湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期5月期中检测数学试卷

湖南省长沙市周南中学2026年5月高二期中数学检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ） A. 127 B. C. D. 255 4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 从5名湖南籍球员（甲、乙、丙、丁、戊）中选出4人分别参加在四个湖南城市（长沙、株洲、永州、衡阳）举行的足球巡回推广活动，每个城市安排1人参加，每人只参加一个城市的活动，已知甲、乙两人不去长沙，不同的安排方案共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 120种 6. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 7. 某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门．新入职员工小张第1个月在甲部门工作．此后每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门，不会留在原部门）．记为经过次调动后（即第个月末）该员工在甲部门的概率，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，从点发出的光线经过图2中的点，反射后，分别经过点，，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B. 若随机变量服从二项分布，且，则 C. 相关系数时，样本点在同一直线上 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3．已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 的最小值为 D. 11. 已知函数，定义域均为，为偶函数，为奇函数，且，则（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则________．（用数字作答） 13. 若曲线在点处的切线也与曲线相切，则________． 14. 在四棱锥中，是边长为1的等边三角形，，，，，则四棱锥的外接球表面积为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）已知的面积为，求． 16. 2025年湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）于9月至12月在全省14个市州举行，主打“快乐足球，全民参与”的理念．赛事规定，每场比赛中每队同时上场的中学生球员不少于3人．某校足球社团为了解学生喜欢足球是否与“中学生身份”有关，随机抽取了本校中学生和非中学生各100名进行调查，部分数据如下表所示： 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 非中学生 70 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否判断该校学生喜欢足球与中学生身份有关？ （2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名中学生和1名非中学生示范点球射门，已知中学生进球的概率为，非中学生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，平行六面体中，，，，． （1）求对角线的长度； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作两条斜率分别为的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，弦的中点分别为． （ⅰ）当时，求弦长； （ⅱ）当时，求面积的最大值． 19. 已知函数 ． （1）求函数的极值； （2）当时，数列，且，； ①求数列的前项和； ②证明： ． 湖南省长沙市周南中学2026年5月高二期中数学检测卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】255 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 喜欢足球 不喜欢足球 合计 中学生 60 40 100 非中学生 30 70 100 合计 90 110 200 认为该校学生喜欢足球与中学生身份有关 （2） 0 1 2 3 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）当时，函数无极值．当时，函数极大值为，无极小值 （2）①；②证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $