精品解析：上海市七宝中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

七宝中学高二期中考试数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 设等比数列的前项和，为正整数，若，，则__________． 2 若；则__________． 3. 某赛车启动时的位移（米）和时间（秒）的关系满足，则时赛车的瞬时速度是__________（米/秒）． 4. 已知（，2，…，2024），则数列中的最大项的值为__________．（用组合数表示） 5. 狂欢节期间，动漫社制作了各不相同原神海报和方舟海报各5张组成一套，凡买一杯奶茶可以选择从这一套海报中随机抽取4张，某原神粉丝参加抽奖，他从一套海报中抽到原神海报不少于两张的概率为__________． 6. 设表示在处的导数值，已知，则_________． 7. 已知数列满足，且，，则__________． 8. 已知等差数列的公差为d，首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，则d的取值范围是______． 9. 若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是__________． 10. 若直线为曲线的一条切线，则实数的值是__________． 11. 若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为__________． 12. 组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状态，例如，按将导致，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为__________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. 若函数在处导数为，则等于（ ） A B. C. D. 14. 无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 在量子力学中，研究微观粒子的概率模型与概率论中最经典的球盒模型有关，已知7种不同的巧克力放入5个相同的巧克力盒子中，每个盒子中至少有一个巧克力，五个盒子一起打包（不考虑打包顺序）成一个礼品包出售，则不同的礼品包种数是（ ） A. 245 B. 140 C. 2520 D. 10 16. 1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉准备第二天再分，夜里，1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一只桃子，然后将其5等分，藏起自己的一份就去睡觉了；过了一会第2只猴子爬起来，先吃掉一只桃子，也将桃子5等分，藏起自己的一份睡觉了，以后的3只猴子也照此办理，问最初有多少只桃子？最后剩下多少个桃子？”在李政道先生的这个问题中，下列说法错误的是（ ） A. 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则（，3，4，5） B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则（，2，3，4，5）为等比数列 C. 若最初有3121个桃子，则第五只猴子分得256个桃子（不含吃的） D. 若最初有个桃子，则必为的倍数． 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答下列各题必须写出必要的步骤）． 17. 富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以； （1）若，求关于方程的解； （2）将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明． 18. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多越漂亮，按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形． （1）求的值； （2）求出的表达式． 19. 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． （1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； （2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）． 20. 已知（，，，为常数）和点，直线为函数在处的切线方程． （1）若，，求函数的极值； （2）若，，，试证明：当时，过点可以作3条不同的直线与相切； （3）上是否存在两个不