湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期5月期中检测数学试卷

湖南省长沙市周南中学2026年5月高二期中数学检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1已知樂合A={付+号≤0B=(x-5<x<1}则4nB A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-1<x<1 C.{xl-1≤x<1} D.{x|-1<x≤1} 2.已知复数z=3引，则以等于 1-i A.3√2 B.3V② c多 D.√5 2 3.设等比数列{a}的前n项和为S,若S4=15,S,-S=480,则S等于 A.127 B.-255 C.-127 D.255 4.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)上单调递减的是 A.f(x)=x-2 B.f(x)=Inx C.fx)=e*-1 D.f(x)=xsinx 5.从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株 洲、永州、衡阳)举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的 活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有 A.48种 B.72种 C.96种 D.120种 6.函数fx)=Acos2ox-(4>0,o>0,o<5)的部分图象如图所示，则 5π 6 A9= B函数f)在区间[比，径] 上单调递增 Cfd的图象关于点（牙0）对称 D若f0在区间[是a）上恰有一个最大值2和一个最小值-2则实数a的取值范 围为（誓] 7.某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门.新入职员工小张第1个月在甲部门工作.此后 每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门， 不会留在原部门).记P,为经过n次调动后（即第+1个月末）该员工在甲部门的概率， 则下列选项中正确的是 AR-音 B.数列{R+} 为等比数列 CR=子x(3+ D.第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反 射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线B:士-二 ab2 =1(a>0,b>0)的左、 右焦点分别为，乃，从点乃发出的光线经过图2中的点A,B反射后，分别经过点C,D, 图1 图2 且|RBl=号A,cos∠ABD= 13 ,则双曲线E的离心率为 A.2 B.37 C.3 D.37 3 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是 A.若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为r4=-0.73,IB=0.65,则B组数据比A组 数据的相关性强 B.若随机变量X服从二项分布X~B(16,p),且E(X)=12,则D(X)=3 C.相关系数r=1时，样本点在同一直线上 D.样本数据1，x2,…,xm的平均数元=3，则样本数据3-2x1,3-22,…,3-2xn的平均数 为-3 10.我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑 中的八角窗.它们均可抽象为正八边形ABCDEFGH,如图3.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是 图1 图2 图3 A.AB·AD=4+2/2 B.AC在AB方向上的投影向量为2AB C.4G+24(1∈R)的最小值为2+√2D.正.A∈[-2W2,4+2√] 11.己知函数f(x),g(x)定义域均为R,f(x-1)为偶函数，g(2x+1)为奇函数，且g(x)= f(x-1)+2,则 A.g(1+x)=-g(1-x) B.函数f(x)图象关于点(2,2)对称 C.f1)+f(2)+f(3)=-6 D.当f(1)=3时，g(2026)=5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.设(3x-4)3=+41(x-1)1+a2(x-12+a3(x-1)3+.+s(x-1)3,则4+2+a3+… 十4g= ·(用数字作答) 13.若曲线y=e+x在点(0,1)处的切线也与曲线y=ln(x-1)-m+1相切，则m= 14.在四棱锥P-ABCD中，△PAB是边长为1的等边三角形，AB=AD=CD=1,BC=2, AD∥BC,PC=D,则四棱锥P一ABCD的外接球表面积为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算 步骤 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+c)(sinA-snC)= (√2a-b)sinB,√2 ac sinC=d+c2-b. (1)求B: (2)己知△ABC的面积为3+√3，求c. 16.(15分)2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月至12月在全省14个市州举 行，主打“快乐足球，全民参与”的理念.赛事规定，每场比赛中每队同时上场的中学生球员 不少于3人.某校足球社团为了解学生喜欢足球是否与“中学生身份”有关，随机抽取了本 校中学生和非中学生各100名进行调查，部分数据如下表所示 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 非中学生 70 合计 (1)根据所给数据完成上表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否判断该校学生喜欢足球 与中学生身份有关？ (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名中学生和1名非中学生示范点球射门，已知 中学生进球的概率为号，非中学生进球的概率为子，每人射门一次，假设各人射门相互独立， 求3人进球总次数的分布列和数学期望， n(ad-be 附：X2= ,其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=CB=BD=1,∠D1DA=60°， ∠B1BA=45°，BD⊥CB. B C (1)求对角线CA1的长度：(2)求二面角C-BD-C的余弦值 7分)已知髓圆B。+1Q>b>0)的长轴长是短箱长的2倍，且过点} (1)求椭圆E的标准方程： (2)过点M(1,0)作两条斜率分别为k1,k2的直线1,2，l1交椭圆于A,B两点，2交椭圆于C,D 两点，弦AB,CD的中点分别为P,Q. 国当=4时，求弦长4B到 ()当=子时，求△OPQ面积的最大值。 10.17分)已知函数fx)=a-)-r (1)求函数f(x)的极值： (2)当a=-1时，数列b=6+an,且6n=n14-2b 1 、,n∈W; ①求数列{cn}的前n项和n: ②证明：∑si 、1-2I <ln2· n(1-2)）+2G”t/牛°一心一§ 20260正5'，I-..十 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【年】4=0-1x<2到.8=5， 所以AnB={x|-1≤x<1},故选C. 2.【答案】B 【解析】因为z= 3i 2.故 选B 3.【答案】D 【解析】因为S4=a+a2+a+a4=15,S,-S5=q(a1+a2+a+a4)=15g3=480, 所以q3=32,所以q=2,所以Sg=41+a2+4+a4+a+a6+a,+ag=S4+94S4= 17×15=255.故选D. 4.【答案】A 【解析】对于A选项，f(x)=x2函数为偶函数，且在(0，+0)上单调递减，A符合 题意；对于B选项，函数的定义域为{xx≠0}，f(-x)=n|-x=ln|x=f(x),所 以函数为偶函数，当x>0时，f(x)=x,故该函数在(0，+o)上单调递增，B不符 合题意；对于C选项，函数的定义战为R,f(x)=e-=-e=-∫(x), ex-er 函数为奇函数，且在(O,+∞)上单调递增，C不符合题意；对于D选项，函数的定 义域为R,f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),函数为偶函数，在区间(0，+o)上不 是单调函数，D不符合题意.故选A. 5.【答案】B 【解析】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去长沙，共有C=3种，其 次从剩余4人中选3人到其他三个城市，共有A?=24种，共有CA=72种，故 选B. 数学参考答案第1页（共10页) 6.【答案】D 【解折】的因可得4=2，函效的装小正网期7=2g引，又0，所以 2=7-2，圆f=2eos(2x-9),由f[)=2cog-9-2，得 T ,-p=元+2，k∈乙，解得p=-3+2km，k∈乙，又 <，所以=- 2 故A错误：由上分析，得/)=20s2x+写}，令2版-≤2x+骨≤2，keZ, 解得如-≤≤饭-后，太Z，故画数f(的单朗递增区间为 3 [径+a吾，&eZ.令2m2x+骨e2,keZ,解得a君≤+号 6 ke乙，放函数f()的单羽遂减区间为名+血智+，keZ,则函数f()在 6 区间 fa=2co2×牙+写到0，故画数/的图象不关于点0对称，放C 送：当品时，则2x+引e后2a+引委欣闭区同吾小 拾有-个最大位2和-个最小位-2，需使2<2a+写3，解得<a≤经，故 D正确.故选D. 7.【答案】D 【解析】由题意可知，要使得n次调动后在甲部门，则第(n-1)次必定不在甲部门， 以8-，2，*R引e引周为月=0，思寸专 、1 0,所以。=到{引是以-号为青项，以-为公地的 等北数列，放B错民：则2{引”，甲B-厂，对于A R=(》(+写故A误时于C,由只+号可等R=号0， 数学参考答案第2页（共10页) 故C错误；对于D,若第5次调动后在甲部门，则第4次调动后必不在甲部门， 设甲，乙，丙对应于a,b,c,则不同的调动方式有：①a→c→b→a→b→a, ②a→b→c→a→b→a,③a→b→a→c→b→a,④a→c→a→c→b→a, ⑤ac→b→c→b→a,⑥a→c→b→a→c→a,⑦a→b→c→a→c→a, ⑧a→b→a→b→c→a,⑨a→c→a→b→c→a,⑩a→b→c→b→c→a, 故共有10种情况，故D正确.故选D 8.【答案】B 【解析】由题意可知，延长CA,BD则必过点E,如图所示： 因为A=FB到，设EB=t,则AE=2t,AB=3t，由双曲线定义可得 21+2a,BF=t+2a,由cos∠ABD=3,可得cos∠AB职=3在△ABE 由余弦定理可得cos∠ABR=AB+Br-A5 2 AB BF 13 ，即 可+2a-2u+2a,化简可得3=7a,在△B那亚中，由余孩型 23t-(t+2a） 得cos∠EBE=BF+BE-FE=5,即2a+)+2-4c23 2 BFBF 21-(2a+)3,化简可得 37a2=9c2,故e=c-37 故选B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解析】对于相关系数r,有以下结论：①当r>0时，表明两个变量正相关；当<0 时，表明两个变量负相关.②r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性 越强；的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.所以 数学参考答案第3页（共10页) A错误：对于B:E(X)=16p=12p子D(X)=16x1-引-3，B正确： 对于C,由相关系数的性质可得正确；对于D,样本数据x,x2,…,x,的平均 数元=3，则对于样本数据3-2x,3-2x2,…,3-2x，其平均数为 3-2x+3-2x2++3-2x2=3n-2(+++x=3-2×3=-3,故D正确.故 选：BCD 10.【答案】ACD 【獬析时于A,延长AB,CD交于，点M,正入边形内角为3，因此BM=CM=V2, AB.AD=AB(AM+MD)=4+2W2,故A正确；对于B,由图可知AC=AM+MC, 因此投影向量即为AM= √2 1+ AB,故B错误； 对于C,由图可知，AG=BD=BM+DM=8+42,AGB=-22,所 以由题意可知函数f(2)=AG+A团=4GP+22AG.B+B卵 =V4-4W2+8+4W2，当1=5时，a取得最小值， =V6+4W反=2+V反，故C正确；对于D,过点P作直线AB的垂线，垂 足为N,因此AB·AP=AB·(AN+NP)=AB·AN,易知当点P在线段CD上时， AB.AN取得最大值4+2√2，当点P在线段HG上时，AB.AN取得最小值-2√2， 故D正确.故选：ACD. 11.【答案】ACD 【解析】选项A:因为g(2x+1)为奇函数，所以g(-2x+1)=-g(2x+1),则 g(1+x)=-g(1-x),故A正确；选项B:因为g(1+x)+g(1-x)=0,g(x)= f(x-1)+2,所以f(x)+2+f(-x)+2=0,即f(x)+f(-x)=-4,所以f(x)关于 数学参考答案第4页（共10页) 点(0，-2)对称，又f(x)的图象关于x=-1对称，所以f(x)的对称中心为(2k,-2), k∈Z,不是(2,2)，故B错误；选项C:由A项得g(x)关于(1,0)对称，即g(①)=0， g(2)=-g(0),g(3)=-g(-1),g(4)=-g(-2),因为f(x)的图象关于x=-1对称， 所以f(-x-2)=f(x),又8(x)=f(x-1)+2,所以f(x)=g(x+1)-2,所以 g(-x-2+1)-2=g(x+1)-2,即g(-x-1)=g(x+1),所以g(x)关于x=0对称， 即g(-x)=g(x)，因此g3)=-g(-1)=-g)=0,g(4)=-g(-2)=-g(2),所以 f(1)+f(2)+f(3)=g(2)-2+8(3)-2+g(4)-2=g(2)-2+0-2-g(2)-2=-6, 故C正确；选项D:因为g(1+x)+g(1-x)=0,所以g(2+x)+g(-x)=0,又 g(-)=g(x),所以g(x)=-g(x+2),则g(x+2)=-g(x+4),所以g(x)=g(x+4), 则g(x)的周期为4，所以g(2026)=g(4×506+2)=g(2),又因为f(1)=3,所以 g(2)=f(1)+2=5,所以g(2026)=g(2)=5,故D正确.故选：ACD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】255 【解析】因为(3x-4)°=a。+a(x-1)'+a2(x-1)2+a(x-1)3+…+a(x-1),所以令 x=2,可得，a+a1+a2+43+…+ag=(6-4)8=256,令x=1,可得，a=(3-4)8=1, 所以a1+a2+a3+…+ag=255. 13.【答案】-3-ln2 【解析】由y=e+x,得y=e+1,ylko=e°+1=2，故曲线y=e+x在(0,1)处 的切线方程为y=2x+1由y=nx-)-m+1，得y=r’设切线与曲线 y=ln(x-1)-m+1相切的切点为(xo,n(x,-1)-m+1)，由两曲线有公切线得 2,解得则点为很时+ ，故切线方程为 (时m+》,即y=2x+时m-2,因两切线重合，则 n2m-2=1,解得m=-3-lh2.故答案为：-3-lh2. 14.【答案】37π 【解析】在等腰梯形ABCD中，易得：∠ABC=6O°，在底面ABCD中连接AC, 则AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos60°=1+4-2=3，即BC2=AB2+AC2, ∠BAC=90°，在底面ABCD以AB,AC分别为x,y轴，过A作平面ABCD的垂 数学参考答案第5页（共10页) 线为z轴，如图： C(0,V3,0), 因为∠BAC=90°，则底面ABCD外接圆，也即是△ABC的外接圆，即BC的中点 即为底面ABCD外接圆圆心，坐标为C2,0设P(C,y,由PA=1,PB=1 x2+y2+z2=1 PC=V 2，可得x-+少2+z2=1，解得x 2,少s3 1 4,2s3 , x2+(-32+z2= *9 由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过O垂直于底面的直 k=-, 因此外接球半径平方：R=1+k2=1+ -3弘，外接球表面积： 3636 S=4πR2=4π· 3737π 369 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)因为(a+c)(sinA-sinC)=(N2a-b)simB, 由正弦定理可得(a+c(a-c)=(N2a-b)b, 1分 所以a2-c2=√2ab-b2, 所以a2+b2-c2=V2ab, 2分 由余弦定理可得c0sC=Q+-c2V2 2ab 21 因为Ce@列，所以C=年， 4分 数学参考答案第6页（共10页) 又因为V5 esinC=a2+c2-6,所以y2 2 sin C=cosB=1 2 2 所以B=骨 6分 (2)由（1)可得A=元-B-C= J ..7分 12 设△ABC的外接圆的半径为R, b=2Rsin B=3R,c=2Rsin C=2R, 9分 所以S=cmA=5R6+5-=3tV5, .11分 4 可得R=2,所以c=2√2 13分 16.【解析】（1)依题意，得到2×2列联表如下： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 40 100 非中学生 30 70 100 合计 90 110 200 .2分 零假设为H。：该校学生喜欢足球与中学生身份无关。 .3分 根据列联表数据，计算得到 2 200×(60×70-40×30)2 ≈18.182>10.828， .6分 100×100×90×110 根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断H。不成立， 即认为该校学生喜欢足球与中学生身份有关. 7分 (2)依题意，3人进球总次数5的所有可能取值为0,1,2,3，…8分 .12分 所以随机变量5的分布列为： 5 0 1 2 3 P 1 11 1 100 100 2-5 5 所以5的盘孕期整为0-0x00+1 100 +2×2+3x12_-47 2 2520 …15分 数学参考答案第7页（共10页) 17.【解析】（1)由题意知，在Rt△CBD中，CD=√2，∠CBD=90°，以向量CB, CD,CC为基底，CA=CB+CD+CC①， 1分 C丽.cD-Cos.∠BcD=1,同理可得丽.CG=,D.cC-1,3分 ①式平方，得C4=(C丽+cD+CC)=CB+CD+CC+2C8.CD+2CB.CC+ 2CD.CC=9,....... 6分 所以CA=3.… .7分 (2)在△CCD中，CD2=CC2+CD2-2CC1 CDcos45°=1，CD=1, 又CC=CB=1,∠CCB=60°，所以△CCB为等边三角形， 所以CB=BD=CD=1,故△CDB为等边三角形， … .8分 取BD中点O,连接CO,则CO⊥BD,… …9分 又CB⊥BD,CC=CB+BO+OC②，… .10分 设二面角C-BD-C为0，则C8.B0=0,B0.0C=0,CB.0C=-CB0Cc0s0, ②式两边同时平方，得 CC=CB+B0+0C+2CB.B0+2B0.0C+2CB.OC=2-3 cos0, 所以2-V5cos9=1,cos0= ..14分 3 所以二面角C-BD-C的余孩值为5 …15分 18【解析1(1)由箱圆层+片=1(0b>0)的长轴长是短给长的2倍，得a=2b. 即a2=4b2, .1分 又椭圆E过，点 1V7 24 ,…3分 所以椭圆E的标准方程为 一十 -=1 .4分 2 (2)(i)当所=}时，直线的方程为y=-),设40x,W,8(%), 数学参考答案第8页（共10页) 1 y-消去y得，52-2x-7=0,则+-号5=号6分 2 7 由 x2+4y2=2 所以目G+-46- √17、123W17 .8分 455 (i)当kk2=-二时，直线l的方程为y=k(x-1),设P(x,y3),(x4,y4), 由=-》消去y得，(4+1x2-8x+4-2=0, x2+4y2=2 .10分 而P是弦AB的中，点， 则x3 4k 4+?为=5-0 4k+11 同理2 43 -k2 12分 43+1'4k3+1 因此△0Pe的面积Saw=2 sin∠P0e orloof-orfloo o roo =2o@-丽.0@-22++)(+w =y4桃】 2kk(飞-k》 24k2+14k2+14k22+14k2+1 16k2k22+4(飞2+k2)+1 k-。V6- ++ 1 82+k2)+482+2)+48k+)+4 .15分 8k2+2+2 1时， 8k2+k2+ PN max 所以△OPg面积的最大值为} ,17分 19.【解析】周为f()=a小-nx,20,所以了=-0- ，0. 1-L=-x+a …1分 数学参考答案第9页（共10页) 当a≥0时，因为x>0,所以f'(x)<0恒成立，则函数f(x)在(0，+o)内单调递减， 无极值. .2分 当a<0时，令f'(x)=0,得x=-a, 则当0<x<-a时，f'(x)>0,当x>-a时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(0，-a)内单调递增，在(-a,+oo)内单调递减， 函数f(x)的极大值为f(-a)=-l-a-n(-a),无极小值， …4分 综上所述，当a≥0时，函数f(x)无极值. 当a<0时，函数f(x)极大值为f(-a)=-1-a-n(-a）,无极小值.…5分 (2)①当a=-1时，bn=6-n,c. n(14-2b)n(2n+2) ) 6分 所以Tn=G+C2+…+Cn 0-》r6引日 2(n+) 8分 ②证明：由①知7 2+所以 1-2T .9分 1-2T)+2Tn+i' 且由(1)知当a=-1时，f(x)的极大值即最大值为f(-a)=f(1)=0, 所以，f)=a-小-h0板成立，即-≤ax,当且仅当x=1时等号成立 .11分 xn+i则1nn+i’ie,2,,n∈N n+i-1 n+i 所以L<hn+i=h(n+）-h(n+i-),ie{,2m,neN.l3分 n+i“n+i-l 令h(x)=x-sinx(x≥0)，则N'(x)=1-cosx≥0恒成立， 所以函数h(x)在[0，+∞)内单调递增， 则当x>0时，h(x)>h(0)=0,即x>sinx. 所以sinL<1<n(+i）-h(n+i-,ie{孔2，，neN.15分 nti n+i 所以 含70z立ae--bea+-u+明 ++[h(2)）-lh(2n-l]=ln(2m）-lhm=lh2=h2, 所以交 1-2T <n2.得证. .17分 n(1-2T)+2T 数学参考答案第10页（共10页）