导数型函数的构造问题课件-2027届高三数学一轮复习

导数型函数的构造问题 重难解读 导数型函数的构造问题是高考中的难点之一，其特点是不给出具体的 函数解析式，而是给出函数f（x）及f'（x）满足的条件，求解函数中的比较大小、解不等式、恒成立等问题.这就需要根据条件构造函数，使问题在新函数下进行转化，并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）求解. 目录/ CONTENTS 考点一 利用f（x）与xn构造函数 01 考点二 利用f（x）与ex构造函数 02 考点三 利用f（x）与 sin x， cos x构造函数 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 利用f（x）与xn构造函数 目 录 （1）（2026·山东烟台模拟）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x ＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的 解集为（　D　） A. （－4，0）∪（0，4） B. （－∞，－4）∪（4，＋∞） C. （－4，0）∪（4，＋∞） D. （－∞，－4）∪（0，4） D 高中总复习·数学 目 录 解析： 构造F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf' （x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，可以推出当x＜ 0时，F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递 减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－4）∪（0，4）. 高中总复习·数学 目 录 （2）已知函数f（x）的定义域为（－∞，0），f（－1）＝－1，其导函 数f'（x）满足xf'（x）－2f（x）＞0，则不等式f（x＋2 026）＋（x＋2 026）2＜0的解集为（　B　） A. （－2 027，0） B. （－2 027，－2 026） C. （－∞，－2 027） D. （－∞，－2 026） B 高中总复习·数学 目 录 解析：根据题意构造g（x）＝ （x＜0）⇒g'（x）＝ ＜0，所以g（x）＝ 在（－∞，0）上单调递减， 则原不等式等价于 ＜－1，由g（x＋2 026）＝ ＜ －1＝g（－1）⇒0＞x＋2 026＞－1，解得x∈（－2 027，－2 026）. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用f（x）与xn构造函数 （1）出现nf（x）＋xf'（x）形式，构造函数F（x）＝xnf（x）； （2）出现xf'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ . 高中总复习·数学 目 录 练1 设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当 x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 （　　） A. （－∞，－1）∪（0，1） B. （－1，0）∪（1，＋∞） C. （－∞，－1）∪（－1，0） D. （0，1）∪（1，＋∞） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 设g（x）＝ （x≠0），则g'（x）＝ ，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0， ∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递减， 且g（1）＝f（1）＝－f（－1）＝0.∵f（x）为奇函 数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）的图象的示意图如图所示.当x＞0时，由f（x）＞0，得g（x）＞0，由图知0＜x＜1，当x＜0时，由f（x）＞0，得g（x）＜0，由图知x＜－1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1），故选A. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 利用f（x）与ex构造函数 目 录 （1）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，有f'（x）－f （x）＞0，则“x＜2”是“e2x－3f（x＋1）＞ex＋1f（2x－3）”的 （　A　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 A 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为f'（x）－f（x）＞0，所以 ＞0.令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＞0，所以g（x）在R上单调递增.e2x －3f（x＋1）＞ex＋1f（2x－3）⇔ ＞ ⇔g（x＋1）＞g （2x－3）⇔x＋1＞2x－3⇔x＜4，所以“x＜2”是“e2x－3f（x＋1）＞ ex＋1f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·江西南昌模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋ f'（x）＞0，且有f（3）＝3，则f（x）＞3e3－x的解集为（　D　） A. （－∞，－3） B. （－3，0） C. （0，3） D. （3，＋∞） 解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f （x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）是增函数.又f（3）＝3，则F（3）＝f （3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F（x）＞F （3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）. D 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用f（x）与ex构造函数 （1）出现f'（x）＋nf（x）形式，构造函数F（x）＝enxf（x）； （2）出现f'（x）－nf（x）形式，构造函数F（x）＝ . 高中总复习·数学 目 录 练2 已知定义在R上的函数f（x）的导数为f'（x），f（1）＝e，且对任意 的x满足f'（x）－f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，0） C. （0，＋∞） D. （1，＋∞） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　构造函数g（x）＝ －x，则g'（x）＝ － 1，因为f'（x）－f（x）＜ex，所以 －1＜0，即g'（x）＜ 0，可知g（x）在R上是减函数，且g（1）＝0.由f（x）＞xex可得 －x＞0，即g（x）＞g（1），解得x＜1，所以不等式f（x）＞ xex的解集是（－∞，1）. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 利用f（x）与 sin x， cos x构造函数 目 录 已知f（x）是定义在（ 0， ）内的函数，f'（x）是它的导函数，且 恒有f'（x）＞f（x）tan x成立，则有（　　） A. f（ ）＞f（ ） B. f（ ）＞2 cos 1·f（1） C. 2f（ ）＜ f（ ） D. f（ ）＜f（ ） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵x∈（ 0， ），∴ sin x＞0， cos x＞0.由f'（x）＞f（x） tan x，得f'（x） cos x－f（x） sin x＞0，构造函数g（x）＝f（x） cos x，则g'（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x＞0，∴函数g（x）在（ 0， ）内单调递增.结合选项知，g（ ）＜g（ ），即f（ ） cos ＜f （ ） cos ，∴ f（ ）＜f（ ）.故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 利用f（x）与 sin x， cos x构造函数的常见类型 （1）F（x）＝f（x） sin x，F'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos x； （2）F（x）＝ ，F'（x）＝ ； （3）F（x）＝f（x） cos x，F'（x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x； （4）F（x）＝ ，F'（x）＝ . 高中总复习·数学 目 录 练3 （2026·广东广州开学考试）已知f'（x）是定义域为（ － ， ）的奇 函数f（x）的导函数，当0＜x＜ 时，有f（x） cos x＋f'（x） sin x＞ 0，f（ ）＝ ，则不等式f（x）＞ 的解集为 　（ － ，0）∪ ⁠. （ － ，0）∪ （ ， ） 高中总复习·数学 目 录 解析：因为f（x）是奇函数，所以f（x） sin x是偶函数.设h（x）＝f （x） sin x，当0＜x＜ 时，h'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0， 所以h（x）在区间（ 0， ）内单调递增.又h（x）为偶函数，所以h （x）在区间（ － ，0）内单调递减.因为h（ － ）＝h（ ）＝f（ ） sin ＝1，所以当－ ＜x＜0时，不等式f（x）＞ 等价于f（x） sin x ＜1＝h（ － ），解得－ ＜x＜0.当0＜x＜ 时，不等式f（x）＞ 等价于f（x） sin x＞1＝h（ ），解得 ＜x＜ ，所以原不等式的解集 为（ － ，0）∪（ ， ）. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：76分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜ ，则f（x） ＜ ＋ 的解集为（　　） A. {x｜－1＜x＜1} B. {x｜x＜－1} C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜x＞1} √ 解析： 　构造函数h（x）＝f（x）－ － ，所以h'（x）＝f'（x）－ ＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－ － ＝0，故h （x）＜0的解集为{x｜x＞1}. 高中总复习·数学 目 录 2. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（0）＝4，则不 等式exf（x）＞ex＋3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　） A. （0，＋∞） B. （－∞，0）∪（3，＋∞） C. （－∞，0）∪（0，＋∞） D. （3，＋∞） √ 解析： 　不等式f（x）＋f'（x）＞1可化为（ex）'f（x）＋exf'（x）＞ ex，即[exf（x）]'－ex＞0，所以函数g（x）＝exf（x）－ex是增函数. 不等式exf（x）＞ex＋3，即exf（x）－ex＞3，即g（x）＞3＝g（0）， 所以x＞0，故不等式exf（x）＞ex＋3的解集为（0，＋∞）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）的定义域为[0，＋∞），导函数为f'（x），若f'（x） ＜ 恒成立，则（　　） A. f（2）＞f（3） B. 2f（1）＞f（3） C. f（5）＞2f（2） D. 3f（5）＞f（1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f'（x）＜ ，x≥0，所以（x＋1）·f'（x）－f（x） ＜0，构造函数g（x）＝ ，x≥0，则g'（x）＝ ＜0，所以g（x）在定义域上是减函数，从而g （1）＞g（2）＞g（3）＞g（5），即 ＞ ＞ ＞ .所以4f（2）＞3f（3），2f（1）＞f（3），2f（2）＞f（5）， 3f（1）＞f（5）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 4. 已知f'（x）是定义在（0， ）内的函数f（x）的导函数，且恒有f' （x） cos x＋f（x） sin x＜0成立，则有（　　） A. f（ ）＞ f（ ） B. f（ ）＞f（ ） C. f（ ）＞ f（ ） D. f（ ）＜ f（ ） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析： 令g（x）＝ ，x∈（0， ），则g'（x）＝ ，因为f'（x） cos x＋f（x） sin x＜0，所以g'（x） ＜0，则g（x）＝ 在（0， ）内单调递减，所以 ＜ ＜ ，即 ＜ ＜ ，故 f（ ）＞ f（ ），f （ ）＞ f（ ），故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 5. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＋f（－ x）＝0.对于任意的实数x，均有f（x）＜ 成立，若f（－3）＝－ 16，则不等式f（x）＞ 的解集为（　　） A. （－∞，－3） B. （－∞，3） C. （－3，＋∞） D. （3，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解析： 　f（x）＜ ⇔f'（x）－f（x）ln 2＞0，令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＝ ＞0，则g （x）在（－∞，＋∞）上单调递增.由f（－3）＝－16，f（x）为奇函 数，得f（3）＝16，则g（3）＝ ＝2.由f（x）＞ ⇔ ＞ 2＝ ⇒g（x）＞g（3），所以x＞3.故所求不等式的解集为（3，＋ ∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f' （x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　） A. f（2）＜e2f（0） B. f（2）＞e2f（0） C. e2f（－1）＞f（1） D. e2f（－1）＜f（1） √ √ 解析： 　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＝ ，又导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0， F（x）在R上是减函数，故 ＞ ＞ ＞ ，所以f （2）＜e2f（0），e2f（－1）＞f（1）.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 7. 若f（x）是R上可导的奇函数，当x≥0时，f'（x）－ cos x＜0，则不等 式f（x）＜ sin x的解集为 ⁠. 解析：令g（x）＝f（x）－ sin x，则g'（x）＝f'（x）－ cos x＜0在[0， ＋∞）上恒成立，故g（x）在[0，＋∞）上单调递减.又f（x）为R上的 奇函数，所以g（x）为R上的奇函数，所以g（x）在（－∞，0]上单调 递减，故g（x）在R上单调递减且g（0）＝0，不等式f（x）＜ sin x可化 为f（x）－ sin x＜0，即g（x）＜0，即g（x）＜g（0），所以x＞0， 所以原不等式的解集为（0，＋∞）. （0，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 8. （10分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若2f（x） ＋f'（x）＞0，且f（0）＝2 026，求不等式f（x）－2 026e－2x＞0的解集. 解：令g（x）＝e2xf（x），则g'（x）＝2e2xf（x）＋e2xf'（x）＝e2x[2f （x）＋f'（x）]＞0， 所以g（x）在R上单调递增，因为f（0）＝2 026，所以g（0）＝e0f （0）＝2 026， 所以不等式f（x）－2 026e－2x＞0⇔f（x）＞2 026e－2x⇔e2xf（x）＞2 026⇔g（x）＞g（0），即x＞0， 所以不等式f（x）－2 026e－2x＞0的解集为（0，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 解：∵ ＝［ ］'＜0，设g（x）＝ ， ∴函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减. 又∵f（x）是奇函数，∴函数g（x）是偶函数， ∴函数g（x）在（－∞，0）上单调递增，作出g（x）的大致图象，如图所示. 9. （15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时， 有 ＜0恒成立，求不等式x2f（x）＞0的解集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 当x＞0时，f（x）＞0即为g（x）＞0，由图象可知x的取值范围是（0，2）； 当x＜0时，f（x）＞0即为g（x）＜0，由图象可知x的取值范围是（－∞，－2）. 故不等式x2f（x）＞0的解集为（－∞，－2）∪（0，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 10. （15分）已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且满足f（x）＋ xf'（x）＝ ，f（e）＝ . （1）求f（x）的解析式； 解： 由题意得f（x）＋xf'（x）＝[xf（x）]'＝ ， 所以xf（x）＝ ＋C（其中C为常数）， 又因为f（e）＝ ， 所以ef（e）＝ ＋C＝1， 解得C＝ ，所以f（x）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 （2）求证f（x）没有极值. 解： 证明：由（1）知f'（x）＝ ＝－ ≤0， 当且仅当x＝e时，f'（x）＝0， 所以函数f（x）＝ 在（0，＋∞）上为减函数，没有极值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学 目 录 $