辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高一下学期第一周周考数学试卷

2025-2026高一下学期周测 1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于     A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.下列函数的最小正周期为的是(    ) A. B. C. D. 3.若，则(    ) A.   B.   C.   D.   4.已知A，B是的内角，“为锐角三角形“是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.已知，且满足，则(    ) A. B. C. D. 8.已知向量满足，，，则(    ) A. B. 1 C. D. 2 9.下列说法中正确的是(    ) A. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 若，则有两组解 C. 若平面向量满足，则 D. 在中，若 10.已知向量，，，则(    ) A. 在上的投影数量是 B. 在上的投影向量是 C. 与夹角的正弦值是 D. 11.已知函数，则下列结论正确的有(    ) A. 当时，直线是曲线的一条对称轴 B. 若，且，则 C. 若在上恰有5个零点，则的取值范围为 D. 存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数 12.设，，，则有           13.已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为m、n，则的值是        . 14.已知复数，，并且，则的取值范围是           15.已知复数，其中i是虚数单位， 若z是纯虚数，求； 当时，求 16. 求值：； 已知，，且，求的值. 17. 已知函数的图像关于点中心对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 若时，恒成立，求实数m的取值范围； 将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数t的取值范围. 18. 已知向量，函数， 若，求的值； 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，当B取最大值时，，面积为，求的值． 19.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． Ⅰ设函数，试求的伴随向量； Ⅱ记向量的伴随函数为，求当且时的值； Ⅲ由Ⅰ中函数的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 可得复数的共轭复数为，即可得解. 【解答】 解：复数， 则复数的共轭复数为， 在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为， 故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于在第四象限． 故选 2.【答案】A  【解析】解：对于A，，； 对于B，函数的周期为，的周期为； 对于C，的周期为； 对于D，的周期 最小正周期为的是 故选： 由三角函数的周期公式逐一求得周期得答案． 本题三角函数周期的求法，考查三角函数的周期性，是基础题． 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】 解：， ， 则 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查充分不必要条件的判断，属于中档题． 先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立． 【解答】 解：因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单调递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立． 故选： 5.【答案】A  【解析】解：由函数，令，，解得，， 所以该函数的对称中心为，， 因为点是函数的对称中心，且，所以，， 当时，a取得最小值，其最小值为， 所以实数a的最小值为 故选： 根据题意，利用正切函数的图象与性质，求得函数的对称中心，进而求得a的最小值． 本题主要考查正切函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题． 6.【答案】D  【解析】解：因为，所以， 又因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， ， ， 因为， 所以 故选： 由条件得，两边平方后计算可得，再由向量的夹角公式计算即可． 本题考查平面向量的数量积与夹角，属于中档题． 7.【答案】B  【解析】解：因为， 且， 所以…①， …②， ①②组成方程组，解得， 所以 ， 由，可得， 结合，可知， 所以， 可得 故选： 根据诱导公式、两角和与差的正弦公式化简，得到关于、的方程组，解出这两个量，可求出，然后利用同角三角函数的关系求出，结合，利用两角和的正弦公式求解，可得的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 8.【答案】B  【解析】解：， 则，即，解得， ， 则， 故选： 根据已知条件，先求出，再将平方，并开方，即可求解． 本题主要考查平面向量的数量积及其运算，属于基础题． 9.【答案】BD  【解析】解：对于A，由向量，且与的夹角为锐角， 则且向量与不共线， 由，解得， 设，即， 可得，解得， 则向量与的夹角为锐角时，实数，故A错误； 对于B，由， 由正弦定理，可得， 因，且，则或，故三角形有两解，即B正确； 对于C，若取为零向量，显然满足，可得，可得，但不能确定关系，故C错误； 对于D，因等价于，由正弦定理，可得，反之也成立， 即在中，必有，故D正确． 故选： 对于A，利用向量的数量积定义，由题设列出不等式组，求解即得；对于B，利用正弦定理和三角形边角关系即可判断；对于C，通过举反例即可排除；对于D，利用三角形边角关系和正弦定理即可推理得到． 本题考查正弦定理的应用，向量的运算性质的应用，属于中档题． 10.【答案】AD  【解析】解：因为，，， 所以，， 即，所以， 对于A，在上的投影数量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B错误； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确． 故选： 由平面向量的数量积运算计算可得，由投影向量计算可判断A，B；由夹角求法可判断C；由数量积运算计算可判断 本题考查平面向量的数量积与夹角，涉及投影向量，向量垂直等，属于中档题． 11.【答案】BC  【解析】解：， 对于A，当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，由题意知，，所以，又，所以，故B正确； 对于C，当时，，令， 则，因为在上恰有5个零点，所以解得故C正确． 对于D，向左平移个单位长度后，得到， 若为偶函数，则，，解得，，与矛盾，故D错误． 故选： 结合二倍角公式，辅助角公式对已知函数解析式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可求解． 本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】【分析】 由三角函数恒等变换化简可得，，根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小． 本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查． 【解答】 解：， ， ， 即有：， 故选： 13.【答案】2  【解析】解：取平面上一点O为原点，取三点A，B，C，使得， 则可以写成， 即，所以，故点C的轨迹是以线段AB为直径的圆， 由， 可得该圆的直径为， 半径，因为，所以O在圆外，设圆心到原点的距离为d， 则点C到原点的距离也即的最大值和最小值分别是和， 所以 故答案为： 将向量与平面中的点对应，得到点C的轨迹是以线段AB为直径的圆，并说明O在圆外，然后利用圆上一点到圆外一点的距离最值即可得到 本题主要考查向量的数量积，考查计算能力，属于中档题． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了复数的运算，以及三角函数的性质，属于中档题. 由复数相等的条件得，利用二次函数的性质求解. 【解答】 解：由，得，， 得 ， 当时， 有最小值， 当时， 有最大值7， 得 故选 【分析】 本题主要考查了复数的运算，以及三角函数的性质，属于较难题. 由复数相等的条件得，利用二次函数和正弦函数的性质求解. 【解答】 解：由，得，， 得 ， 当时， 有最小值， 当时， 有最大值7，得 故选 15.【答案】解：是纯虚数， ，解得 ，则； 当时，， ， 则  【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题． 由复数z的实部为0且虚部不为0求解a值，再由虚数单位i的运算性质得答案； 先求时的z值，代入，整理后利用商的模等于模的商求解． 16.【答案】   【解析】解： ； ，且， ， 又且， 根据诱导公式化简计算求解； 根据，结合同角三角函数基本关系、两角和正弦公式计算求解． 本题主要考查了诱导公式的应用，和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题． 17.【答案】   【解析】解：函数且图象上相邻两个最高点的距离为，即函数的最小正周期为， 则，又关于点中心对称，， 则，， 而，所以，， 当时，，当，即时，取得最小值1， 要使恒成立， 则m的取值范围是 由题意，函数， 因为，所以， 要使函数有且仅有4个零点，则， 解得，所以t的取值范围是 由题意求出周期可得，再由对称中心求出，根据正弦型三角函数的性质求最小值即可得解； 根据函数图象的变换求出解析式，由正弦型函数的性质及所给条件列出不等式，求参数的取值范围即可． 本题主要考查了三角函数性质的综合应用，还考查了由函数零点个数求解参数范围，属于中档题． 18.【答案】解：向量， 则：函数， ， ， ， 由于：， 则：， 由于：， 解得：， ， ， ， 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c， 且满足， 整理得：， 整理得：， 所以：， 当时，，面积为， 则：， 解得：， 利用余弦定理得：， 解得： 所以：  【解析】首先利用向量数量积的坐标运算把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用角的恒等变换求出结果． 利用余弦定理对关系式进行变换求出B的范围，再利用三角形的面积公式和正弦定理，求出结果． 本题考查的知识点：向量数量积的坐标运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，角的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型． 19.【答案】解：Ⅰ，故； Ⅱ由题意得：， 故， 由于，所以， 所以， 所以； Ⅲ， 所以，假设存在点，使得， 则， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于，此时， 故在函数的图象上存在点，使得  【解析】Ⅰ利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量； Ⅱ根据向量得到，利用利用凑角法得到； Ⅲ先求出，再设出P点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当时，和同时等于，此时 本题考查了三角函数的图象与性质，属于较难题目． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $