精品解析：广东陆丰市2025-2026学年高一下学期期中教学质量监测数学试卷

2025-2026学年度第二学期期中教学质量监测 高一数学 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 只需要把图象上（ ），即可得到的图象. A. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 7. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或没选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若与是两个单位向量，则 B. 若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同 C. 若，则与可以作为基底 D. 若，且与同向，则 10. 水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，点到水面的距离的最大值为2 11. 已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 不等式的解集为 D. 令，则方程在上有个解，且 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，则 ______ ． 13. 请写出一个周期为2的函数：__________. 14. 如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若，求的值及的模； （2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 16. 已知，且，（提示：.）求： （1）的值； （2）的值. 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间和对称中心； （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 18. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当时，求的值域； （3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中教学质量监测 高一数学 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可得答案. 【详解】. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量减法运算求解. 【详解】. 3. 只需要把图象上（ ），即可得到的图象. A. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B. 各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D. 各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解. 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 4. 下列函数中，是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，即对于函数，若满足，则为奇函数，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数，A错误. 选项B：设，定义域为，关于原点对称， ， 且，为非奇非偶函数， B错误. 选项C：设，定义域为，关于原点对称， ，是偶函数， C错误. 选项D：设，定义域为，关于原点对称， ，是奇函数， D正确. 5. 在中，点在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可； 法二：取中点，根据向量的运算法则，先用、表示，再用、表示，整理化简即可. 【详解】（法一）根据题意，因为，根据平面向量的运算法则，可得. （法二）取中点，由题意可知，为中点，如图， 则. 6. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答. 【详解】由得：，即，而是第四象限角， 则有，， 所以. 故选：A 7. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 8. 已知函数，当时，取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用辅助角公式确定中φ的三角函数值，再由求出θ，进而得到，最后用降幂公式（或平方差公式）计算的值. 【详解】由辅助角公式：，其中， ，则， ，同理，， 法一： . 法二：， . 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或没选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若与是两个单位向量，则 B. 若是非零向量，为非零实数，则与的方向相同 C. 若，则与可以作为基底 D. 若，且与同向，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的实际背景及基本概念，依次判断各项正误. 【详解】对于A，方向不确定，错误； 对于B，由于，故，正确； 对于C，由于不存在实数满足，即与不共线，故可以作为基底，正确； 对于D，向量不能比较大小，错误. 10. 水车在古代是灌溉引水的重要工具，是人类的一项古老的智慧发明，也是人类利用自然和改造自然的美好象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从水平面与水斗的交点处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且10秒后水斗第一次旋转到最高点位置，设经过秒后，水斗旋转到点，设，其纵坐标近似满足关系式，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 当时，点到水面的距离的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，先求得水车的半径和周期，进而可求得，得到解析式，再根据三角函数的性质，逐项判断即可. 【详解】由题意，，且，则， 由于从处出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转， 10秒后水斗第一次旋转到最高点位置， 此时转过的角度为，因此转动一周需要30秒，所以， 所以，则， 将代入中， 可得，故， 则，故， 又，所以，因此，故A正确，B错误； 因为，则， 则，所以， 则为水车直径，所以，故C正确； 当时，，， 则， 所以点到轴的距离的最大值为1， 所以点到水面的距离的最大值为2，故D正确. 11. 已知函数的其中一个单调递增区间为，则下列正确的是（ ） A. B. 点是函数的一个对称中心 C. 不等式的解集为 D. 令，则方程在上有个解，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单调递增区间求出最小正周期，再利用周期公式求出，判断选项A；利用正切函数对称中心的性质判断选项B；利用正切函数的单调性判断选项C；根据的性质和图像，结合已知条件，判断选项D． 【详解】选项A：函数其中一个单调递增区间为， 该函数的最小正周期，依题意，，则，故A正确； 选项B：因正切函数的对称中心满足，解得， 当时，，即是对称中心，故B正确； 选项C：，即，， 解得，故C错误； 选项D：因函数和的图象均关于对称， 如图，两函数图象共个交点且两两关于对称， ． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以． 故答案为：． 13. 请写出一个周期为2的函数：__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的周期性进行填写. 【详解】是周期为的周期函数， 所以可取（答案不唯一）. 14. 如图所示，在中，为上一点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先利用线段比例关系，将用表示，再结合在上的三点共线条件，推导出的关系，再通过均值不等式求最小值，并验证等号成立的条件，最后求出最值即可. 【详解】由可得， 由得， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）若，求的值及的模； （2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得与垂直. 【答案】（1）， （2）不存在 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标运算求得，进而利用向量的坐标运算求得，进而求模即可； （2）结合（1）利用向量的坐标运算求得的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得的值. 【小问1详解】 由， 则，得. 即，所以， 所以； 【小问2详解】 在（1）的条件下可知： ， 与垂直，所以， 解得， 但时，为零向量， 又因为零向量与任意向量均平行，所以与不垂直， 所以不存在实数使得与垂直. 16. 已知，且，（提示：.）求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将配凑为，利用两角和的正弦公式进行计算； （2）将配凑为，利用两角差的余弦公式求出，再结合的取值范围，确定的值. 【小问1详解】 ，又， . 【小问2详解】 由题意得 ， 又，所以. 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间和对称中心； （3）若时，函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，即可得到解析式，从而利用正弦型函数最小正周期公式求解即可； （2）利用正弦函数的单调区间，结合整体法可求得到结果； （3）将函数零点转化为函数图像交点，数形结合即可求解. 【小问1详解】 . ∴函数的最小正周期. 【小问2详解】 令， 解得， 的单调递减区间为， 令，解得， ∴函数的对称中心为. 【小问3详解】 ，令. ∵函数有三个零点， 有三个解，即的函数图象与有三个交点， 与有三个交点， 图象如图所示： 在单调递增､在单调递减､在单调递增， 当时，时， 当时，时， 的取值范围为 18. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 （1）请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】（1） （2）①16个小时；②23时 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【小问1详解】 以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． 【小问2详解】 ①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当时，求的值域； （3）已知为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式将函数化为，可得相伴特征向量； （2）根据相伴特征向量可得函数，然后根据正弦函数性质可解； （3）根据相伴特征向量结合已知先求得，然后结合图象取特殊点验证可得. 【小问1详解】 由题意可的，，所以的伴随特征向量. 【小问2详解】 向量的伴随函数为， 所以， ， ，即， 的值域为. 【小问3详解】 由为的伴随特征向量知：， 所以. 设， ， 当时，，满足. 在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $