1,即sin6=0,此时f()=0,选项D错误 11.答案：ABD 解：A显然正确： 对于B,设P(x,-1),PA:xx=2y+2y1过点P,所以，PA:x,=-2+2y,同理，xx=-2+2y3, xx=-2+2y AB:xx=-2+2y,联立 ,x2-2xx-4=0,.x+x3=2x,xx3=-4, x2=4y 3 PAPB0Q+于0+原(G--)=(6+④≥4=8选项B正确： 对于C,易知，△PAB~△PDC,PC·AB=PB.CD,故C错： 对于0.克知=14,4，：P).g x3-4 x1 4x 4x2 2、 ,4 2(K1+x3) an∠AFP=km-r,m∠BFP=a-”,所以∠AFP=∠BP,D正确 1-karkpr 1-kprkpr 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案：3. 13.答案：是 解析：设第一次抛出的点数为i(i=1,2,3,4,最终以数字1结束的概率记为P, 2026届高三数学答案第3页共7页 第一次出现点数 第二次出现的点数如下： 1,结束（记下） 1,未结束，继续抛 1 2,结束（不是以1结束，不记在内） 2,结束（不是以1结束，不记在内） 3 3,未结束，继续抛 3,未结束，继续抛 4,结束（不是以1结束，不记在内） 4,结束（不是以1结束，不记在内） 故： 1 p3=4P1+4P3 14.答案：1. 5 解折：4=301=a,-a,+1,知a,>0. 由+1-a,=a,2-2a,+1=(a,-1)>0，知数列{a}单调递增 由a+1=a2-a+1,知a1-1=an2-a=4(a-1), a+1-1a(a-1）a-1aa,a-1a+1-1 m=+1++1-1,1寸1,1+1 1 十 442 a064-14-1a-143-1 4026-1a307-1 =1-1_31 4-1407-12a47-1 5 19 由数列{a,}单调递增，a=a=a-a+l,得a 0a=271之3，得到a7>3 81 0<11 0027-12 131 的整数部分为1. 41-14027-12a027-1 15.解析：(1)由正弦定理得：a=2 RsinA,c=2=2 RsinC.所以由a=2cosB可得： 2 RsinA=2 RsinCcosB,又由A+B+C=n,sinA=sinB+C) 则sinA=sinB+9=sinCcosB,得到cosC=0,则C=宁 -6分 (2)由C=,得2R=c=2,得R=1.而内切圆半径： 2026届高三数学答案第4页共7页 ==sinA+sinB-1=sinA+co5A-1=V2sin(A+)11 其中A=B=时等号成立 -13分 16.解析 (1)取AD中点O点，连接EO,由△EAD为正三角形，得到E01AD 又侧面EAD垂直于底面ABCD,AD=平面EAD∩平同ABCD 所以EOL平面ABCD,如图建立空间直角坐标系- -2分 于是A1,00),B012,0).(00,V同，D(-1,00)H(-0,) 所以a正=(0,20).A=（30,),D正=(10，V D尼·AB=0 由 DE·A五=0得到DE1平面ABE. -7分 (ABOAH=A (2)利用E匠=1AB=(0,1,0)得到F(0,1,V3) 在平面BCE中，BC=(-2,0,0),BF=(-1,-1,V3),设平面BCE 的一个法向量为m=(a,b,c) D 则层乐8得到：{-40 m·BF=0 0 不妨设c=1,则m=(0,V3,1)- --10分 又由平面ADE与平面ABCD垂直，AB⊥AD,AD=平面ADE∩平面ABCD, 则AB1平面ADE,则AB=(0,2,0)为平面ADE的一个法向量， 所以os<成aG>品-兰-号 4 2 所以平面ADE与平面BCF所成角的余弦值为得 -15分 17.解析：(1)f)的定义域为(0，+∞)，f'()=2二-a+ x2 -2分 当a≤2时，f'()=(+x-a)≥0，所以f)在(0，+o)上单调递增： 当a>2时，令f()=0,不妨记t1=-,2=a+va2马 2 2 所以f(x)在(0，t1)上单调递增，在t1,t2)上递减，在(t2,+o)上递增： 综上所述： 当a≤2时，fx)在(0，+o)上单调递增： 2026届高三数学答案第5页共7页 当a>2时，f)在(0，)上单调递增，在(-空，)上递减，在(，十四)上递增： -7分 (2)设f)=x-是-anx有三个零点xv,x,而f)=0. 当x>0且x≠1时，由 f)=x-anx f()=-x+1+alnx 得到：fx+f()=0: 题☒0上0，又因为f00:这达达满0<xx1上之 所以f()=-+1=0,即x2-x+1=0在0，+0)有两个不同的实数根t,2,41<t2 x2 (t1+t2=a>0 所以t1·t2=1>0,得到a>2,0<t1<1<t2: A=a2-4>0 所以f(x)在(0，t1)上单增，在(t1,t2)上单减，在(t2,+o)上单增； -10分 取x=e-a∈(0,1)，所以f(e-a)=a2+e-a-ea<-ea+a2+1, 由a>2设g(a)=-ea+a2+1,g'(a)=-ea+2a,g"(a=-ea+2<0,所以g'(a)在(2，+∞)上递减，故 g(a)<g(2)=-e2+4<0,故g(a在(2，+∞)上递减. 故g(a)<g(2)=-e2+5<0,故f(e-a)<0 而f(t1)>f(1)=0,f(t2)<f(1)=0, 取x=e时，f(e=-a2-e-a+ea=-f(ea)>0, 故由根的存性定理可知，当a>2时，必存在三个不同实数，0<x1<x2=1<x3,使得f(x1)=f(x2)= f(x3)=0.故a>2.- -15分 18答案：(1)x2-y2=1- -4分 (2)()设M(xo,yo),则1的方程：xox-yoy+1, (t0)(-tg）k1+k=忌 9分 (i)由∠AOM+∠BOM=T, 故AAOM OA MA SABOM OB MB -12分 因为0=P+(（0,oB2=+( 又因为胎=代入胎胎求得t= 2 -17分 19.解析： (1)解法一：当n=3时，T3={0,1,2,3,4,5,6,7}, 故所有项的和为28. 解法二：T3共有23=8种情况，而2°，21,22出现的次数均为22个，故所有项之和为 2026届高三数学答案第6页共7页 22(20+21+22)=28. -4分 (2)①解法一：可直接拆分：10=23+2 =23+1+1=22+22+21=22+22+1+1=22+21+21+21, =22+21+21+1+1=22+21+1+1+1+1=22+1+1+1+1+1+1, =2+2+2+2+2=2+2+2+2+1+1, =2+2+2+1+1+1+1=2+2+1+1+1+1+1+1, =2+1+1+1+1+1+1+1+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, 故k10=14 解法二：可以用第②结论来求k10=k5+kg=k4+k6+k4=3k4+k3=3(2k2)+k3=14.---9分 ②先证明：k2m+1=k2n, 任意整均可拆分成2的非负整数次幂，而2的幂只有1为奇数，要得到奇数2m+1,必顺用奇数个1，把 任意拆分里的1个1去掉，便可得么2n的一个拆分，反过来2n的任意一个拆分加个1，便得到2n+1的一 个拆分，所以k2m+1=k2n -12分 再证：k2m=k2m-2+kn(n≥2) 对2n的拆分项进行分类，共两类： 1类为至少含有两个1的拆分项，2类至多含1个1的拆分项， 第1类至少含有两个1的拆分项，将两个1去掉，与2-2的拆分项是一一对应的，故这类拆分的数量为k2m-2: 2类2类至多含1个1的拆分项，而总和为偶数，故1的个数只能是0个，于是2n的拆分项，只需考查n 的拆分即可，设n=C1十c2+…+cm,m∈N+,这里c1,c2,,cm都是2的幂的形式.所以2n=2(c1+c2+ ·十cm),两边同除2得到n的拆分，于是2n的拆分项，与n的折分项是一一对应的.故此类拆分数为km 综上可得：k2m+1=k2n -17分 2026届高三数学答案第7页共7页姓名」 座位号 (在此卷上答题无效) 2026届高三最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，务 必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.集合A=0,1,3,4,5},集合B={x|(x-1)(x-5)<0},则AOB=() A.1,3,4} B.1,4} c.{3,4} D.{3,4,5 2.已知复数：满足+2=(2+0（其中1为虚数单位），则的虚部为() A.1 B.2 C. D.22 3.平面向量a,五满足=2，a-(a+b=3,且向量a, 6的夹角为受，则同=《) 3 A.1 c.√5 D.2 4.记Sn为等比数列{a}的前n项和，若S6=9S,a4-4=3,则4=() A.4 B.2 C.8 D.-8 5.已知不，尽是椭圆C号+花-1a>b>0)的左右焦点，点P在茶圆上.APRR为等腰三角形， ∠FP=120°，则椭圆C的离心率为() 1 A.- c.25 0.3.1 4 3 2 6.将函数y=3cos2x+ +1的图象向右平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则f(x)图象的对称 6 3 中心的坐标是() 经ezc(g+号oke2(+ez 2026届高三数学试卷第1页共4页 7在三楼锥A-BcD巾，AB=BC=AC=CD=25,∠BCD,二面角4-BC-D的大小为写 则三棱锥A-BCD的外接球表面积为() .84π 148π A.3 8.100z C.27π D. 3 3 8.已知a=e号，b=ln号，c=是，则下列大小关系正确的是（） A.a>b>c B.c>b>a c.b>a>c D.a>c>b 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.若随机变量X~N1,o2),则P(X≤0)=P(X≥2) B.若事件A,B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B) C.若样本数据x,x2,…,xn的方差为2，则数据2x1+1,2x2+1,…,2xm+1的方差为8 D.用相关指数R刻画回归效果，R越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 10.己知f(x)=sin(x+)+sinx+sin0,其中f(x)最大值为记为M(0),则下列正确的是() A.存在0∈R,使得函数f(O)为奇函数 B.任意8cR,都有M(O)=3 C.任意0∈R,f(x),f(x+D)至少有一个不小于-1 D.任意0∈R,且f(x1)=f(x2)=M(θ)，则|x-xmin=2π 11.如图，抛物线E:x2=4y,过点P向抛物线E作两条切线PA,PB,切点分别为A,B.切线PA,PB 分别交x轴于C,D设A(x1,y),则下列说法正确的有() y A.过点A的切线方程为xx=2(y+) B.当点P在准线上时，|PA‖PB的最小值为8 C.当点P在准线上时，PC‖AB=2PB‖CD D.对任意点P均有∠AFP=LBFP 2026届高三数学试卷第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=2c-号的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a= 13.一个质地均匀的正四面体骰子，其每面分别标有数字1,2,3,4，记录每次抛掷向下这个面的点数， 一旦连续两次抛掷的点数之和为质数，则停止抛骰子.已知第一次抛出的点数为1，则以数字1结束的概率是 14设数列a},满足4=了a:=G-a+1,记m=之人十+1，则m的整数部分是 41 al2026 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，三角A,B,C所对的边分别为a,b,C,其内切圆与外接圆半径分别为T,R. 已知c=2且a=2c0sB,求： (1)求∠C的值； (2)求的最大值. 16.(15分)底面ABCD为正方形，侧面EAD垂直于底面ABCD且AEAD为正三角形，EF/AB,AB=2EF=2. (1)若H为DE中点，求证：DEI平面ABH; (2)求平面ADE与平面BCF所成二面角的平面角大小. 2026届高三数学试卷第3页共4页 17.(15分)己知函数f(x=x-是-alnx,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有三个零点x1,X2,x3,且x1<x2<x3,求实数a的取值范围. 18.(17分)己知双曲线女-y 立不=1(a>Q,b>0)上任意一点M(6,),则过点M的切线方程为 5-y=1.已知焦点在x轴上的双曲线E:少 a2 b2 云尔=1>0，b>0)的离心率为2，且过点(2，V。 (1)求双曲线E的方程： (2)过双曲线上点M的直线I为双曲线E的切线，1分别与直线x=t,x=-t(t>O)交于A,B两点，记 直线OM,OA,OB的斜率分别为k,k1,飞2 《)求证：k+k= 2 (i)若∠AOM+∠BOM=π，求t的值. 19.(17分)将n个不同的数2,21,22，，2m-1(m∈N*)的任意一个排列a1,a2,,an,记为数列{a (1)nE∈N*,有Tn={a1b1+a2b2十…+arbn b1,b2,,bn∈I,1=0,1},求T3的所有元素之和； (2)将正整数n拆分成若干个2的非负整数次幂(2°=1、2=2、2=4)之和，拆分所得的各项之间 不考虑顺序，不同的拆分方式的数量记为k.例如：2可以拆分为21（1种方式)，也可以拆分为2°+2°（另 1种方式)，共2种拆分方式，故k2=2:3可以拆分为21+2°(1种方式)，也可以拆分为2°+2+2°（另1 种方式)，共2种拆分方式，故k3=2. (i)求k10: (i)求证：k2n+1=k2n’kn=k2n-2+k(m≥2). 2026届高三数学试卷第4页共4页