精品解析：重庆实验外国语学校2026年九年级第二次模拟考试数学试卷

重庆实验外国语学校2025-2026学年度下期初三数学作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 与的和为0的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 在下列巴渝青铜纹样平面示意图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查一批共享电动车的质量情况 B. 调查市区电动车骑行出行人数情况 C. 调查网红机车爱好者骑行喜好情况 D. 调查本班同学上下学选择交通工具情况 4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点、都在同一个反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 7. 随着人形机器人成为科技圈热门话题，某数码专营店销售一款家用陪伴人形机器人，2月的销售额为48000元，4月的销售额为243000元，则2月到4月该款人形机器人销售额的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 下列图形都是由同样大小的☆按一定的规律组成，其中第①个图形共有2个☆，第②个图形共有5个☆，第③个图形共有10个☆，第④个图形共有17个☆，…，依此规律，则第⑨个图形中☆的个数为（ ） A. 81 B. 82 C. 92 D. 101 9. 如图，在正方形右侧有一点E，连接分别交于点F、G．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，…，均为整数，和n为正整数，且，．下列说法： ①存在满足题意的一次二项式M； ②当且时，； ③若，则当且时，满足条件的所有整式M有且仅有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 某值周班打算从4个男生和6个女生中任选一人担任主持人．则选出来的同学恰好为女生的概率是________． 12. 如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 13. 若m为正整数，且满足，则________． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为________． 15. 如图，在中，为直径，延长至点C，过点C作的切线，切点为E，交延长线于点B，同时交于点G，连接，若，，则的长度为________． 16. 一个四位数，各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足，则称这个四位数为“发发数”．例如：四位数2536，因为，所以2536是“发发数”．按照这个规定，最小的“发发数”是________；一个“发发数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的N的值是________． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为________， ∴其整数解为________． 18. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某学校设有A、B两个食堂，为了更好收集同学们的意见、了解他们的用餐体验感受，食堂管理人员设计了满分为100分的调查问卷．管理人员分别从A、B食堂的就餐学生中各随机抽取了20名同学进行问卷调查，并对结果进行整理、描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意：，比较满意，满意．很满意），下面给出了部分信息： 20名A食堂就餐同学的问卷结果：68，75，81，84，85，86，86，87，87，88，88，90，90，90，91；92，96，98；98，100． 20名B食堂就餐同学中“满意”等级包含的所有数据为：86，87，88，88，88，88，88，89，89，89，89． 抽取的A、B食堂就餐同学调查问卷结果统计表 调查问卷结果 平均数 中位数 众数 A食堂 88 a b B食堂 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次调查中，哪个食堂的评价较好？请说明理由（说明一条理由即可） （3）某一天A、B食堂就餐同学大约分别为2000人和1500人，请你估计当天对两个食堂的满意度为“很满意”的同学人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 为迎接“五一”劳动节，某大型商超推出“国家补贴惠民”促销活动，采购了一批恒温水壶和蓝牙耳机作为主推商品．若按原价购进3个恒温水壶和2副蓝牙耳机需支付340元；若按商超会员卡以全场八折购进5个恒温水壶和4副蓝牙耳机需支付480元． （1）求每个恒温水壶和每副蓝牙耳机的原价分别是多少元？ （2）“国家补贴惠民”政策实施后，恒温水壶和蓝牙耳机均在原价基础上享受直降补贴，蓝牙耳机每副直降补贴金额是恒温水壶每个直降补贴金额的一半，现用980元购进恒温水壶的数量恰好是用315元购进蓝牙耳机数量的2倍，求每个恒温水壶直降补贴的金额． 22. 如图1，在边长为4的正方形中，连接，延长至点E使，连接，动点P从点B出发，沿方向运动，到点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设P点的运动路程为x（点P不与点B、点D重合），记线段的长度为，记线段的长度与P点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 23. 如图，在海平面上有一处国家海鱼养殖基地，基地设有三个岗哨A、B、C；已知岗哨A在岗哨B的北偏西方向60海里处，岗哨C在岗哨A的正东方向，且岗哨B在岗哨C的南偏西方向．现有一小岛D在岗哨A的东北方向，且在岗哨C的北偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求小岛D到岗哨C的距离．（结果保留根号） （2）有一艘偷鱼船从小岛D出发，沿方向匀速行驶，同时，一艘巡逻船从岗哨C沿方向开始匀速行驶去监察偷鱼船，若偷鱼船与巡逻船的速度比为，当巡逻船与偷鱼船的距离第一次达到40海里时求此时偷鱼船离小岛D的距离是多少？（结果精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，其中． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交y轴于点E．点M、N是抛物线对称轴上的两个动点（M在下方），，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点A的对应点为，点C的对应点为，连接，点H为线段的中点．点Q为新抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点D为中点，点E、F是直线上的两个动点，点F在点E的左侧，连接、． （1）如图1，若点D与点E重合，，，，求的长； （2）如图2，当点E在线段上时，延长至点G，连接，使得，，连接并延长交于点H，若，试猜想线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，点H是下方一点，连接，，，点G是射线上的动点，点E是射线上的动点，使得，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，在左侧取点N，连接、，使得，在射线上有点P，使得，连接，请直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校2025-2026学年度下期初三数学作业 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 与的和为0的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的定义，一个数与的和为0，则该数是的相反数． 【详解】解：∵ 两数之和为0时，两数互为相反数， ∴ 与的和为0的数是． 故选：A． 2. 在下列巴渝青铜纹样平面示意图中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，符合题意； D.是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查一批共享电动车的质量情况 B. 调查市区电动车骑行出行人数情况 C. 调查网红机车爱好者骑行喜好情况 D. 调查本班同学上下学选择交通工具情况 【答案】D 【解析】 【分析】根据普查的适用条件：调查范围小、易操作、无破坏性，逐一判断选项即可. 【详解】解： A项调查共享电动车质量具有破坏性，不适合普查； B项调查市区骑行人数范围广、数量大，不适合普查； C项网红机车爱好者人数多、范围大，不适合普查； D项本班同学人数少，范围小，便于全面统计，符合普查的条件. 4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A选项，根据积的乘方运算法则，可得，变形正确，符合题意； B选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； C选项，，原变形遗漏了项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意； D选项，当，时，左边，右边，，变形错误，不符合题意． 5. 如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是的直径可得，由得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 若点、都在同一个反比例函数的图象上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数即可求解． 【详解】设反比例函数的解析式为()． 点，都在该反比例函数图象上， ∴ ， ， ∴ ． 7. 随着人形机器人成为科技圈热门话题，某数码专营店销售一款家用陪伴人形机器人，2月的销售额为48000元，4月的销售额为243000元，则2月到4月该款人形机器人销售额的月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据增长率问题的基本公式，设出月平均增长率，列方程求解即可得到结果． 【详解】解：设该款机器人销售额的月平均增长率为， 根据题意得， 解得（舍去）或， 即月平均增长率为． 8. 下列图形都是由同样大小的☆按一定的规律组成，其中第①个图形共有2个☆，第②个图形共有5个☆，第③个图形共有10个☆，第④个图形共有17个☆，…，依此规律，则第⑨个图形中☆的个数为（ ） A. 81 B. 82 C. 92 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意找出其中的规律，即可求出第⑨个图形中五角星的个数． 【详解】解：第①个图形一共有个五角星， 第②个图形一共有：个五角星， 第③个图形一共有个五角星， …， 第n个图形一共有：个五角星； 则第⑨个图形一共有：个五角星． 9. 如图，在正方形右侧有一点E，连接分别交于点F、G．若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接．由，可证A，C，E，D四点共圆，从而，利用勾股定理求出，设，则，证明求出，根据求出，再证明，求出，求出，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∵， ∴， ∴A，C，E，D四点共圆， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 已知整式，其中，，，…，均为整数，和n为正整数，且，．下列说法： ①存在满足题意的一次二项式M； ②当且时，； ③若，则当且时，满足条件的所有整式M有且仅有16个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】逐个判断三个说法，根据题目条件结合整数性质分析计数，判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①若存在一次二项式M，则，为正整数，为非零整数， ∵ ，且，均为整数， ∴， 是正整数， ∴，则，不满足条件，故①错误； ②当时，则，， ∴可能的值为，， 当时， ， ，，满足条件， ∴，解为， 当时， ， ，，满足条件， ∴，解为，故②错误； ③当且时，得， 由分情况计数： （i）当时： ，是正整数，无符合条件的M，共0个； （ii）当时：满足 ， ，， ∴仅符合，共1个； （iii）当时：满足， ， ，， 当时，， ∴满足条件的值为，共10个， 当时，， ∴满足条件的值为，共4个， ∴通过枚举得，共有13个符合条件的整式M， 综上所述，总个数为，故③错误， ∴正确的个数是0． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 某值周班打算从4个男生和6个女生中任选一人担任主持人．则选出来的同学恰好为女生的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】从4个男生和6个女生中任选一人共有10种等可能的结果，其中选中女生有6种等可能的结果，所以P（选出来的同学恰好为女生）=． 12. 如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 13. 若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】先估算无理数的取值范围，再根据不等式的性质推导 的范围，结合已知不等式求解正整数． 【详解】解：因为 ，， 所以 ， 不等式三边同乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式三边同减，得 ， 因为为正整数，且满足 ， 所以 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质得，，可变形为，得到，分类讨论求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，得：， ∴， ∴可变形为， ∴， ∵，故可分两种情况讨论： ①当时， 解得：， ∴ ； ②当时，， 得：，此种情况不存在； ∴，， ∴． 15. 如图，在中，为直径，延长至点C，过点C作的切线，切点为E，交延长线于点B，同时交于点G，连接，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由是的切线，可得，则，则，则在中，可得，可得，在中，可得，在中，可得，，可得，在中即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，，则 ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，，则 ， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 16. 一个四位数，各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足，则称这个四位数为“发发数”．例如：四位数2536，因为，所以2536是“发发数”．按照这个规定，最小的“发发数”是________；一个“发发数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的N的值是________． 【答案】 ①. 1267 ②. 5713 【解析】 【分析】先根据“发发数”定义，按高位尽量小的原则求出最小发发数；再利用，用a、b表示c、d，进而表示出与，化简、；再对两个分式分别整式分离，根据整数性质得到两个代数式能被7整除；结合数位数字不为确定取值范围，利用整除性质求出a、b，最后验证数字互不相同且不为0，求出符合条件的四位数． 【详解】解：设四位数， 由“发发数”定义可知：，且数位上的数字互不相同、均不为0． 要找最小的四位数，高位数字越小，整个数越小， 又数位数字不为0， 千位上的取最小非零值1，则， 百位上数字b取剩余数字中最小且不等于1、7的数2，则， 最小的“发发数”是1267． ，各数位上的数字不为0， ，， 可得，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与均是整数， 且、都是整数， 与均为整数， 即能被7整除，能被7整除． 根据整除性质：两个能被同一个数整除的代数式相加，和仍能被该数整除． 两式相加：， 能被整除． ， ， 能被7整除 将拆为，得： 一定是的倍数（为整数） 要使能被整除，只需能被整除 ，即 在3到9范围内，能被整除的数只有， ，解得 将代入得：， ， ， 此范围内能被7整除的数为0、7， 当时，b不是整数，舍去； 当时，解得，符合题意． ，， 四个数字为5、7、1、3，互不相同且均不为0，满足“发发数”全部条件． 满足条件的N的值是5713． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为________， ∴其整数解为________． 【答案】，，数轴见解析，， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集，再找出其中的整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： ∴不等式组的解集为， ∴其整数解为． 18. 已知四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【答案】（1）作图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线交于点E，在上截取，连接，如图所示： 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴①． ∵平分， ， ∴②，， 又， ∴③． 又∵④， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某学校设有A、B两个食堂，为了更好收集同学们的意见、了解他们的用餐体验感受，食堂管理人员设计了满分为100分的调查问卷．管理人员分别从A、B食堂的就餐学生中各随机抽取了20名同学进行问卷调查，并对结果进行整理、描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意：，比较满意，满意．很满意），下面给出了部分信息： 20名A食堂就餐同学的问卷结果：68，75，81，84，85，86，86，87，87，88，88，90，90，90，91；92，96，98；98，100． 20名B食堂就餐同学中“满意”等级包含的所有数据为：86，87，88，88，88，88，88，89，89，89，89． 抽取的A、B食堂就餐同学调查问卷结果统计表 调查问卷结果 平均数 中位数 众数 A食堂 88 a b B食堂 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次调查中，哪个食堂的评价较好？请说明理由（说明一条理由即可） （3）某一天A、B食堂就餐同学大约分别为2000人和1500人，请你估计当天对两个食堂的满意度为“很满意”的同学人数． 【答案】（1）88；90；30 （2）A食堂的评价较好；理由见解析（答案不唯一） （3）1350人 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义求出a的值，根据众数的定义求出b的值，根据中位数先确定调查结果中小于80的有个，再确定很满意的有6个，最后求出百分数即可； （2）根据题目中数据进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：将20名A食堂就餐同学的问卷结果从小到大进行排序，排在第10和第11的得分都是88分，因此； 20名A食堂就餐同学的问卷结果中90出现的次数最多，因此众数； ∵20名B食堂就餐同学的问卷结果的中位数是， 又∵20名B食堂就餐同学中“满意”等级包含的所有数据为：86，87，88，88，88，88，88，89，89，89，89， ∴将20名B食堂就餐同学的问卷结果从小到大进行排序，排在第10位的是88，第11位的是89， ∴小于等于88的有10个， ∵“满意”等级中小于等于88的有7个， ∴调查结果中小于80的有个， ∴“很满意”等级中有个， ∴“很满意”等级所占百分比为， 即． 【小问2详解】 解：此次调查中，A食堂的评价较好； 理由：在20名A食堂就餐同学的问卷中，满意度为“满意”和“很满意”的为18人，所占调查总人数的百分比为：， 在20名B食堂就餐同学的问卷中，满意度为“满意”和“很满意”的为17人，所占调查总人数的百分比为：， ∵， ∴A食堂的评价较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：当天对两个食堂的满意度为“很满意”的同学人数为1350人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】原式先计算括号内的通分，再把除法转换为乘法，进行约分，同时根据单项式乘以多项式、完全平方公式将括号展开，再合并得最简结果，求出的值代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式． 21. 为迎接“五一”劳动节，某大型商超推出“国家补贴惠民”促销活动，采购了一批恒温水壶和蓝牙耳机作为主推商品．若按原价购进3个恒温水壶和2副蓝牙耳机需支付340元；若按商超会员卡以全场八折购进5个恒温水壶和4副蓝牙耳机需支付480元． （1）求每个恒温水壶和每副蓝牙耳机的原价分别是多少元？ （2）“国家补贴惠民”政策实施后，恒温水壶和蓝牙耳机均在原价基础上享受直降补贴，蓝牙耳机每副直降补贴金额是恒温水壶每个直降补贴金额的一半，现用980元购进恒温水壶的数量恰好是用315元购进蓝牙耳机数量的2倍，求每个恒温水壶直降补贴的金额． 【答案】（1）每个恒温水壶原价为80元，每副蓝牙耳机原价为50元 （2）每个恒温水壶直降补贴的金额为10元 【解析】 【分析】（1）设每个恒温水壶原价为元，每副蓝牙耳机原价为元，根据“按原价购进3个恒温水壶和2副蓝牙耳机需支付340元；若按商超会员卡以全场八折购进5个恒温水壶和4副蓝牙耳机需支付480元”列出二元一次方程组, 求解即可得到原价； （2）设每个恒温水壶直降补贴的金额为元，则每副蓝牙耳机直降补贴的金额为元，根据购买数量的倍数关系列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【小问1详解】 解：设每个恒温水壶原价为元，每副蓝牙耳机原价为元，根据题意得： ， 解得， 答：每个恒温水壶原价为80元，每副蓝牙耳机原价为50元； 【小问2详解】 解：设每个恒温水壶直降补贴的金额为元，则每副蓝牙耳机直降补贴的金额为元，根据题意得： 解得， 检验：当时， ， ， 所以是原分式方程的解, 符合题意， 答：每个恒温水壶直降补贴的金额为10元． 22. 如图1，在边长为4的正方形中，连接，延长至点E使，连接，动点P从点B出发，沿方向运动，到点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设P点的运动路程为x（点P不与点B、点D重合），记线段的长度为，记线段的长度与P点的运动路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）请结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）画图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；在时随x的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分点P在上和点P在上讨论，根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）根据函数解析式绘制函数图象，并分析其性质． （3）结合函数图象确定时x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵正方形是正方形， ∴，， 又， ∴，， 当点P在上时，即，此时， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当点P在上时，，此时， 过C作交于F， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 综上，； 根据题意，得； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 性质：当时，随x的增大而增大；在时随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的x的取值范围，大致为或． 23. 如图，在海平面上有一处国家海鱼养殖基地，基地设有三个岗哨A、B、C；已知岗哨A在岗哨B的北偏西方向60海里处，岗哨C在岗哨A的正东方向，且岗哨B在岗哨C的南偏西方向．现有一小岛D在岗哨A的东北方向，且在岗哨C的北偏西方向．（参考数据：，，，） （1）求小岛D到岗哨C的距离．（结果保留根号） （2）有一艘偷鱼船从小岛D出发，沿方向匀速行驶，同时，一艘巡逻船从岗哨C沿方向开始匀速行驶去监察偷鱼船，若偷鱼船与巡逻船的速度比为，当巡逻船与偷鱼船的距离第一次达到40海里时求此时偷鱼船离小岛D的距离是多少？（结果精确到0.1） 【答案】（1）海里，见详解 （2）9.9 海里，见详解 【解析】 【分析】（1）首先根据条件中的方位角得出和中各内角的度数，然后在中，通过作高，把问题转化为解直角三角形求解即可； （2）根据已知条件设未知数，把各实际意义的量转化为线段的长度，然后借助图形，利用解直角三角形的知识列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作于点E，过点B作于点H， 由题意可知，岗哨C在岗哨A的正东方向，即． 岗哨A在岗哨B的北偏西方向，则． 岗哨B在岗哨C的南偏西方向，则 ． ， 是等边三角形， 海里． 在的东北方向，则， 在的北偏西 ，则， ． 在中，海里，， 则（海里）． 在中，海里，， 则（海里）． 小岛到岗哨的距离为海里； 【小问2详解】 解：设巡逻船从向行驶了海里，则偷鱼船从向行驶了海里， 如图2，此时巡逻船位置记为，则 ，． 偷鱼船位置记为 ，则 ． 连接，过点作于． 在 中，，， 则， ． 在 中，， 由勾股定理得，即 解得，或， 当巡逻船与偷鱼船第一次达到40海里的距离时， 值应取 ， 此时． 所以偷鱼船离小岛约 9.9 海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．熟悉解三角形问题的一般步骤，掌握常见题型的解题方法，能根据问题特征构造恰当的辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，其中． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交y轴于点E．点M、N是抛物线对称轴上的两个动点（M在下方），，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点A的对应点为，点C的对应点为，连接，点H为线段的中点．点Q为新抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点的坐标为 ， 的最小值为 （3）或，过程见详解 【解析】 【分析】（1）利用对称轴和点A的坐标列方程组求解即可； （2）首先结合已知条件，把求转化为更容易表示的两条线段的和，然后求出这两条线段的和与点P的横坐标之间的函数关系式，再利用函数的性质即可确定点P的坐标；通过平移点P，把问题转化为“将军饮马”问题求解即可； （3）首先确定平移后新抛物线的表达式，然后求出这两个固定角的正切值，进而确定出的正切值，最后设出点Q的坐标，结合的正切值即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线，， ， 解得， ∴ 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图 1，过点作轴垂线，分别交轴、对称轴于，， 、两点关于对称轴对称， 的坐标为． 当时，， 点坐标为， 为等腰直角三角形， ． 轴， 轴， ． 在中，． 在中，，， 则，． ， ， ． 在中，， ． 设直线的表达式为， 根据题意得， 解得， 直线的表达式为 ． 设点， 把代入得， ， ． ， 当时，最大，此时点的坐标为． 如图 2，过点作轴，且，连接， 则四边形为平行四边形，， ， 当、、在同一条直线上时，最小． 如图 3，过作轴于，由条件易知坐标为， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 的最小值为； 【小问3详解】 解：的横坐标为或，理由如下， 平移前抛物线的表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 抛物线向右平移了3个单位，向下平移了6个单位， 平移后抛物线的表达式 ， 如图4，由条件可知平移后，的位置如图所示，其中与重合，坐标为． 是的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为，则 解得， 延长交轴于，过点作，交的延长线于。由条件易知的坐标为． 在等腰直角三角形中，，则． 在等腰直角三角形中，， 则． 在中，，， 则． 在中，，， 则． 由条件已知，按如图5所示的方式构造图形， 其中，，则易知，各边的长度如图所示，则． 根据题意，设坐标为，分情况讨论： ① 如图4，当点在轴下方时，过作轴于． 在中，，， 则， 解得（不合题意，舍去），或； ② 如图6，当点在轴上方时，过作轴于． 在中，，， 则， 解得（不合题意，舍去），或， 综上可知点的横坐标为或． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形以及几何最值等.在复杂的图形中能够准确识别一些基本题型，如将军饮马问题常见的类型及其解法；能够熟练地运用数形结合寻找问题的切入点是解决问题的关键． 25. 在中，，点D为中点，点E、F是直线上的两个动点，点F在点E的左侧，连接、． （1）如图1，若点D与点E重合，，，，求的长； （2）如图2，当点E在线段上时，延长至点G，连接，使得，，连接并延长交于点H，若，试猜想线段与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，点H是下方一点，连接，，，点G是射线上的动点，点E是射线上的动点，使得，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，在左侧取点N，连接、，使得，在射线上有点P，使得，连接，请直接写出的最大值． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交于，根据斜边中线定理可推得是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可； （2）在上截取，连接，构造，从而推得，根据条件进行角度计算可得，，延长至点使得，连接，可得，从而证得，即可得证； （3）在上找一点使得，连接得到直线，则构造了，从而可以确定在直线上运动，当取最小值时，，在以为直径的圆上运动，利用锐角三角函数计算可得，，过点作交直线于点，构造，从而得到，且可以确定则点在以为直径的圆上，当，，共线时可以找到最大值，根据勾股定理即可计算． 【小问1详解】 解：过点作交于， ∵，点D为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 延长至点使得，连接，在上截取，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 解：∵，点D为中点， ∴， ∵， ∴，， 如图，在上找一点使得，过作直线，得到直线， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则在直线上运动，当取最小值时，， ∵， ∴在以为直径的圆上运动，，， 过点作交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 则点在以为直径的圆上，如图连接并延长与交于，此时为的最大值，过作垂足为， ∵，， ∴，， ∴， 则， 在中，， 则． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，能够灵活使用全等三角形判定定理，构建圆寻找最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $