2026年中考数学三轮冲刺09：几何图形中的新定义问题（全国通用）

三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺09:几何图形中的新定义问题专项 中考全国考情分析 1、考查地位与分值占比 几何新定义问题是中考数学创新型必考压轴题型，全国各省市均高频考查，常以选择、填空压轴题或解答题探究小问形式出现。该模块直接考查分值占比约4%-7%，侧重考查对新定义的理解、转化、迁移、推理能力，是区分高分段、检验几何综合素养的核心题型，为三轮冲刺重点突破内容。 2、核心考查内容 基础定义应用：新定义点、新定义线段、新定义距离的识别与简单计算；图形类定义：新定义三角形、新定义四边形、新定义圆的性质判定与推导；变换类定义：折叠、旋转、平移的新定义规则应用与动态探究；核心能力：文字语言转几何语言、新定义转化为旧知识、逻辑推理、数形结合、分类讨论。 3、命题趋势 定义简洁化：题干给出简短新定义，不设置复杂阅读障碍，聚焦几何应用；知识综合化：单一新定义结合三角形、四边形、圆、坐标系、函数多模块知识；动态探究化：结合动点、动直线、动图形，探究新定义图形的存在性、最值、个数；迁移能力化：重点考查用已学几何公理、定理、模型解决新定义问题的迁移能力。 核心题型及具体解决方法 题型一：新定义点问题 模型特征题目给定特殊点的几何定义（如等距点、和谐点、关联点、完美点、限距点），要求判断点的存在性、求点的坐标 / 个数、确定点的运动范围。 解题方法 吃透定义：提炼定义核心几何条件（距离相等、角度固定、比例关系、位置约束）； 知识转化：将新定义转化为垂直平分线、角平分线、圆、相似、坐标系轨迹等已学知识； 画图定位：根据定义画出点的运动轨迹（直线型、圆型、曲线型）； 验证取舍：结合图形存在性、范围限制，排除不符合定义的解。 （2025·江苏苏州·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果A为函数图象上一点，点A的纵坐标是点A横坐标的2倍，我们称点A为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”．例题 ①点为函数的“和谐点”； ②函数的图象经过函数的“和谐点”，则m的值为3； ③若“和谐二次函数”的图象与直线的交点是“和谐点”，则这样的“和谐二次函数”有两个； ④若二次函数是“和谐二次函数”，点，线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则n的取值范围为或； 上述结论正确个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵， ∴当时，， 又∵， ∴点为函数的“和谐点”；故①正确； ∵， ∴当时，则：， ∴， ∴的和谐点为：或， 当经过时，，解得：； 当经过时，，解得：；故②错误； ∵“和谐二次函数”的图象与直线的交点是“和谐点”， ∴的图象经过点，且是的顶点， ∴，故③错误； ∵二次函数是“和谐二次函数”，对称轴为直线， ∴二次函数的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴在直线上， ∵线段与抛物线只有1个交点，如图，有两种情况： ①，此时满足条件； ②，即：； 故④正确； 综上，正确的有2个； 故选B． 题型二：新定义线段 / 直线问题 模型特征定义特殊线段（如等角线、分割线、调和线、特征中线）或特殊直线，要求求线段长度、直线解析式、判定直线位置关系。 解题方法 拆解定义：明确线段 / 直线的核心性质（平分角度 / 面积、比例分割、垂直 / 平行约束）； 性质转化：转化为全等三角形、相似三角形、勾股定理、面积公式求解； 关系推导：结合图形基本性质，推导线段数量关系与直线位置关系； 定义核验：最终结果需满足新定义的全部要求。 （2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．例题 (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 题型三：新定义三角形问题 模型特征定义特殊三角形（如倍角三角形、友好三角形、等腰倍边三角形、等补三角形），要求判定形状、求边长 / 角度、探究存在性。 解题方法 提取特征：抓住定义中三角形的边、角、比例核心特征； 定理应用：用三角形内角和、勾股定理、相似、三角函数推导边角关系； 分类讨论：边 / 角不确定时，按定义分类枚举所有可能； 存在验证：结合三角形三边关系、内角和规则排除无效解。 （2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________．例题 【答案】 【详解】解：在等边三角形中，， ∴，符合题意， ∴等边三角形一定是“方倍三角形”， 对于直角三角形，举例边长为、、的直角三角形， ∵，，，不符合题意， ∴直角三角形不一定是“方倍三角形”； 由折叠的性质可知，，，， ∵为“方倍三角形”， ∴或或， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴， 同理，当时，则， 综上，是等边三角形， 如图，延长交于点， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型四：新定义四边形问题 模型特征定义特殊四边形（如等对边四边形、对角互补四边形、特征平行四边形、准菱形），要求判定四边形、求边长 / 面积、证明性质。 解题方法 紧扣定义：锁定四边形边、角、对角线的核心约束条件； 模型转化：转化为平行四边形、矩形、菱形、梯形的性质与判定； 工具求解：用全等、相似、面积法、坐标法计算与证明； 动态分析：动点型新定义四边形，结合轨迹分析形状与最值。 （2026·广东深圳·二模）我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．例题 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． (1)以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 (4)在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3) (4)或 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，但不一定互补，所以平行四边形不是对等补四边形； ②矩形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； ③菱形的对角相等，但不一定互补，所以菱形不是对等补四边形； ④正方形符合对等补四边形的定义，是对等补四边形； 综上，是对等补四边形的是②④； （2）证明：∵四边形是对等补四边形，且， ∴，且， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：延长至点E，使，连接， ∵四边形是对等补四边形，且， ∴，． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． （4）解：①当时，如图所示： 根据解析（3）可得：，， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，过点A作于点H，过点B作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据解析（3）可知：，， ∴， ∵， ∴A、B、E、C四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， 即A、B、C、D四点在的外接圆上， ∵A、B、E、C四点共圆，即A、B、E、C四点在的外接圆上， ∴A、B、E、C、D五个点都在的外接圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 题型五：新定义图形变换问题 模型特征对折叠、旋转、平移赋予新定义（如完美旋转、特色折叠、定向平移），探究变换后图形性质、求线段 / 角度、解决动态问题。 解题方法 保留基性：新定义变换不改变基础变换的核心性质（全等、边长不变、旋转角相等）； 规则应用：严格遵循新定义的变换约束条件（角度、方向、位置限制）； 性质推导：结合新定义与基础变换性质，推导边角关系； 动态探究：分析变换全过程，确定临界位置与特殊状态。 （2026·吉林松原·一模）综合与实践例题 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： (1)【初步探究】如图①，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：； (2)【类比探究】如图②，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，直接写出的值； (3)【深入探究】如图③，已知矩形中，，将矩形顺时针旋转得矩形，点在的延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得， ，， ，， ， ， ， ， 又， ； （2）解：如下图所示，过点作于点， 设正方形的边长为，则， 旋转后，， ， ， ， ； （3）解：， 证明：如下图所示，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，连接， ，，， 点在的延长线上， ， ， 旋转角为， ， ， ， ， 即， 在和中，， ， ，， ， 即点、、在同一直线上， 为的中点， 设， 在中，， ， 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得：， ． 题型六：新定义圆相关问题 模型特征定义圆的特殊点、特殊线、特殊位置关系（如关联圆、等距圆、特色切线），要求求半径、判断位置关系、探究存在性。 解题方法 条件提取：明确新定义中圆的半径、点圆关系、线圆关系、圆圆关系； 定理应用：用垂径定理、圆周角定理、切线性质、点圆距离公式求解； 位置分析：结合圆的对称性、轨迹分析点 / 线与圆的位置； 定义核验：结果满足圆的新定义与几何基本性质。 （2026·安徽铜陵·一模）校园创客社团设计“创意车轮”，探究不同形状车轮的平稳性与轨迹特征例题 【创客任务一：基础形状车轮探究】 (1)圆形车轮：如图1，设计半径为的圆形车轮，滚动时轴心到地面的距离始终等于半径，则车轮最高点到地面的距离为______cm； (2)正方形车轮：如图2，边长为的正方形车轮，其轴心是对角线的交点，车轮滚动时，轴心到地面的最高高度与最低高度的差为______cm； (3)正三角形车轮：如图3，边长为的正三角形车轮，轴心是三边垂直平分线的交点（正三角形的中心），车轮无滑动滚动一周，求点经过的路径长； 【创客任务二：莱洛三角形车轮探究】 (4)如图4，分别以正三角形（边长为）的三个顶点为圆心、边长为半径作的圆弧，形成“莱洛三角形”（定宽曲线，宽度等于正三角形边长），让其从初始位置向右无滑动滚动一周，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)A 【详解】（1）解：如图1，设计半径为的圆形车轮，滚动时轴心到地面的距离始终等于半径， 则车轮最高点到地面的距离为； （2）解：如图，过点O作于点B，以点A为圆心，为半径画弧交正方形的边于点C，如图， ∵O为正方形的中心，， ∴圆心O距离地面的最低距离为， 由题意得：， ∵点O的移动轨迹为以点A为圆心，为半径的弧， ∴点C为车轮轴心O距离地面的最高点， ∵， ∴最高点与最低点的高度差为； （3）解：连接，过点O作于点C，如图， ∵O为等边三角形的中心， ∴， ∵为等边三角形的中心， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ， 的长， ∴车轮在地面上无滑动地滚动一周，点O经过的路径长为. （4）解：由题意得：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动时，在滚动过程中，其“最高点”与水平线距离保持不变， ∴其“最高点”的移动路径是水平的， ∵“车轮轴心O”到水平平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环， ∴其“最高点”和“车轮轴心O”所形成的图形按上、下放置，应大致为：A． 经典模拟题 1．（2026·安徽阜阳·二模）学校数学社团开展探究活动，研究了“9m（m为正整数）的数字规律”的问题．社团学生将探究的部分信息整理如下： 当时，记，表示两位数，即． 当时，； 当时，； 当时，； …… 按照上述规律，完成下列问题： (1)________________； ②根据一般形式，猜想a，b，m的关系：直接写出________，________；（用含m的代数式表示） (2)请证明上述猜想的正确性． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【详解】（1）解：根据题意，； 由规律知，； （2）证明：将代入， 得． 2．（2026·广东东莞·二模）综合与探究：若正数a、b、c满足，且． (1)探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，__________． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：____________________________________ ，． ， ． ，即． 同理， 第二步 ． 根据不等式的放缩法：因为是三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 解得． 根据不等式的性质． 第四步 又， 根据不等式的放缩法： _____________________________________________ 第五步 ，解得． 根据不等式的性质． 第六步 ． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． (2)探究二：探究方程的正整数解． 若a、b、c为三个正整数，求所有满足条件的a、b、c的值． 【答案】(1)分数越小；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；因为这两个数都大于0，所以一定大于． (2)a、b、c的值为2、3、6或2、4、4或3、3、3． 【详解】（1）解：第一步：思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，分数越小． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 第四步：因为这两个数都大于0，所以一定大于． （2）解：由（1）得，且正整数a、b、c满足， 正整数a的取值为2或3． ①当时，． ， ， ． 解得． ． 当时，，与题意不符，舍去． 当时，．则． 当时，．则． ②当时，． ． ， 解得． ， ，此时，则． 综上所述，a、b、c的值为2、3、6或2、4、4或3、3、3． 3．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】(1)， (2)10 (3)轴对称的性质；两点之间，线段最短 (4) (5)见解析 【详解】（1）解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； （4）解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； （5）证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 4．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一，见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）答案不唯一，如答图1，点即为所求.         （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 5．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】(1)米 (2)点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接并延长交于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，米． 在中，， ， 设米，则米． ∴米． 在中， ， ， 解得， 米． 米． 答：灯塔的高度为米． （2）解：点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内．理由如下： 如图2．由题意，得米． 在中， 即； ∴（米），（米）． ∴，； ∴点F在安全航道范围内，且在灯光照射范围内． 6．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：，理由如下: 由题得， ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， （负值舍去）； （3）解：如图，连接，，，，和相交于点， 矩形与矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， ， ，、、三点共线， ， ， ，， ， ； （4）解：将矩形绕点逆时针旋转， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时最大， ， ， 由（3）得， ， ． 7．（2026·安徽合肥·二模）【项目主题】 若一个正数可以表示为两个正整数的平方差，即，（a，b为正整数，且），则称这个数为智慧数．例如：，，，因此3，5，7均是智慧数．某思维体操数学学习小组对智慧数的分布规律展开探究． 【项目分析】 小组讨论提出四种选项的猜想： 选项 猜想 A 智慧数的分布与正整数的奇偶性有关 B 智慧数的分布与正整数是否为质数有关 C 智慧数的分布与正整数的因数个数有关 D 智慧数的分布与正整数除以4的余数有关 【项目解决】 探究多变量问题时，常用控制变量法：保持其他量不变，只改变一个量，观察结论变化． 任务一：问题筛选 (1)质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数，由此说明猜想①_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； (2)奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数，由此说明猜想②_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； 任务二：探究论证 由智慧数定义及平方差公式变形： 可知：与同奇、同偶，且． 按正整数除以4的余数分类探究，整理表格如下： 除以4的余数 1 2 3 0 举例 5，9 2，6，10 3，7，11 8，12，16 是否为智慧数 是 否 是 是 归纳核心规律： 形如（k为自然数）的数一定不是智慧数； 大于等于3的奇数、大于等于8的4的倍数，都是智慧数： 特例：1、4不是智慧数． (3)完成下表填空： 正整数n 13 14 15 16 是否为智慧数 是 ③_________ 是 ④_________ 任务三：项目应用 (4)计算：在这2026个正整数中，智慧数一共有⑤_________个． (5)若一个智慧数有3种不同的平方差表示方法，且满足，则满足此条件的最大智慧数为⑥_________． 【答案】(1)B (2)A (3)否，是 (4)1517 (5)99 【详解】（1）解：质数 3、5 是智慧数，质数 2 不是智慧数，说明 “智慧数的分布与正整数是否为质数有关” 这一猜想B不成立． （2）解：奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定，说明 “智慧数的分布与正整数的奇偶性有关” 这一猜想A不成立． （3）解：，属于非智慧数，即填“否”； ，是4的倍数且，属于智慧数，即填“是”． （4）解：非智慧数包括：1、4、（，且）， ，解得：，共507个（到506）． 加上1和4，非智慧数总数为：个． 所以智慧数总数：个． （5）解：要满足3种不同表示方法，n需有至少3组不同的分解（且a，b为正整数，）． 智慧数n的分解需满足：与同奇偶，且． ∴最大的且符合条件的数为99，即，共3种表示方法． 8．（2026·福建泉州·二模）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 【答案】(1)①，②，③ (2)是定值，理由见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接 ， ，， ， ， ， 同理，，， 六边形的内角和为 ， ， ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． （2）解： 是定值，且 ． 理由如下： ∵由平行六边形有，，， ∴，相似比为 ， ，即 ， ； 同理：，相似比为 ，得 ， ，相似比为 ，得 ， 在 中，由边的关系： ， 即： ， ， , ， ； （3）解：设的面积为， 由相似三角形面积比等于相似比的平方， ， ， 六边形面积：， ， ， 由 ，设 ，则 ， ， 当 时， 取最小值． 此时 取最大值：． 9．（2026·山西晋城·二模）综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： (1)如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： (2)如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： (3)如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵四边形为双等腰四边形，， ， 为等腰直角三角形， ； （2）证明：由平移的性质可知，，， ∴四边形是平行四边形，，， ， ， 在中， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， 如图①，连接， ∵，∴是等边三角形， ，∴四边形是双等腰四边形； （3）解：的值为或． 解：∵四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∵四边形为双等腰四边形， ∴有以下两种情况：①当时，如图②，过点作于点， ，， 为的中点， ， ∵在矩形中，， ， ∴四边形为矩形， ， 又， ， ， ， ； ②当时，如图③，过点作于点， ， 为的中点，，， 设，则， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，由可得， ， ． 综上所述，的值为或． 真题再现 1．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 3．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 4．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） 如图2，在射线上截取，连接， ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． （2）解：正五边形的一个内角为 如图4，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 故答案为：． 5．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 6．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 9．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 10．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【详解】（1）解：同理，在中，， 在中  ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，，∴， 在中，，   ∴，∴ ， 同理，在中，， 在中，可得，， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是，故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $三轮稳扎基础，巧练技巧，中考数学稳拿高分！ 中考数学三轮冲刺09:几何图形中的新定义问题专项 中考全国考情分析 1、考查地位与分值占比 几何新定义问题是中考数学创新型必考压轴题型，全国各省市均高频考查，常以选择、填空压轴题或解答题探究小问形式出现。该模块直接考查分值占比约4%-7%，侧重考查对新定义的理解、转化、迁移、推理能力，是区分高分段、检验几何综合素养的核心题型，为三轮冲刺重点突破内容。 2、核心考查内容 基础定义应用：新定义点、新定义线段、新定义距离的识别与简单计算；图形类定义：新定义三角形、新定义四边形、新定义圆的性质判定与推导；变换类定义：折叠、旋转、平移的新定义规则应用与动态探究；核心能力：文字语言转几何语言、新定义转化为旧知识、逻辑推理、数形结合、分类讨论。 3、命题趋势 定义简洁化：题干给出简短新定义，不设置复杂阅读障碍，聚焦几何应用；知识综合化：单一新定义结合三角形、四边形、圆、坐标系、函数多模块知识；动态探究化：结合动点、动直线、动图形，探究新定义图形的存在性、最值、个数；迁移能力化：重点考查用已学几何公理、定理、模型解决新定义问题的迁移能力。 核心题型及具体解决方法 题型一：新定义点问题 模型特征题目给定特殊点的几何定义（如等距点、和谐点、关联点、完美点、限距点），要求判断点的存在性、求点的坐标 / 个数、确定点的运动范围。 解题方法 吃透定义：提炼定义核心几何条件（距离相等、角度固定、比例关系、位置约束）； 知识转化：将新定义转化为垂直平分线、角平分线、圆、相似、坐标系轨迹等已学知识； 画图定位：根据定义画出点的运动轨迹（直线型、圆型、曲线型）； 验证取舍：结合图形存在性、范围限制，排除不符合定义的解。 （2025·江苏苏州·二模）定义：在平面直角坐标系中，如果A为函数图象上一点，点A的纵坐标是点A横坐标的2倍，我们称点A为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”．例题 ①点为函数的“和谐点”； ②函数的图象经过函数的“和谐点”，则m的值为3； ③若“和谐二次函数”的图象与直线的交点是“和谐点”，则这样的“和谐二次函数”有两个； ④若二次函数是“和谐二次函数”，点，线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则n的取值范围为或； 上述结论正确个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：新定义线段 / 直线问题 模型特征定义特殊线段（如等角线、分割线、调和线、特征中线）或特殊直线，要求求线段长度、直线解析式、判定直线位置关系。 解题方法 拆解定义：明确线段 / 直线的核心性质（平分角度 / 面积、比例分割、垂直 / 平行约束）； 性质转化：转化为全等三角形、相似三角形、勾股定理、面积公式求解； 关系推导：结合图形基本性质，推导线段数量关系与直线位置关系； 定义核验：最终结果需满足新定义的全部要求。 （2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．例题 (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 题型三：新定义三角形问题 模型特征定义特殊三角形（如倍角三角形、友好三角形、等腰倍边三角形、等补三角形），要求判定形状、求边长 / 角度、探究存在性。 解题方法 提取特征：抓住定义中三角形的边、角、比例核心特征； 定理应用：用三角形内角和、勾股定理、相似、三角函数推导边角关系； 分类讨论：边 / 角不确定时，按定义分类枚举所有可能； 存在验证：结合三角形三边关系、内角和规则排除无效解。 （2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________．例题 题型四：新定义四边形问题 模型特征定义特殊四边形（如等对边四边形、对角互补四边形、特征平行四边形、准菱形），要求判定四边形、求边长 / 面积、证明性质。 解题方法 紧扣定义：锁定四边形边、角、对角线的核心约束条件； 模型转化：转化为平行四边形、矩形、菱形、梯形的性质与判定； 工具求解：用全等、相似、面积法、坐标法计算与证明； 动态分析：动点型新定义四边形，结合轨迹分析形状与最值。 （2026·广东深圳·二模）我们把对角互补且存在一组对边相等的四边形称为对等补四边形，此时该四边形的另一组对边平行．例题 例如图1所示，若，，则称四边形为对等补四边形，且有． (1)以下图形属于对等补四边形的有__________（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 (2)如图2，四边形为对等补四边形（），小明发现当时，四边形恰好为矩形，请你帮他证明这一结论； (3)如图3，四边形为对等补四边形，，，对角线平分角，求线段AC的长度 (4)在问题（3）的条件下，平面内存在点E使得四边形为对等补四边形，线段与线段交于点Q，请直接写出线段的长． 题型五：新定义图形变换问题 模型特征对折叠、旋转、平移赋予新定义（如完美旋转、特色折叠、定向平移），探究变换后图形性质、求线段 / 角度、解决动态问题。 解题方法 保留基性：新定义变换不改变基础变换的核心性质（全等、边长不变、旋转角相等）； 规则应用：严格遵循新定义的变换约束条件（角度、方向、位置限制）； 性质推导：结合新定义与基础变换性质，推导边角关系； 动态探究：分析变换全过程，确定临界位置与特殊状态。 （2026·吉林松原·一模）综合与实践例题 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究： (1)【初步探究】如图①，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：； (2)【类比探究】如图②，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，直接写出的值； (3)【深入探究】如图③，已知矩形中，，将矩形顺时针旋转得矩形，点在的延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程． 题型六：新定义圆相关问题 模型特征定义圆的特殊点、特殊线、特殊位置关系（如关联圆、等距圆、特色切线），要求求半径、判断位置关系、探究存在性。 解题方法 条件提取：明确新定义中圆的半径、点圆关系、线圆关系、圆圆关系； 定理应用：用垂径定理、圆周角定理、切线性质、点圆距离公式求解； 位置分析：结合圆的对称性、轨迹分析点 / 线与圆的位置； 定义核验：结果满足圆的新定义与几何基本性质。 （2026·安徽铜陵·一模）校园创客社团设计“创意车轮”，探究不同形状车轮的平稳性与轨迹特征例题 【创客任务一：基础形状车轮探究】 (1)圆形车轮：如图1，设计半径为的圆形车轮，滚动时轴心到地面的距离始终等于半径，则车轮最高点到地面的距离为______cm； (2)正方形车轮：如图2，边长为的正方形车轮，其轴心是对角线的交点，车轮滚动时，轴心到地面的最高高度与最低高度的差为______cm； (3)正三角形车轮：如图3，边长为的正三角形车轮，轴心是三边垂直平分线的交点（正三角形的中心），车轮无滑动滚动一周，求点经过的路径长； 【创客任务二：莱洛三角形车轮探究】 (4)如图4，分别以正三角形（边长为）的三个顶点为圆心、边长为半径作的圆弧，形成“莱洛三角形”（定宽曲线，宽度等于正三角形边长），让其从初始位置向右无滑动滚动一周，在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“车轮轴心”所形成的图形按上、下放置，应大致为______． 经典模拟题 1．（2026·安徽阜阳·二模）学校数学社团开展探究活动，研究了“9m（m为正整数）的数字规律”的问题．社团学生将探究的部分信息整理如下： 当时，记，表示两位数，即． 当时，； 当时，； 当时，； …… 按照上述规律，完成下列问题： (1)________________； ②根据一般形式，猜想a，b，m的关系：直接写出________，________；（用含m的代数式表示） (2)请证明上述猜想的正确性． 2．（2026·广东东莞·二模）综合与探究：若正数a、b、c满足，且． (1)探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，__________． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：____________________________________ ，． ， ． ，即． 同理， 第二步 ． 根据不等式的放缩法：因为是三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 解得． 根据不等式的性质． 第四步 又， 根据不等式的放缩法： _____________________________________________ 第五步 ，解得． 根据不等式的性质． 第六步 ． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． (2)探究二：探究方程的正整数解． 若a、b、c为三个正整数，求所有满足条件的a、b、c的值． 3．（2026·湖北·模拟预测）研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： (1)作法：作点关于轴的对称点（    ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） (2)求法：由作法知：，的长度是__________； (3)说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； (4)应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） (5)悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 4．（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）综合与实践 【主题】某市海上灯塔的高度测量与航道安全规划 在某市海洋经济发展项目中，海上灯塔是保障航道安全的重要设施．某中学数学社团开展“海上灯塔的数学测量与航道规划”项目式学习活动，利用数学知识探究灯塔高度测量与航道安全距离的计算问题．请结合活动素材，完成以下实践探究． 【素材准备】 1．某市某港口附近有一座海上灯塔，其底部N位于海平面，顶部M为灯光发射点； 2．社团成员在港口岸边的A点使用测角仪测量灯塔顶部的仰角，测角仪的高度米（B为测角仪顶部）； 3．为保障航道安全，船只航行时与灯塔底部N的水平距离不得小于200米，该距离称为安全航道半径． 【实践探究一】 (1)如图1，若社团成员在A处测得灯塔顶部M的仰角为，从A点向灯塔方向沿直线行走50米到达D点，在D处测得灯塔顶部M的仰角为（所有点都在同一平面内，且点A，D，N在同一条水平线上），求灯塔的高度．（结果保留根号） 【实践探究二】 (2)如图2，已知灯塔灯光最远的照射点为P，此时最大照射距离米．某船只在灯塔正东方向的点F处，若从点F测得灯塔顶部M的仰角为，判断上述点F是否在安全航道以及灯光照射范围内，并说明理由（灯塔高度取实践探究一的结果，船只看作一个点）．（结果保留整数．参考数据：） 6．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 7．（2026·安徽合肥·二模）【项目主题】 若一个正数可以表示为两个正整数的平方差，即，（a，b为正整数，且），则称这个数为智慧数．例如：，，，因此3，5，7均是智慧数．某思维体操数学学习小组对智慧数的分布规律展开探究． 【项目分析】 小组讨论提出四种选项的猜想： 选项 猜想 A 智慧数的分布与正整数的奇偶性有关 B 智慧数的分布与正整数是否为质数有关 C 智慧数的分布与正整数的因数个数有关 D 智慧数的分布与正整数除以4的余数有关 【项目解决】 探究多变量问题时，常用控制变量法：保持其他量不变，只改变一个量，观察结论变化． 任务一：问题筛选 (1)质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数，由此说明猜想①_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； (2)奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数，由此说明猜想②_________不成立（填猜想对应的选项字母即可）； 任务二：探究论证 由智慧数定义及平方差公式变形： 可知：与同奇、同偶，且． 按正整数除以4的余数分类探究，整理表格如下： 除以4的余数 1 2 3 0 举例 5，9 2，6，10 3，7，11 8，12，16 是否为智慧数 是 否 是 是 归纳核心规律： 形如（k为自然数）的数一定不是智慧数； 大于等于3的奇数、大于等于8的4的倍数，都是智慧数： 特例：1、4不是智慧数． (3)完成下表填空： 正整数n 13 14 15 16 是否为智慧数 是 ③_________ 是 ④_________ 任务三：项目应用 (4)计算：在这2026个正整数中，智慧数一共有⑤_________个． (5)若一个智慧数有3种不同的平方差表示方法，且满足，则满足此条件的最大智慧数为⑥_________． 8．（2026·福建泉州·二模）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 9．（2026·山西晋城·二模）综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： (1)如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： (2)如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： (3) 如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 真题再现 1．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 3．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． (1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； (2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 4．（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 5．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 6．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 8．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 9．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 10．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $