精品解析：湖南郴州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 . 所以，有个元素． 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模的运算可得，再结合复数虚部的概念即可得解. 【详解】解：复数满足，则， 即复数的虚部为， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算及模的运算，重点考查了复数虚部的概念，属基础题. 3. 我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（ ） A. 150 km B. 100 km C. 175 km D. 125 km 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，则，得. 由，得． 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【解析】 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 5. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以 ， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 7. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设．设，根据已知条件得到的方程，从而得到的轨迹是圆．则的最小值为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径． 【详解】由，且，可设． 设，因为，所以， 整理得， 即的轨迹是圆心为，半径为的圆． 的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径， 故的最小值为． 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.16 B. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C. 估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（ ） A. 若直线的倾斜角为，则 B. 的最小值为8 C. 以线段为直径的圆恒与轴相切 D. 若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为， 与抛物线的方程联立得，所以， 因为，所以，故A正确； 对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则， 因为，当时，等号成立，所以，最小值为8，故B正确； 对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为， 因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确； 对于D，易知，若，则，，， 所以， 结合选项B的解析，可知，，， 代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误． 11. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接． 因为，所以异面直线与所成的角即与所成的角. 即∠,因为，＝1. 所以，． 所以． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】， 则图象向右平移个单位长度后的图象的解析式为： ， 已知关于y轴对称， ，解得， ， 的最小值为． 14. 设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个． 【答案】792 【解析】 【分析】结合正整数的二进制表示形式，根据已知条件确定的二进制的最多位数，利用分类计数原理计算即可. 【详解】正整数，其中，或，为的二进制表示形式. 表示二进制中1的个数，要求且. 因为，所以的二进制最多有13位（从到）. 要满足，即二进制中恰好有5个1，且，即最高位为1. 当二进制为5位时：最高位固定为1，剩余4位全为1，共个； 当二进制为6位时：最高位固定为1，剩余5位选4个为1，共个； 当二进制为7位时：最高位固定为1，剩余6位选4个为1，共个； 当二进制为8位时：最高位固定为1，剩余7位选4个为1，共个； 当二进制为9位时：最高位固定为1，剩余8位选4个为1，共个； 当二进制为10位时：最高位固定为1，剩余9位选4个为1，共个； 当二进制为11位时：最高位固定为1，剩余10位选4个为1，共个； 当二进制为12位时：最高位固定为1，剩余11位选4个为1，共个； 当二进制为13位时，最高位固定为1，此时4096化为二进制为1000000000000，只有1个1，不满足，排除. 所以满足题意的共有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析. 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为d．因为， 所以解得 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知． 因为， 所以 因为，所以． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. （1）证明：平面． （2）设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接菱形对角线、交于中点，利用三角形中位线得 ，由线面平行判定定理证平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再设上的点并表示出平面的法向量，根据面面垂直的法向量点积为零列方程，解得参数后算出的长度为. 【小问1详解】 连接，交于点，连接. 因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点. 因为为的中点，所以在中，是中位线，即. 因为平面平面，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，. 设平面的法向量为. 因为， 所以令，则. 设，则. 设平面的法向量为， 则 令，则. 若平面平面， 则，解得. 故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析，恒过定点 【解析】 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【小问1详解】 因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由 ，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 18. 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立. （1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点. （2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟. （i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求； （ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：. 【答案】（1） （2）（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布可求，结合导数可求其极大值点； （2）（i）根据团队得分为分可得；（ii）设剩余10人答对的题数为，根据二项分布可求，从而可求对应的，两者比较后可得正确的结论. 【小问1详解】 由题意可得， 因此. 令，且，得， 当时，，当时，， 所以的极大值点. 【小问2详解】 （i）若不需启动“全员补答”， 则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训. 答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分）， 总时间成本分钟（确定值），故. （ii）若启动“全员补答”， 则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7. 设剩余10人答对的题数为，则. 设团队的最终得分为，则， 若，则， 而 ， 答题时间为分钟， 培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训. 总时间成本的数学期望分钟. 因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟， 所以（ii）中的总时间成本的期望更小. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无零点. （3）若函数，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出函数最大值即可. （3）求出函数，等价变形不等式，换元并构造函数，再利用导数求出最小值即可得证. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以所求的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，设，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，即，则恒成立， 所以函数无零点. 【小问3详解】 依题意，函数的定义域为， 不等式 ，由（2）得，则， 令，则，令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（） A. B. C. D. 3. 我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（ ） A. 150 km B. 100 km C. 175 km D. 125 km 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 5. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（ ） A. 频率分布直方图中a的值为0.16 B. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C. 估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（ ） A. 若直线的倾斜角为，则 B. 的最小值为8 C. 以线段为直径的圆恒与轴相切 D. 若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为 11. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______． 14. 设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和，并证明． 16. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点. （1）证明：平面． （2）设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的标准方程； （2）设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 18. 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立. （1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点. （2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟. （i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求； （ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）证明：无零点. （3）若函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $