4.6 回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

成都市泡桐树中学 4.6 回顾与思考 复习回顾 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 知识要点 1.因式分解 （1）把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做因式分解（或分解因式）； （2）定义要点：①变形对象： ；②由和的形式变成 的形式；③变成几个 的积. 多项式 整式 积 多项式 积 整式 2 复习回顾 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 知识要点 2.公因式 （1）我们把 ，叫做这个多项式各项的公因式； （2）公因式的确定：①系数：取各项系数的 ；②字母（或多项式）及其指数：取 字母（或多项式），指数取 ；③所有这些因式的乘积即为公因式. 多项式各项都含有的相同因式 最大公约数 相同 最低 3 复习回顾 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 知识要点 3.提公因式法 提公因式法的步骤：一找（找公因式），二分（分离公因式：一分离 ，二分离 ），三提（提公因式），四查（检查）. 系数 字母 4 复习回顾 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 知识要点 4.公式法 （1）平方差公式： . 特点：①是一个二项式，每项都可以化成整式的平方；②两项的符号相反. a2－b2=(a＋b)(a－b) （2）完全平方公式： . 特点：①多项式是三项式；②其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；③剩下的一项是这两数或两式乘积的2倍. a2±2ab－b2=(a±b)2 5 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解的定义 辨析 判断下列各式是否是因式分解？为什么？ （1）3x2y-xy+y=y(3x2-x) ( ) （2）x2-2x+3=(x-1)2+2 ( ) （3）x2y2+2xy-1=(xy-1)2 ( ) （4）xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn ( ) （5）2ab2=2a·b2 ( ) （6） ( ) × y(3x2-x+1)不是恒等变形 × 结果不是积 × 不是完全平方式 × 左到右是整式乘法 右到左才是分解因式 × 单项式不分解 × 不是整式 6 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 一“提”；二“公”；三“十”；四“分”；五“查” 一“提”：提公因式 二“公”：利用乘法公式（平方差，完全平方） 三“十”：二次三项式可考虑十字相乘法 四“分”：分组分解（目的：分组后出现公因式或可用公式） 五“查”：利用整式乘法的恒等变形，检查 7 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 提公因式法 1 例1 把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②4b(1-a)3+2(a-1)2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1) 解：原式=4b(1-a)3+2(1-a)2 =2(1-a)2(2b-2ab+1) 1、提公因式后，括号内因式的项数与原多项式一致 2、当幂的底数互为相反数时，通常保留奇次方的底数不变，改变偶次方的底数 8 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 2 例2 把下列各式分解因式 ①x2-4y2 ② 9x2-6x+1 =(x+2y)(x-2y) =(3x-1)2 公式法 1、平方差特征：二项式，两项平方，且符号相反 2、完全平方特征：三项式，有两项同号且可写成某数（或某式）的平方，第三项是这两数（或式）的乘积的2倍 9 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 例3 把下列各式分解因式 ①x2-5x-6 ② 3x2+5xy-12y2 3 十字相乘法 1 -6 1 1 1×1+1×(-6)=-5 =(x-6)(x+1) 1 3 3 -4 1×(-4)+3×3=5 =(x+3y)(3x-4y) 十字相乘特征：二次三项式，第一列相乘得二次项，第二列相乘得常数项，交叉相乘得积之和等于一次项 常用公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) mnx2+(mb+na)x+ab=(mx+a)(nx+b) 10 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 分组分解法 4 例4 把下列各式分解因式 ① 3x+x2-y2-3y ② x2-2x-4y2+1 解：原式=(x2-y2)+(3x-3y) =(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3) 解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y) 分组分解法适用于四项或四项以上； 分组原则是分组后可直接提公因式，或者可以运用公式 11 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 例5 把下列各式分解因式 （1）6x3(x-y)+24x(y-x) （2）-x3y3-2x2y2-xy 5 综合应用 =6x(x-y)(x2-4) =6x(x-y)(x-2)(x+2) =-xy(x2y2+2xy+1) =-xy(xy+1)2 因式分解要彻底，分到不能再分解为止 12 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 5 综合应用 （3）4x2-64 （4）81a4-b4 （5）9(2x-1)2-30(2x-1)+25 （6）(x2+4x)2+8(x2+4x)+16 （7）(x2-2x)2-2(x2-2x)-3 =4(x2-16) =4(x-4)(x+4) =(9a2+b2)(9a2-b2) =(9a2+b2)(3a+b)(3a-b) =[3(2x-1)-5]2 =(6x-8)2 =4(3x-4)2 =(x2+4x+4)2 =[(x+2)2]2 =(x+2)4 =(x2-2x-3)(x2-2x+1) =(x-3)(x+1)(x-1)2 13 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 6 添项、拆项 例6 因式分解：①x4＋4 ②x3－4x2＋x＋6. 解：原式=x4＋4x2＋4－4x2 =(x2＋2)2－4x2 =(x2＋2)2－(2x)2 =(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2). “姬曼定理”，也叫添项法. 解：原式=x3－3x2－x2＋x＋6 =(x3－3x2)－(x2－x－6) =x2(x－3)－(x＋2)(x－3) =(x－3)(x2－x－2) =(x－3)(x－2)(x＋1). 14 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 7 换元法 例7 因式分解： ①(x2 ＋ 5x ＋ 2) (x2 ＋ 5x ＋ 3) - 12 解法一：设 x2 ＋ 5x ＝ y , 则原式 ＝ (y ＋ 2) (y ＋ 3) - 12 ＝ y2 ＋ 5y - 6 ＝ (y ＋ 6) (y - 1) ＝ (x2 ＋ 5x ＋ 6) (x2 ＋ 5x - 1) ＝ (x ＋ 2) (x ＋ 3) (x2 ＋ 5x - 1)． 解法二：设 x2 ＋ 5x ＋ 2 ＝ y , 则原式 ＝ y (y ＋ 1) - 12 ＝ y2 ＋ y－12 ＝ (y ＋ 4) (y - 3) ＝ (x2 ＋ 5x ＋ 6) (x2 ＋ 5x - 1) ＝ (x ＋ 2) (x ＋ 3) (x2 ＋ 5x - 1)． 15 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的方法和步骤 7 换元法 例7 因式分解： ②(x ＋ 1) (x＋ 2) (x ＋ 3) (x ＋ 6) ＋ x2； 解：原式 ＝ [(x ＋ 1) (x ＋ 6)][(x ＋ 2) (x ＋ 3)] ＝ (x2 ＋ 6 ＋ 7x) (x2 ＋ 6 ＋ 5x) ＋ x2 设 x2 ＋ 6 ＝ m , 则原式＝ (m ＋ 7x) (m ＋ 5x) ＋ x2 ＝ m2 ＋ 12xm ＋ 35x2 ＋ x2 ＝ m2 ＋ 12xm ＋ 36x2 ＝ (m ＋ 6x) 2 ∴原式＝ (x2 ＋ 6x ＋ 6) 2. 16 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---化简求值 例8 先分解因式，再求值 （1）若x+y=1,xy=-2,求x(x+y)(x-y)-x(x+y)2的值 解：原式=x(x+y)[(x-y)-(x+y)] =-2xy(x+y) ∵x+y=1,xy=-2 ∴原式=4 17 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---化简求值 （2）若a2+a=-1,求a4+2a3-3a2-4a+3的值. 法一）：原式=a2(a2+a)+a3-3a2-4a+3 =a2(a2+a)+a(a2+a)-4a2-4a+3 =a2(a2+a)+a(a2+a)-4(a2+a)+3 ∵a2+a=-1 ∴原式=-a2-a+4+3=1+7=8 法二）：原式=(a4+2a3+a2)-4(a2+a)+3 =a2(a2+a)2-4(a2+a)+3 =[a(a+1)-3][a(a+1)-1] =(a2+a-3)(a2+a-1) 18 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---配方法 例9（1）用配方法因式分解：a2＋6a＋8 解：原式=a2＋6a＋9－1 =(a＋3)2－1 =(a＋3－1)(a＋3＋1) =(a＋2)(a＋4). 19 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---配方法 例9（2）已知a，b，c分别是△ABC的三条边，且满足： ，则△ABC是什么三角形？ 解： ∴△ABC为直角三角形 20 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---配方法 例9 （3）已知a、b、c是△ABC的三边长， ①求证：a2-b2+c2-2ac<0; ②当a2+2b2+c2=2b(a+c）时，试判断△ABC的形状. ①证明：a2-b2+c2-2ac =(a2+c2-2ac)-b2 =(a-c)2-b2 =(a-c-b)(a-c+b) ② a2+2b2+c2-2ab-2bc=0 a2-2ab+b2+c2-2bc+b2=0 (a-b)2+ (c-b)2=0 即△ABC为等边三角形 21 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---确定参数 例10（1）已知2x2+3x-k有一个因式是（x+4），求k的值及另一个因式。 法一）整式乘法 解：设2x2+3x-k=(x+4)(2x+m)， 则2x2+3x-k=2x2+(m+8)x+4m 比较系数得 m+8=3，-k=4m， 解得m=-5，k=20，. ∴k=20,另一个因式为(2x-5)． 法二）方程思想 解：设2x2+3x-k=(x+4)A=0， 则当x+4=0时，2x2+3x-k=0 将x=- 4 代入得：2×(-4)2+3×(-4)-k=0 解得k=20，. ∴ 2x2+3x-20= (2x-5)(x+4)． 法三）多项式除法 22 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 分解因式的应用---确定参数 例10 （2）已知多项式2x2+3xy-2y2-x+8y-6可以分解为(x+2y+m)(2x-y+n)的形式，求m和n的值。 法一）解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn =2x2+3xy-2y2-x+8y-6 比较系数得 n+2m=-1，2n-m=8，mn=-6 解得m=-2，n=3，. 法二）主元法(把x看成主元) 解： 2x2+3xy-2y2-x+8y-6 =2x2+(3y-1)x-2(y2-4y+3) 1 2（y-1 ） 2 -1 （y-3 ） 1×(-y+3)+2×(2y-2)=3y-1 原式=(x+2y-2)(2x-y+3) 23 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 1、因式分解：先考虑提公因式，再根据因式特征考虑使用公式法或十字相乘法分解。 2、因式分解时，必须检查每个因式，直到每个因式都不能分解为止。 3、可用整式乘法检验是否分解正确。 24 $