精品解析：天津市崇化中学2025-2026学年第二学期高二期中阶段测试数学试卷

2025-2026学年度第二学期高二期中阶段测试数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分） 1. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案． 【详解】函数的定义域为， 设，则，故为偶函数， 其图象关于轴对称，则B中图象错误； 又当时，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故A、C错误，故选D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合二项式定理求解即可. 【详解】因为，展开式第项， 当时，，当时，， 故，即. 故选：B 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 7. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 故选：D 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数画出函数的图象，再利用导数的几何意义，求出与相切时的取值，再利用数形结合求的取值范围. 【详解】，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 且时，，当时，的最大值为， 如图，画出函数的图象， 如图，当与相切时，与有3个交点， 设切点， 则切线方程为，因为切线过原点， 所以，则，， 所以， 所以直线与相切时，直线的斜率， 如图，若直线与有4个交点，即函数有4个不同的零点， 则，解得：， 所以的取值范围是. 10. 已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，定义域为. 因为函数有两个极值点，所以有两个不相等的正根，并且这两正根分别为，则有解得，所以选项A错误； 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：． 因为，且，所以，所以，且，即，故BD错误. 又因为. 所以. 所以，所以选项C正确. 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 12. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 13. 已知随机变量X的分布列如表，则的值为______. X 1 2 3 4 P 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列可求得随机变量的数学期望， 进而可求出方差.再利用公式即可求得答案. 【详解】由随机变量的分布列可得的数学期望， 所以的方差， 所以， 所以. 故答案为:. 14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式可求得智能客服的回答被采纳的概率，由二项分布概率公式可求得最终结果. 【详解】记事件：智能客服的回答被采纳；事件：输入的问题表达清晰； 由题意知：，，，， ， 输入个问题，智能客服的回答被采纳次的概率. 15. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过，对于结合基本不等式求得最小值，对于通过求导确定最小值，即可求解. 【详解】对任意，存在使得， 等价于  ， ，  令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ，  ，  ，  当且仅当等号成立，  ，故   因为，所以，即，  ， 因此正数的最小值为. 三、解答题 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 【答案】（1）； （2）； （3）最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）先求导，再代入求值； （2）设，求的切线，即为的切线； （3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性. 【小问1详解】 ， ， 所以. 【小问2详解】 设，则， ，， 所以在处的切线方程为，即. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，，即，单调递减 ，，即，单调递增， 所以的最小值为，无最大值. 17. 在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2），， 【解析】 【小问1详解】 二项式展开式的通项为. 其中， 前3项系数依次为，，. 由前3项系数成等差数列，得. 整理得，解得（舍去）. 令，即，解得. 代入通项得系数：. 【小问2详解】 有理项要求为整数，即是4的倍数. 又，故. ： ： ： 所以所求有理项为 18. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）甲最终获胜有两种情况：前2局赢、三场输一场赢两场，据此求解概率； （2）由（1）可得甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【小问1详解】 记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即甲最终获胜的概率为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 19. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 【答案】（1）分布列见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （2）设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式圆求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望. 【小问2详解】 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以. 20. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1）无极值 （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导判断单调性即可； （2）分和两种情况讨论； （3）把问题转化为在时恒成立，进而转化为求的最小值，利用导数求出函数的极小值即可求解. 【小问1详解】 当时， ， ∵的定义域为，∴恒成立， ∴在上单调递增，故函数无极值. 【小问2详解】 ∵， 令， ①当时，，，∴在 单调递增； ②当时，令，得或（舍） 当变化时， ，的变化情况如下： x + 0 单调递增 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 当时，， 依题意可得，在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 令 ，则在时恒成立，∴在上单调递增， 又 ， ， ∴在上存在唯一实数，使得 ，即 ， ∴当时， ，，单调递减； 当时， ，，单调递增； ∴当在处取得极小值，也是最小值. ∴ ； ∴， 故整数的最大值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二期中阶段测试数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分） 1. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 7. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数有4个不同的零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个极值点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 若，则_______．（用数字作答） 12. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 13. 已知随机变量X的分布列如表，则的值为______. X 1 2 3 4 P 14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______ 15. 函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 三、解答题 16. 已知函数 ，是的导函数. （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值. 17. 在的展开式中，前3项的系数依次成等差数列. （1）求展开式中的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 18. 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的． （1）当时，求甲最终获胜的概率； （2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 19. 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. （1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望； （2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 20. 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $