精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年度高三下学期四月教学质量检查数学试题

2025-2026学年度高三下学期四月教学质量检查数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知函数的最小正周期为，其中，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 4. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 160 D. 80 6. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 在内仅有1个解 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 11. 定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 数列的前n项和为，则 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程是______. 13. 已知向量，，若∥，，则||＝__________ ． 14. 三棱锥的各顶点均在球O上，且三棱锥的体积为，球O的体积为，已知，，，则动点的轨迹长度为____________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前n项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设函数，记，求数列的前21项和. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 17. 在平面四边形中，，将沿翻折至，满足． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. （1）请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； （2）以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数 ，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当 时，若函数是“函数”，求 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三下学期四月教学质量检查数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式化简两个集合，再根据交集的概念运算. 【详解】，即，得，即， ，即，得或，即或， 则. 故选：B 2. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 3. 已知函数的最小正周期为，其中，则（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】依题意，，因，则得. 故选：B. 4. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用余弦定理得出，再应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 5. 展开式中的系数为（ ） A. B. C. 160 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】将看作5个相同的括号相乘，利用组合的方法求解. 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 故选：A 6. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域. 【详解】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 7. 东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上存在一点P使，且△F1PF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由正弦定理可得，由两角和的正弦公式和倍角公式化简可得，结合的范围和余弦函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，则，由三角形的内角和为， 所以，在中，由正弦定理可得： ， 由可得：， 所以， 因为 ， 因为， 因为△F1PF2为锐角三角形，所以，解得：， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 在内仅有1个解 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用诱导公式化简和可判断A，B；利用正、余弦函数的单调性，结合复合函数的单调性可判断C；由，可得，结合余弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，因为，定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 对于B，，所以是的一个周期， 又， 所以不是的周期，故的最小正周期为，故B正确； 对于C，当时，， 又在上是偶函数，先增后减，不是单调函数， 而函数在上单调递增，由复合函数的单调性可知， 在上不是单调递增函数，故C错误； 对于D，因为，所以， 由，可得， 而函数在上单调递减， 所以在内仅有1个解，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、的坐标，分别计算直线和的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断. 【详解】对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确. 11. 定义在上的函数，对都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递减 C. D. 数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】由函数方程可得，又， 可推出，可得，对任意正整数数成立. 对于选项:正确. 对于选项:递增，故单调递减错误. 对于选项:是凸函数，满足，正确. 对于选项:前项和，正确. 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程即可. 【详解】当时，可得，则切点为， 而，当时，得到， 则切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知向量，，若∥，，则||＝__________ ． 【答案】 【解析】 【详解】因为∥，所以， 因为，所以， ， 所以，则， 解得：，所以， 所以 . 14. 三棱锥的各顶点均在球O上，且三棱锥的体积为，球O的体积为，已知，，，则动点的轨迹长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据外接球的体积求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积求得点到平面的距离，得到点在平行于平面的平面上，然后求得外接球球心到平面的距离，进而得到外接球球心到点所在的平面的距离，得到点的轨迹是圆即可. 【详解】如图所示，设三棱锥外接球的半径为， 则由外接球的体积为，解得． 因为，，，所以， 所以，所以， 设点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为，解得，即， 所以点在平行于平面的平面上． 因为，所以的外接圆的圆心为的中点，则外接圆的半径为， 所以外接球的球心到平面的距离为， 即，所以球心到点所在平面的距离为，即， 在直角中，可得， 所以点的轨迹为以为半径的圆，故动点的轨迹长度为． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等差数列的前n项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）设函数，记，求数列的前21项和. 【答案】（1） （2）21 【解析】 【分析】（1）方法一：利用等差数列的通项公式和前n项和公式进行求解即可； 方法二：利用等差数列的性质和前n项和公式进行求解即可； （2）方法一：利用分组求和法进行求解即可； 方法二：判断函数的对称性，利用函数的对称性进行求解即可. 【小问1详解】 方法一：设等差数列的公差为，则 解得 所以. 方法二：设等差数列的公差为， 因为是等差数列，所以，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 方法一：因为， 所以， 所以 . 方法二：因为， 所以， 所以， 所以曲线关于点中心对称， 因为是等差数列， 所以， 因为的对称中心为， 所以， 同理可得：，, 所以. 16. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的右焦点为，点，过点的直线交双曲线于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2），或或. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，进而解方程即可得答案； （2）由题知，进而先讨论直线的斜率不存在不满足条件，再讨论的斜率存在，设方程为，设，进而与双曲线方程联立得线段中点为，再结合题意得，进而再分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 解：因为双曲线的渐近线方程为，且过点， 所以，，解得 所以，双曲线的标准方程为 【小问2详解】 解：由（1）知双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时， ， 所以，直线的斜率存在，设方程为， 所以，联立方程得 所以，且， 所以， 设， 则 所以， 所以，线段中点为， 因为， 所以，点在线段的中垂线上， 所以， 所以，当时，线段中点为，此时直线的方程为，满足题意； 当时，， 所以，，整理得，解得或，满足. 综上，直线的方程为，或或. 17. 在平面四边形中，，将沿翻折至，满足． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）在平面四边形中， ， ， 在空间中，由得 平面 又 平面， 平面平面，得证． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明，可得 面，再结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求解平面和平面的法向量，进而求解夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 因为平面平面，所以轴平面， 则． 所以． 设平面一个法向量为，则， 即，令，则． 设平面一个法向量为，则， 即，令，则． 设平面与平面的夹角 ， 则. 18. 竹竿舞又称“跳竹竿”，是人在两竹竿滑动相撞的空隙中跳动的一种娱乐活动.2005年，黎族的竹竿舞被确定为海南省非物质文化遗产，2006年，竹竿舞入选“国家级非物质文化遗产保护名录”，甲､乙两名游客组队参加了海南某文化旅游区举办的竹竿舞闯关活动，该活动总共分为三关：第一､二关均为单人独舞（第一关和第二关闯关的人不相同），第三关为两人共舞.已知甲､乙闯过第一关的概率分别为，闯过第二关的概率分别为，这支队伍闯过第三关的概率为0.5.活动规定：只有闯过前一关，才有资格闯关后一关. （1）请以这支队伍闯过前两关的概率为依据，为甲､乙安排第一关和第二关的闯关顺序，并求此时这支队伍闯过前两关的概率； （2）以在（1）中安排的闯关顺序为准，记这支队伍闯过的关数为，求的分布列与期望. 【答案】（1）甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为 （2） 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 【解析】 【小问1详解】 若甲闯第一关，乙闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 若乙闯第一关，甲闯第二关，则这支队伍闯过前两关的概率为， 由于，则应该安排甲闯第一关，乙闯第二关，此时这支队伍闯过前两关的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，安排甲闯第一关，乙闯第二关，而的可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.2 0.32 0.24 0.24 则. 19. 已知函数. （1）当 时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数 ，，曲线与直线总相切，则称函数是“函数”，当 时，若函数是“函数”，求 . 【答案】（1）极小值0，无极大值． （2）当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数求出函数的单调性区间，利用极值的定义求解即可； （2）利用导数与函数单调性间的关系，分类讨论求的单调区间即可； （3）利用“函数”的定义，结合导数的几何意义得，然后结合是方程的根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，即可求解. 【小问1详解】 函数，， 当 时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值，无极大值. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，在单调递减； 当时，令，得，， 所以，且为增函数， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 综上， 当时，的单调递减区间为，无递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 当 时，函数是“函数”， 求导得， 设曲线与直线切点， 则，故，即， 所以且， 设，，易知，且是增函数， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以是方程的根，且唯一， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $