在导数应用中如何构造函数课件-2027届高三数学一轮复习

素能培优(二)　在导数应用中如何构造函数 函数构造问题是高考考查的热点,多以客观题形式呈现.此类问题的核心在于:基于与导数相关的已知等式或不等式的结构特征,构造出新函数,并对其单调性进行分析,从而有效解决比较大小、解不等式、恒成立等各类问题. 题型一　利用f(x)与xn构造函数 例1　(1)(2025·天津西青模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立,若a=20.2f(20.2),b=ln 2f(ln 2),c=(log0.30.09)·f(log0.30.09),则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a B 解析 令g(x)=xf(x),当x<0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)内单调递减,又f(x)是奇函数,则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为R上的偶函数,则g(x)在(0,+∞)内单调递增,又log0.30.09=2>20.2>20=1=ln e>ln 2>ln 1=0,所以g(log0.30.09)>g(20.2)>g(ln 2),即c>a>b.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)(2025·湖南常德模拟)已知y=f(x)是定义在(1,+∞)上的连续可导函数,其导函数为y=f'(x),若xf'(x)<f(x),且f(3)=6,则不等式f(ln x)>2ln x的解集为(　　) A.(1,3) B.(3,e2) C.(1,e3) D.(e,e3) D 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 令g(x)=(x>1),则g'(x)=,因为xf'(x)<f(x),则xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0, 则g(x)=(x>1)在区间(1,+∞)内单调递减,又f(3)=6,由f(ln x)>2ln x,得 所以1<ln x<3,解得e<x<e3.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　1.对于xf'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x·f(x). 2.对于xf' (x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=xk·f(x). 3.对于xf'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. 4.对于xf'(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x)=. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练1](2025·贵州毕节二模)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,f(1)=0,当x<0时,xf'(x)+3f(x)>0,则不等式f(x)<0的解集为(　) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(1,+∞) D 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 令g(x)=x3f(x),则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)],由题意知当x<0时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)内单调递增.因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x),所以g(x)是定义域为R的偶函数,所以g(x)在(0,+∞)内单调递减, 又f(1)=0,所以f(-1)=-f(1)=0,所以g(1)=g(-1)=0,所以当x∈(-∞,-1)时, g(x)=x3f(x)<0,则f(x)>0;当x∈(-1,0)时,g(x)=x3f(x)>0,则f(x)<0;当x∈(0,1)时, g(x)=x3f(x)>0,则f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)=x3f(x)<0,则f(x)<0. 综上,不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二　利用f(x)与ex构造函数 例2　(1)(2025·安徽合肥模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)=,且f(x)+f'(x)<0,则不等式f(x+1)>的解集是(　　) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(-∞,0) D 解析 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,所以g(x)在R上单调递减. 因为g(1)=e1f(1)=1,所以不等式f(x+1)>可化为ex+1f(x+1)>1,即g(x+1)>g(1),所以x+1<1,即x<0,所以不等式f(x+1)>的解集为(-∞,0).故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)(2025·山东威海模拟)已知f(x)为定义在R上的可导函数,f'(x)为其导函数,且f(x)<f'(x)恒成立,e是自然对数的底数,则下列选项正确的是(　　) A.f(2 024)<ef(2 025) B.ef(2 024)<f(2 025) C.ef(2 024)=f(2 025) D.ef(2 024)>f(2 025) B 解析 根据题意知f(x)<f'(x),即f'(x)-f(x)>0,构造函数g(x)=,可得g'(x)=,因为f'(x)-f(x)>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增,则,两边同乘e2 025, 即ef(2 024)<f(2 025).故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　1.对于f'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=ex·f(x). 2.对于f'(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=ekx·f(x). 3.对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. 4.对于f'(x)-kf(x)>0(<0),构造g(x)=. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练2](2025·湖南娄底模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(1)=3,则不等式exf(x)>ex+2e的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,1) B 解析 设g(x)=exf(x)-ex(x∈R),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1]. 因为f(x)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1>0,又ex>0,所以g'(x)>0恒成立, 所以y=g(x)是定义域为R的增函数, 原不等式可转化为exf(x)-ex>2e, 又f(1)=3,所以g(1)=ef(1)-e=2e, 所以有g(x)>g(1),所以x>1,故不等式exf(x)>ex+2e的解集为(1,+∞).故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 例3　(1)已知函数f(x)的定义域为(0,π),其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0,π),有f'(x)sin x-f(x)cos x<0,则关于x的不等式f(x)>2f()sin x的解集为(　　) A.(0,) B.(0,) C.(,π) D.(,π) B 解析 令函数g(x)=,x∈(0,π), 则g'(x)=<0,所以函数g(x)在(0,π)内单调递减,不等式f(x)>2f()sin x即为,即g(x)>g(),解得0<x<,所以原不等式的解集为(0,).故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)(多选题)(2025·湖北武汉模拟)已知定义在[0,)内的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是(　　) A.f()>f() B.f(ln)>0 C.f()>f() D.f()>f() ACD 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 设F(x)=,则F'(x)=<0,所以F(x)在[0,)内单调递减.由F((>F(),即, 即f()>f(),所以A正确; 由F(ln)<F(0),即=0,又cos ln>0,则f(ln)<0,所以B错误; 由F()>F(),即,即f()>f(),所以C正确; 由F()>F(),即,即f()>f(),所以D正确.故选ACD. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　1.对于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)·sin x. 2.对于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0),构造g(x)=. 3.对于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0),构造g(x)=f(x)·cos x. 4.对于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0),构造g(x)=. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练3](2025·山东济南模拟)定义在(0,)内的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)<-tan x·f(x)恒成立,则下列选项正确的是(　　) A.f()>f() B.f()>f() C.f()>f() D.f()<f() C 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 f'(x)<-tan x·f(x)可化为f'(x)+tan x·f(x)<0. 设g(x)=,x∈(0,),显然cos x>0,则g'(x)=()'= =<0, 所以函数g(x)在(0,)内单调递减. 因为, 所以g()>g()>g(). 所以, 题型一 题型二 题型三 题型四 即f()>f()>2f(). 因为f()>f(),A选项f()>f()不一定成立; 因为f()>3f(),B选项f()>f()不一定成立; 对于C,f()>f()成立; 因为f()>f(),D选项不成立.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四　构造具体函数关系 例4　(1)(2025·山东烟台模拟)设2a=6-ln 3,40.5b=2e-1,c=log2(4-ln 2),则下列选项正确的是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a A 解析 由题意,得2a=6-ln 3,2b=2e-1,2c=4-ln 2. 令函数f(x)=2x-ln x,x>1,求导得f'(x)=2-,当x>1时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(1,+∞)内单调递增.因为3>e>2>1,f(3)>f(e)>f(2), 所以6-ln 3>2e-1>4-ln 2,而2b=2e-1,2c=4-ln 2,所以2a>2b>2c,又函数y=2x是R上的增函数, 所以a>b>c.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 (2)(2025·湖南永州模拟)设a=,b=2ln(sin+cos),c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b B 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 b=2ln(sin+cos)=ln(sin+cos)2=ln(1+sin),设f(x)=x-sin x, x∈[0,1),则f'(x)=1-cos x≥0,在区间[0,1)内,使f'(x)=0成立的只有x=0, 所以f(x)=x-sin x在(0,1)内单调递增, 所以f()>f(0)=0,即>sin,所以b=ln(1+sin)<ln(1+). 设g(x)=x-ln(x+1),x∈[0,1),则g'(x)=1-0,在区间[0,1)内,使g'(x)=0成立的只有x=0, 所以g(x)=x-ln(x+1)在[0,1)内单调递增,所以g()>g(0)=0,即>ln(1+)>ln(1+sin), 所以a>b. 题型一 题型二 题型三 题型四 设h(x)=x-ln(x+1),x∈[0,1),则h'(x)=1-, 当x∈(0,)时,h'(x)<0,当x∈(,1)时,h'(x)>0, 所以h(x)=x-ln(x+1)在(0,)内单调递减,在(,1)内单调递增,所以h()<h(0)=0,即ln(1+)=ln,所以a<c. 综上,b<a<c.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 规律方法　构造函数比较大小的常见类型 (1)构造相同的函数,利用单调性,比较函数值的大小. (2)构造不同的函数,通过比较两个函数的函数值进行大小比较. 题型一 题型二 题型三 题型四 [对点训练4](2025·广东汕头模拟)已知a=ln(2e),b=ln(3e),c=,则下列选项正确的是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c B 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 设g(x)=,其中x>0,则g'(x)=- 当0<x<时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,)内单调递增; 当x>时,g'(x)<0,函数g(x)在(,+∞)内单调递减. 因为a=ln(2e)==g(2),b=ln(3e)==g(3), c==g(e),又<2<e<3,所以g(2)>g(e)>g(3), 所以a>c>b.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 $