精品解析：上海市闵行第三中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

2025学年第二学期期中考试试卷 高二年级数学学科 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王万卿 审题人：任银行 终审人：俞德斌 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，合计54分） 1. 函数的导函数________. 2. 椭圆的长轴长为________． 3. 函数在区间上的平均变化率是_________． 4. 双曲线的渐近线的方程为________. 5. 平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 6. 函数的驻点为________. 7. 若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 8. 已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 9. 函数在处取得极小值，则的值为________. 10. 已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 11. 已知曲线的方程为，经过且倾斜角为的直线与曲线恰有2个公共点，则倾斜角的取值范围是________. 12. 如果将方程对应的图像绕原点逆时针旋转角后，所得到的图像为函数图像，则称方程具有性质.下列方程中，具有性质的序号为________. ①；②；③，；④，. 二、选择题（本大题共4题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，满分18分） 13. 抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 14. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 15. 定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，作出所有垂直于轴并能够与相交的直线，记相交所得到的线段为.现将这些线段在竖直方向上下平移得到新的线段，并使的中点均在轴上，这种变换叫做平移对称法.对于、、直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知函数的解析式为. （1）求函数的严格单调区间； （2）求函数在闭区间上的最大值与最小值. 18. 已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点，且线段的长度为2.斜率为的直线过点且与双曲线交于、两点. （1）求双曲线的方程； （2）若、两点均在双曲线的左支上，求斜率的取值范围. 19. 已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. （1）根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； （2）当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 20. 将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. （1）求抛物线的方程； （2）判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 21. 已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； （3）若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试试卷 高二年级数学学科 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：王万卿 审题人：任银行 终审人：俞德斌 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，合计54分） 1. 函数的导函数________. 【答案】0 【解析】 【详解】函数的导函数. 2. 椭圆的长轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和长轴定义求解即可. 【详解】由椭圆方程可得， 所以长轴长， 故答案为： 3. 函数在区间上的平均变化率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义：求区间上的平均变化率即可. 【详解】解：函数的平均变化率为． 故答案为：． 4. 双曲线的渐近线的方程为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为双曲线的焦点位于轴，且，， 所以，， 所以其渐近线方程为：. 5. 平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【解析】 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为 ，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 6. 函数的驻点为________. 【答案】1 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 令，则. 当，；当，. 所以函数的驻点是. 7. 若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 【答案】 【解析】 【详解】由点在抛物线上，得， 抛物线的准线方程为， 所以点到抛物线的准线的距离. 8. 已知圆的方程为，直线的方程为.若直线与圆相交所得弦长，则________. 【答案】或 【解析】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为. 若直线与圆相交所得弦长，则圆心到直线的距离为 . 所以 ，化简得 ，解得或. 9. 函数在处取得极小值，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义求出的值并验证得解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，是常数函数，不存在极值； 当时，，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点， 所以. 10. 已知曲线的方程为，函数的图像与曲线重合，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的图象与曲线重合，曲线的方程为， 化简可得，即， 求导可得， 因为， 所以， 当时，， 即. 11. 已知曲线的方程为，经过且倾斜角为的直线与曲线恰有2个公共点，则倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出直线与曲线的图象，结合图象进行解答. 【详解】曲线的方程为 ， 当时，，图象为双曲线的上半支，渐近线为， 当时，，图象为圆的下半支， 直线经过且倾斜角为，设直线的斜率为，， 则直线的方程为， 所以直线与曲线的图象为 当直线与相切时，此时， 可得 ，解得， 当直线与平行时，， 因此直线与曲线要恰有两个公共点，的取值范围为， 即，. 12. 如果将方程对应的图像绕原点逆时针旋转角后，所得到的图像为函数图像，则称方程具有性质.下列方程中，具有性质的序号为________. ①；②；③，；④，. 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据题意，结合变换公式，代入计算，可判定①②；结合圆的性质和函数的定义，可判定③；结合函数的性质，结合图象，可判定④. 【详解】由绕原点逆时针旋转的坐标变换为， 对于①，将变换公式代入方程，可得 ， 整理得，即，此时为反比例函数，所以①满足的性质； 对于②，将变换公式代入方程，可得 ， 整理得， 令，可得，解得或，不满足函数的定义， 所以②不满足的性质； 对于③，由方程，可得，其中， 整理得，其中， 这表示以为圆心，半径为的圆的上半部分， 旋转后，会出现一个对应两个，不满足函数的定义，所以③不满足的性质； 对于④，由方程，即， 此时函数是上的奇函数，且为单调递增函数， 如图所示，旋转后，会出现一个对应一个，满足函数的定义， 所以④满足的性质； 二、选择题（本大题共4题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，满分18分） 13. 抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线方程为的焦点坐标为. 14. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 【详解】圆 的圆心 ，半径， 圆 的圆心 ，半径， 而， 所以圆与圆内切. 15. 定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 16. 平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，作出所有垂直于轴并能够与相交的直线，记相交所得到的线段为.现将这些线段在竖直方向上下平移得到新的线段，并使的中点均在轴上，这种变换叫做平移对称法.对于、、直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移对称法的定义，分析图形中两条曲线和在区间上的距离变化规律. 【详解】原图形由两条曲线围成，下边界曲线，上边界曲线， 定义域为. 设垂直于轴的直线为，该直线与图形相交所得的线段的长度 等于上边界函数值减去下边界函数值： . 由此可知，线段长度是关于的一次函数， . 这说明原图形在竖直方向上的宽度随的增大而线性增加. 根据定义，变换后的线段是由平移得到的，因此其长度保持不变，仍为 . 由于的中点在轴上，这意味着变换后的图形关于轴对称， 设变换后的图形上边界为，下边界为，线段的长度为. 根据长度关系可得 ，则有. 同理，下边界为，因此选项A的图形符合题意，选项BCD的图形为曲线，不符合题意. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知函数的解析式为. （1）求函数的严格单调区间； （2）求函数在闭区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）严格递增区间为，严格递减区间为； （2）最大值与最小值分别为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式、即可. （2）由（1）的结论，利用单调性求出最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的严格递增区间为，严格递减区间为. 【小问2详解】 当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以函数在闭区间上的最大值与最小值分别为. 18. 已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点，且线段的长度为2.斜率为的直线过点且与双曲线交于、两点. （1）求双曲线的方程； （2）若、两点均在双曲线的左支上，求斜率的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，代入双曲线方程运算求解即可得； （2）由题意可知直线：，与双曲线方程联立，利用判别式结合韦达定理运算求解. 【小问1详解】 设，则， 由题意可知：， 将代入双曲线可得，即， 可得，且，可得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线：，设，， 联立方程，消去y可得 ， 则，解得， 所以斜率的取值范围为. 19. 已知太阳系中水星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，现将水星与太阳视作质点（忽略大小），如图所示建立平面直角坐标系，太阳在椭圆轨道的焦点处.资料显示，水星在点处离太阳最近，距离为46百万公里，在点处离太阳最远，距离为70百万公里.为水星某一时刻运行在轨道上的位置，将水星从远日点绕逆时针旋转到得到的角记为. （1）根据题干中的数据，计算水星绕太阳旋转轨道的离心率； （2）当时，求水星到太阳的距离.（单位：百万公里，精确到整数）. 【答案】（1）； （2）约为68百万公里. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可. （2）利用椭圆的定义及余弦定理，结合（1）中信息计算得解. 【小问1详解】 令水星绕太阳旋转的椭圆轨道长半轴长为，半焦距为， 依题意，，解得， 所以水星绕太阳旋转轨道的离心率. 【小问2详解】 令水星绕太阳旋转的椭圆轨道的另一个焦点为， 在中，，令，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 由（1）得， 所以水星到太阳的距离约为68百万公里. 20. 将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. （1）求抛物线的方程； （2）判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）是，定值为0； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，利用待定系数法求解. （2）由抛物线方程设出点坐标，利用斜率坐标公式列式求解. （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，设抛物线的方程为，由抛物线过点，得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）设点，由直线斜率为，得， 整理得，因此， 所以是定值，该定值为0. 【小问3详解】 依题意，直线的方程为，即， 由消去得，， ，，， 点到直线的距离， 则的面积， 令，则，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以面积的最大值为. 21. 已知函数，为坐标平面上不在图象上的一点.若过点至少可以作1条函数的切线，则称点具有性质，所作切线为的线. （1）若，判断点是否具有性质，并说明理由； （2）若，点具有性质，且的线不超过1条，求实数的取值； （3）若，对于所有满足的，证明：若点具有性质，则. 【答案】（1）否，理由见解析. （2）. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数与切线的关系求出切线的方程，判断切线的条数即可求解； （2）利用导数与切线的关系求出切线的方程，列出关于的方程，求解； （3）由于，对于所有满足的，通过构造函数求解. 【小问1详解】 设函数图象过点的切线切点为， 那么 ，方程无实数解，故点不具有性质. 【小问2详解】 设函数图象过点的切线切点为 ，，那么 ， 化简得 由于点具有性质，且的线不超过1条， 所以 , 解得 或， 据题意，点 不在函数图象上，所以，即，故舍去. 所以 【小问3详解】 设函数图象过点的切线切点为，，那么 ，化简，得 设，那么 令，得；令，得 所以，在处取得极小值，也是最小值 所以，由于 ， 所以，若点具有性质，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $