8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面垂直”，核心涵盖二面角概念、平面角作法及面面垂直判定定理。通过课前自主预习落实二面角三要素等基础，课堂以梯度进阶式教学衔接，搭建从概念理解到定理应用的学习支架。 其亮点在于采用“微点助解”强化关键概念，“思维建模”总结“一作二证三求”等方法，结合正方体、正四棱锥等实例培养数学思维与空间观念。助力学生提升推理能力，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

8.6.3 平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小. 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.二面角的有关概念 (1)定义:从一条直线出发的_____________所组成的图形. (2)相关概念:①这条直线叫做二面角的____,②两个半平面叫做_____________. (3)画法: 两个半平面 棱 二面角的面 (4)记法:二面角_______或_________或_______或___________. (5)二面角的平面角:若有: ①O___l;②OA____α,OB ____ β; ③OA____l,OB____l,则二面角α-l-β的 平面角是__________. (6)二面角的范围:0°≤α≤180°. (7)直二面角:平面角是直角的二面角. α-l-β α-AB-β P-l-Q P-AB-Q ∈ ⊂ ⊂ ∠AOB ⊥ ⊥ |微|点|助|解| 构成二面角的平面角的三要素 　“棱上”“面内”“垂直”,即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性,第三个 要素决定了平面角所在的平面与棱垂直. 2.平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是___________,就说这两个平面互相垂直 画法 画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.如图 记作 α⊥β 直二面角 (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 如果一个平面过另一个平面的______,那么这 两个平面垂直 ⇒α⊥β 证面面 垂直 垂线 |微|点|助|解| (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”.要证明平面与平面垂直,只需转化为证明直线与平面垂直. (2)观察空间图形时,不能以平面的观点去看待,平面上画的两直线成锐角或钝角,在空间中可能是垂直的. 基础落实训练 1.如图所示的二面角可记为 (　　) A.α-β-l B.M-l-N C.l-M-N D.l-β-α √ 2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面(　　) A.有一个 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 解析:经过l的任一平面都和α垂直. 3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A.α∥γ 　B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 　D.以上都有可能 √ √ 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BC-A1的平面角等于_____. 45° 解析:根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角平面角定义可知,∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　二面角的概念及其大小计算 [例1]　如图,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB, SB=BC,求二面角E-BD-C的大小. 解:因为E为SC的中点,且SB=BC,所以BE⊥SC. 又DE⊥SC,BE∩DE=E,BE,DE⊂平面BDE, 所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC. 又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,SC,SA⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC. 从而BD⊥AC,BD⊥DE. 所以∠EDC为二面角E-BD-C的平面角. 设SA=AB=1,在△ABC中,因为AB⊥BC,所以SB=BC=,AC=, 所以SC=2.在Rt△SAC中,∠DCS=30°,所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C为60°. |思|维|建|模| 1.求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”. 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 针对训练 1.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为 (　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析:如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°得A'C=.因为M为A'C的中点,所以MC=AM=,且CM⊥BM, AM⊥BM,所以∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.因为AC=1,MC=MA=,所以∠CMA=90°. √ 2.已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧面与底面所成的二面角. 解:设正四棱锥为S-ABCD,如图所示, 高为h,底面边长为a, 则2a2=(2)2,∴a2=12. 又a2h=12,∴h==3. 设O为S在底面上的射影, 作OE⊥CD于E,连接SE,可知SE⊥CD,∠SEO为所求二面角的平面角. ∴tan∠SEO====. ∴∠SEO=60°. ∴侧面与底面所成二面角的大小为60°. 题型(二)　平面与平面垂直的判定 [例2]　如图,在四面体ABCS 中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°, 又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 证明:法一:(利用定义证明) 因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC, 所以△ASB和△ASC是等边三角形, 则有SA=SB=SC=AB=AC,令其值为a,则△ABC和 △SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D,如图所示, 连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,所以SD=a,BD==a. 在Rt△ABD中,AD=a. 在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S为直二面角, 故平面ABC⊥平面SBC. 法二:(利用判定定理) 因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°, 所以SA=AB=AC. 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为等腰直角三角形, 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点. 所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面SBC. [变式拓展] 本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S-ABC的体积呢? 解:由例2可得SD⊥AD. 又因为SD⊥BC,AD∩BC=D, 所以SD⊥平面ABC, 即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离. 因为S△ABC=×BC×AD=×2×=2,SD=, 所以VS-ABC=×S△ABC×SD=. |思|维|建|模| 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”; (3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面. 3.如图,四边形ABCD是边长为a的菱形, PC⊥平面ABCD,E是PA的中点, 求证:平面BDE⊥平面ABCD. 针对训练 证明:连接AC,设AC∩BD=O, 连接OE.因为O为AC的中点,E为PA的中点, 所以EO是△PAC的中位线.所以EO∥PC. 因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD. 又因为EO⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 (　　) A.0个 B.1个 C.无数个 D.1个或无数个 解析:当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 (　　) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α C.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 解析:∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β.又m⊂α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是 (　　) A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定 解析:如图,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,则∠BDC为二面角α-l-β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,所以∠A+∠BDC=180°. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABD翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B-AD-C的大小为 ( 　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD, CD⊥AD,故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角,其大小为60°.故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面结论成立的是 (　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 解析:如图所示,∵BC∥DF,BC⊄平面PDF,DF⊂平面PDF, ∴BC∥平面PDF,∴A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,得BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE,∴B正确.∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),∴D正确.若平面PDF⊥平面ABC,设DF∩AE=O,连接PO,易知PO⊥平面ABC,即点P在平面ABC的射影为点O,而在正四面体P-ABC中,点P在平面ABC的射影为正三角形ABC的中心,矛盾,∴C错误. √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图,在正双三棱锥P-ABC-Q中,PA,PB, PC两两互相垂直,则二面角P-AB-Q的余弦值为 (　　) A.- B.- C.- D.- √ 解析:如图,取AB中点D,连接PD,QD,PQ,交平面ABC于点O,连接OD,由正棱锥性质及对称性易知O为△ABC的中心,且PD⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ为二面角P-AB-Q的平面角,设正三棱锥侧棱长为2,易得AB=2,PD=DQ=, OD=AB=,则PQ=2PO=2=,在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P为线段A1B上的动点(不含端点), 则下列结论正确的是 (　　) A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1-D1PC的体积为定值 D.∠APD1的取值范围是 √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:连接PB1(图略),∵CB⊥平面BB1P,CB⊂平面CBP,∴平面CBP⊥平面BB1P,故A正确;连接DC1,CD1(图略),由DC1⊥对角面BCD1A1,可得DC1⊥PC,故B正确; 连接C1P(图略),=,底面积为定值,高BC为定值, 因此体积为定值,故C正确;连接AD1,设正方体的棱长为1,BP=x(0<x<), 在△APB中,∠ABP=,由余弦定理得AP2=AB2+BP2-2AB·BP·cos=x2+1-x.易知A1D1⊥A1P,则在Rt△D1A1P中,A1P=-x(0<x<),D1P2=A1+A1P2=1+ (-x)2=x2-2x+3,由余弦定理得cos∠APD1===, 当x=时,∠APD1为直角,当<x<时,cos∠APD1<0,此时∠APD1为钝角, 故D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.米斗是称量粮食的量器,是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.如图为一倒正四棱台型米斗,高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上,且一个底面的中心与球O的球心重合,则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 解析:由题意,作出正四棱台的对角面,如图,AD为正四棱台上底面正方形对角线,BC为正四棱台下底面正方形对角线, O为外接球球心,且为线段BC的中点,则OD=OA=OB=OC=50,过点D作DE⊥BC,垂足为E,则∠DCE即为所求角.因为OD=50, DE=40,所以OE=30,所以EC=20,所以DC=20,所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α, B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的 正弦值是__________. 解析:如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ. 由图得sin θ==·=sin 30°sin 60°=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有__________对. 解析:∵AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,AB⊂平面ABD, ∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD, ∴DC⊥平面ABC.又DC⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面ABC, ∴共有3对互相垂直的平面. 3 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°, A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED=__________. 90° 解析:如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD中点F, 连接AF,CF.由题意可得,AF=CF=a,∠AFC=90°. 在Rt△AFC中,可得AC=a,∴△ACD为正三角形. ∵E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD, 则平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小 为__________. 30° 解析:因为AC⊥平面 BCD,BD⊂平面 BCD, 所以BD⊥AC. 又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,所以BD⊥平面 ACD. 因为AD⊂平面 ACD,所以AD⊥BD. 所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角. 在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,在直角三角形ABC中,AB=BC, D为AC的中点,以BD为折痕将△ABD折起, 使点A到达点P的位置,且PB⊥CD. 求证:平面PBD⊥平面BCD. 证明:∵在直角三角形ABC中,AB=BC,D为AC的中点, ∴BD⊥CD,又∵PB⊥CD,BD∩PB=B, ∴CD⊥平面PBD.∵CD⊂平面BCD. ∴平面PBD⊥平面BCD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O, 点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD. 求证:(1)直线PA∥平面BDE;(5分) 证明:如图,连接OE,因为O为平行四边形ABCD对角线的交点, 所以O为AC的中点. 又E为PC的中点, 所以OE∥PA. 因为OE⊂平面BDE, PA⊄平面BDE,所以直线PA∥平面BDE. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)平面BDE⊥平面PCD.(5分) 证明:因为OE∥PA,PA⊥PD,所以OE⊥PD. 因为OP=OC,E为PC的中点,所以OE⊥PC. 又PD⊂平面PCD,PC⊂平面PCD,PC∩PD=P, 所以OE⊥平面PCD. 因为OE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置,使CD=AC. (1)求证:平面ABD⊥平面ABC;(7分) 解:证明:如图,取AB的中点O,连接OD,OC. ∵△ABD是等腰直角三角形, ∴DO⊥AB,且DO=AD.同理得CO⊥AB,且CO=AC. ∵AD=AC,∴DO=CO=AC.∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2. ∴△CDO为等腰直角三角形,DO⊥CO. 又AB∩CO=O,∴DO⊥平面ABC. 又DO⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求二面角C-BD-A的余弦值.(8分) 解:取BD的中点E,连接CE,OE. 易知△BCD为等边三角形,∴CE⊥BD. 又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC为二面角C-BD-A的平面角. 由(1)易证得CO⊥平面ABD,∴CO⊥OE. ∴△COE为直角三角形. 设BC=1,则CE=,OE=, ∴cos∠OEC==, 即二面角C-BD-A的余弦值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $