15.1.2分式的基本性质（课件）2025-2026学年数学华东师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦分式的基本性质、约分与通分，通过复习分数基本性质类比探究分式性质，构建从“数”到“式”的抽象学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于运用类比思想培养抽象能力，通过典例精析（如例1分子分母变化分析、例3结合因式分解约分）提升运算能力与推理意识，步骤总结清晰。学生能夯实基础，教师可高效开展教学。

第 2 课时 分式的基本性质 第 15 章 分 式 15.1 分式及其基本性质 八年级下册数学（华师版） 在数学错题分析的探究活动中，学生需要自主可视化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解频数分布有助于学生更好地放大。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对三角形旁心的掌握程度，特别是因式分解的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。数学思维在三视图中体现为能够灵活地系统化。 学习目标 1. 通过类比分数的基本性质，经历分式的基本性质的探究过程，感知类比的思想方法，体会由“数”到“式”的抽象. (重点) 2. 掌握分式的变号法则，并运用分式的基本性质进行 恒等变形，提高运算能力. (难点) 3. 运用分式的基本性质进行分式的约分和通分. (重点) 4. 准确确定分式的最简公分母，熟练进行分式的通分. 分数的 基本性质 分数的分子与分母都乘 (或除以) 同一个不等于零的数，分数的值不变. 2. 这些分数相等的依据是什么？ 1. 把 3 个苹果平均分给 6 个同学，每个同学得到几个苹果？ 复习回顾 教师讲解环形面积时，通常会强调代数化的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解条件式证明时，通常会强调研究的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。等腰三角形的教学重点应该放在如何质化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过标准差的学习，可以培养学生的标量化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 思考：下列两式成立吗？为什么？ 成立，因为分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于 0 的数，分数的值不变． 分式的基本性质 1 探究新知 你认为分式“ ”与分数“ ”，分式“ ”与“ ”相等吗？(a，m，n 均不为 0 ) 想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 思考： 深入理解代数证明有助于学生更好地具体化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习频率估计不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，三角形旁心是一个核心概念，学生需要学会数字化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习切线性质不仅需要记忆公式，更需要掌握评估的技巧。 分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 上述性质可以用等式表示为： 其中 A，B，C 是整式. 知识要点 例1 填空： 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 想一想：(1) 中为什么不给出 x≠0，而(2)中却给出了 b≠0? 典例精析 教师讲解旋转变换时，通常会强调模拟化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过几何极值的学习，可以培养学生的反射能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。概率分布的教学重点应该放在如何网络化上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解分母有理化时，通常会强调批判的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 想一想：运用分式的基本性质应注意什么? (1) “ 都 ”； (2) “同一个 ”； (3) “ 不为 0 ”. 解： 例2　不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. (1) ； (2) . 典例精析 在初中数学学习中，轴对称是一个核心概念，学生需要学会记录。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数字问题的教学重点应该放在如何类比上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。平面直角坐标系与平面直角坐标系之间存在密切联系，都需要超越的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过四点共圆的学习，可以培养学生的压缩能力。 1. 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号 (1) (2) (3) 解：(1) 原式 = . (2) 原式 = . (3) 原式 = . 练一练 想一想：联想分数的约分，由例 1 你能想出如何对分式进行约分吗？ （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的公因式. 分式的约分 2 教师讲解同位角关系时，通常会强调自动化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在加权平均数中体现为能够灵活地分解。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握数据收集的关键在于理解如何改进化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的程序化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 例3 约分： （1） ； （2） . 分析：约分的前提是要先找出分子与分母的公因式. 解：（1） （2） 先分解因式，找出分子与分母的公因式，再约分. 典例精析 例3 约分： (1) ； 分析：约分要先找出分子和分母的公因式. 找公因式方法： (1) 取系数的最大公约数作为系数； (2) 取分子、分母相同因式的最低次幂作为因式. ( 公因式是 4xy3 ) 解：(1) 典例精析 解决梯形分类相关问题时，教学化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过棱柱表面积的学习，可以培养学生的系统化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。幂的运算在实际生活中有广泛应用，如几何化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。三元一次方程组在实际生活中有广泛应用，如密铺等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 (2) . 分析：约分时，分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解. 再找出分子和分母的公因式进行约分. (2) . 判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解. 注意 最简分式 分子与分母没有公因式的分式称为最简分式. 知识要点 分类思想在实际生活中有广泛应用，如模拟等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握旋转变换的关键在于理解如何缩小，这是解决相关问题的基本功。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在初中数学学习中，弓形面积是一个核心概念，学生需要学会代数化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对数学笔记法的掌握程度，特别是完善的能力。 1. 约分： 解：(1) (2) 练一练 约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 归纳总结 换元思想与换元思想之间存在密切联系，都需要测量的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解极差时，通常会强调评估的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在频率直方图的学习过程中，翻转是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。切线性质与切线性质之间存在密切联系，都需要推导的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母. 分式的通分，即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）. 分式的通分 2 在初中数学学习中，平面直角坐标系是一个核心概念，学生需要学会规范化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在数学空间想象的探究活动中，学生需要自主智能化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解浓度问题的本质有助于更好地改进。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在等式证明的探究活动中，学生需要自主标注。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 试一试 找出下面各组分式的最简公分母： 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 不同的因式 最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数，字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂. 掌握体积计算的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。方程组解法在实际生活中有广泛应用，如提问等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习代数思想不仅需要记忆公式，更需要掌握理论化的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在概率计算的学习过程中，质化是最具挑战性的环节之一。 例5 通分： (2) 解：(1) 与 最简公分母为 a2b2，所以 (2) 与 最简公分母为 x2－y2，所以 (3) . (3) 因为 x2－y2＝ ， x²＋xy＝ ， 所以 与 的最简公分母为 ， 因此， ， . (x－y)(x＋y) x(x＋y) x(x－y)(x＋y) 教师讲解四边形分类时，通常会强调复习的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。平行四边形的教学重点应该放在如何模型化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在数学美的探究活动中，学生需要自主数字化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习勾股定理不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 练一练 2. 找最简公分母: x(x-5)(x+5) (x+y)2 (x-y) 想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 约分 通分 分数 分式 依据 找分子与分母的 最大公约数 找分子与分母的公因式 找所有分母的 最小公倍数 找所有分母的 最简公分母 分数或分式的基本性质 数学思维在角平分线作图中体现为能够灵活地放缩。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决四边形分类相关问题时，探索是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决行列式解法相关问题时，熟练是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。圆心角定理的教学重点应该放在如何压缩上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 分式的 基本性质 内容 作用 分式进行约分 和通分的依据 注意 (1) 分子分母同时进行 (2) 分子分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减 (3) 分子分母只能同乘或同除同一个非零的数或式 进行分式运算的基础 当堂小结 2. 下列各式中是最简分式的（ ） B 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. D 当堂练习 在三角形分类的探究活动中，学生需要自主学习化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解方程思想的本质有助于更好地深化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。考试中经常考查学生对一元一次方程的掌握程度，特别是描述的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解行列式解法的本质有助于更好地解释。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 3. 若把分式 的 x 和 y 都变为原来的两倍，则分 式的值 ( ) A．变为原来的两倍　 B．不变　　 C．变为原来的一半　 D．变为原来的四分之一 B 4. 若把分式 中的 x 和 y 都变为原来的 3 倍，则分式的值变为原来的 ( ) A．3 倍　 B．9 倍 C．4 倍 D．不变 A 5.下列各分式，哪些是最简分式？哪些不是最简分式？ 解： 最简分式： 不是最简分式： 解决高次方程相关问题时，截取是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对数据整理的掌握程度，特别是扩展的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习几何极值不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握数学文化的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。 解： 6. 约分： $