以数列为命题场景的交汇问题 课件-2027届高三数学一轮复习

以数列为命题场景的交汇问题 1 【例1】　(2026·昆明模拟)已知等差数列{an},公差为d,a1≠0,前n项和为Sn,记集合M={k|ak=Sk},若M中有2个元素,则a1,d的关系可以为(　　) A.2a1+3d=0 B.2a1-3d=0 C.3a1+2d=0 D.3a1-2d=0 视角一 数列与集合 由ak=Sk,得a1+(k-1)d=ka1+d,则(k-1)[2a1+(k-2)d]=0,由M中有2个元素,得关于k的方程2a1+(k-2)d=0有不小于2的整数解,而a1≠0,则d≠0,k>2,k∈N*,方程2a1+(k-2)d=0中a1系数为2,d的系数k-2是正整数, A项符合要求,B、C、D三项不符合要求. 解析 视角二 数列与取整 由数列{an}是等差数列,设其公差为d(d≠0),因为a2,a5,a14成等比数列,所以a2a14=,即(5-d)(5+11d)=(5+2d)2,解得d=2或d=0(舍去),所以an=5+2(n-3)=2n-1,则a100=199.当2n≤x<2n+1时,[log2x]=n,即[log2(2n+ 解析 【例2】　已知数列{an}为公差不为0的等差数列,a3=5,且a2,a5,a14成等比数列,设[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-1.5]=-2,记bn=[log2an], Sn为数列{bn}的前n项和,则S100=_________. 573 1)]=[log2(2n+3)]=…=[log2(2n+1-1)]=n,共有2n-1个n,因为27<199<28,所 以S100=b1+b2+…+b100=[log21]+[log23]+…+[log2199]=0+20×1+21×2 +…+25×6+×7=1×20+2×21+3×22+…+6×25+36×7,令Tn=1×20+2×21+3×22+…+6×25,则2Tn=1×21+2×22+3×23+…+6 ×26,两式相减得-Tn=20+21+22+…+25-6×26,则Tn=5×26+1,所以S100=5×26+1+36×7=573. 解析 视角三 数列与函数 依题意,an=-22n-1,则==4=q,故数列{an}是公比为4的等比数列,则==1+q3=65.故选D. 解析 【例3】　(2026·上饶模拟)若点(n,an)在曲线y=-22x-1上,记数列{an}的前n项和为Sn,则=(　　) A.-9 B.-65 C.9 D.65 视角四 数列与平面向量 【例4】　类比数列,我们把一系列向量按照一定的顺序排列,可得到向量列.已知向量列{an}满足an+1=2an+d,且满足a1·d=|d|=1,则an·d的值为(　　) A.2n-1 B.2n-1 C.2n+1-4 D.2n an+1·d=(2an+d)·d=2an·d+d2=2an·d+1,则an+1·d+1=2(an·d+1),其中a1·d+1=2,则{an·d+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,则an·d+1=2n,则an·d=2n-1.故选B. 解析 数列与平面向量交汇问题一方面考查将数列的通项或前n项和与向量的坐标、模、夹角等性质结合,利用向量的线性运算(如加法、减法、数乘)研究数列的性质;另一方面考查利用向量的几何意义(如方向、模长)分析数列的递推关系或通项公式,通过向量的运算求解数列的极限、和或其他性质. 视角五 数列与三角函数 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,内角A,B,C成等差数列,b=,数列{an}是等比数列,且首项、公比均为. (1)求数列{an}的通项公式; 因为内角A,B,C成等差数列,A+B+C=π,所以2B=A+C,B=,因为b=,所以=2,==,故数列{an}是首项、公比均为的等比数列,an=. 解 (2)若bn=-,求数列bn的前n项和Sn. bn=-=-=n·2n,Sn=1×21+2×22+3×23+…n×2n,2Sn=1 ×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,则Sn=2Sn-Sn=n×2n+1-2-22-…-2n=n ×2n+1-=(n-1)×2n+1+2,故数列bn的前n项和Sn=(n-1)·2n+1+2. 解 视角六 数列与导数 当n=1时,有S2=3S1+2,且S1=a1=4,所以S2=14,故a2=S2-a1=10.因为Sn+1=3Sn-2n+4,所以当n≥2时,有Sn=3Sn-1-2(n-1)+4=3Sn-1-2n+6,两式相减得Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1)-2,即an+1=3an-2,所以an+1-1=3(an-1)(n≥2).又a1=4,a2=10,a2-1=3(a1-1)成立,故=3对任意的n∈N*均成立.所以数列{an-1}是以a1-1=3为首项,q=3为公比的等比数列,所以an-1=3×3n-1=3n.所以an=3n+1. 解 【例6】　已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn+1=3Sn-2n+4,且a1=4. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令函数f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,n∈N*,试讨论f'(1)与的大小关系; 对函数f(x)=a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn,求导得f'(x)=a1+2a2x+…+(n-1)an-1xn-2+nanxn-1.所以f'(1)=a1+2a2+…+(n-1)an-1+nan=(31+1)+2(32+1) +…+(n-1)(3n-1+1)+n(3n+1)=(31+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+3+… +n).令Tn=31+2×32+…+(n-1)·3n-1+n·3n,则3Tn=32+2×33+…+(n-1)·3n+n·3n+1,两式相减得-2Tn=31+32+…+3n-n·3n+1=-n· 解 3n+1=-n·3n+1.所以Tn=+.故f'(1)=Tn+= ++.所以f'(1)-=++-=.当n=1时,易知f'(1)=;当n≥2时,有2n-1>0,从而3n+1-(n+3)-3n+(n+2)=2·3n-1>0,所以{3n-(n+2)}是单调递增数列,即有f'(1)>. 解析 (3)若对任意的n∈N*,·…·<m恒成立,求正整数m的最小值. 令函数g(x)=x-1-ln x,求导得g'(x)=1-=.令g'(x)>0,得x>1;令g'(x)<0,得0<x<1.所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故g(x)min=g(1)=0.所以g(x)≥g(1)=0,即x-1≥ln x,故ln(1+x)≤x (当且仅当x=0时取等号),从而ln<=<.所以ln<,ln<,…,ln<.所以ln+ 解 ln+…+ln<++…+==<= ln ,即·…·<.设bn=·…·>0,则有=1+>1,所以bn+1>bn.故{bn}是单调递增数列,且·…·>1+=.所以正整数m的最小值为2. 解析 解决数列与函数、导数交汇命题关键是理解数列的离散性与函数的连续性之间的关系.将数列视为离散函数,研究其单调性、极值、极限等性质,再利用函数性质(如单调性、凹凸性)分析数列的递推关系或通项公式. 视角七 数列与新定义 由题知1+a=b,ab=6,解得 解 【例7】　(2026·信阳模拟)若数列{an}满足:当n为奇数时,an+an+1= an+2;当n为偶数时,anan+1=an+2.则称数列{an}为和积交替数列. (1)若数列1,a,b,6为和积交替数列,分别求实数a,b的值; 由题知a2=t,则a3=a1+a2=2+t,a4=a2a3=(2+t)t,由t>,则a4>>1;a5=a3+a4=(2+t)+(2+t)t=t2+3t+2,由t>,则a5=t2+3t+2=->>3;a6=a4a5,但a4>1,a5>3,所以a6=a4a5>3;而a7=a5+a6>6,…,以此类推,当n≥5,n∈N*时,an>3.所以若3是数列{an}中的项,则a2=3或a3=3或a4=3,解得t=3或t=1. 解 (2)若数列{an}为和积交替数列,且a1=2,a2=t. (ⅰ)若3是数列{an}中的项,求实数t的值; 易知数列中的项均为正整数,由题知a2n=a2n-2×a2n-1(n≥2,n∈N*),且a2n-1=a2n-2+a2n-3(n≥2,n∈N*),所以a2n=a2n-2×(a2n-2+a2n-3)>,同取以2为底的对数,得log2a2n>log2,即log2a2n>2log2a2n-2.又an>1,所以>2,则>2,>2,…,>2,累乘整理,得log2a2n>2n-1log2a2=2n-1,所以n≥2时,a2n>.当n=1时,a2=2满足a2n=,所以a2n≥,结论得证. 解 (ⅱ)若a2=2,证明:a2n≥. 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=8,a8+a10=36.若[x]表示不超过x的最大整数,则++…+=(　　) A.101 B.100 C.99 D.98 解析 2.已知向量a1,a2,…,an(n∈N*)满足ai+1-ai=d(i=1,2,…,n-1),|a1|=1,|d|=2,a1与d的夹角为,设bn=a1·an,数列{bn}的前n项和为Sn,则S20=(　　) A.120 B.180 C.210 D.420 ai+1-ai=d(i=1,2,…,n-1) an=a1+(n-1)d→bn=a1·an=+(n-1)a1·d,由于|a1|=1,|d|=2,a1与d的夹角为,故a1·d=1×2×=1,因此bn=+(n-1)a1·d=1+n-1=n,故S20=×20×(20+1)=210. 解析 3.(2026·唐山模拟)设n∈N*,xn是曲线y=x2n-1-2在点(1,-1)处的切线与x轴交点的横坐标,记an=,则数列{an}的前50项和为(　　) A. B. C. D. y'=(2n-1)x2n-2,当x=1时,y'=2n-1,所以在点(1,-1)处的切线为:y-(-1)=(2n -1)(x-1),化简为:y=(2n-1)x-2n,当y=0代入y=(2n-1)x-2n中,x=,即xn=,所以an===,化简:an==1 +=1+,则数列{an}的前50项和为:a1+a2+a3 +…+a50=50+=50+=. 解析 4.(2026·蚌埠模拟)数列{an}满足a1=,an+1∈,且tan an+1= (n∈N*),令bn=tan2an,则数列{bn}的前6项和为_____________. 17 由题意可知an∈,则tan an+1=>0,故an+1∈,由tan an+1 =得,tan2an+1==1+tan2an,即bn+1=1+bn,故数列{bn}是以b1= tan2a1=为首项,以1为公差的等差数列,故bn=n-1+=n-,则b6=6-=,所以数列{bn}的前6项和为=17. 解析 5.(2026·南京模拟)数列{an}中,a1=2,an+1=an+n,n∈N*. (1)证明:是等差数列; 对任意的n∈N*,an+1=an+n(n+1),等式两边同时除以n(n+1)得=+1,即-=1,又=a1=2,所以是以2为首项,1为公差的等差数列. 证明 (2)设f(x)=++…+,求f'(1). 由(1)知=2+(n-1)=n+1,所以an=n2(n+1),因为f(x)=++…+,则f'(x)=++…+,对任意的k∈N*,===-,所以f'(1)=++…+=++…+=1-=. 解 因为数列{an}是等差数列,所以由故an=2+(n-1)×2=2n,Sn==n(n+1).根据设问所求,可知=,故当n=1时,=2,当n≥2时,==1,所以++…+=2+99=101. $