第三章图形的平移与旋转 回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第三章 图形的平移与旋转 回顾与思考 01 教学目标 02 知识框架 03 知识梳理 04 考点讲练 06 课堂小结 07 作业布置 05 课堂练习 Contents 目录 01 教学目标 学生经历课前知识架构梳理和课堂知识结构图展示，构建和完善本章的知识结构. 01 通过对典型问题的剖析来梳理总结本章知识点，通过变式研究让学生掌握解题方法，形成分析问题解决问题的综合能力。 02 经历对典型问题的剖析等过程，进一步发展空间观念、通过学生之间的交流、讨论、培养学生的探究能力、合作精神，提高学习数学的兴趣 03 02 知识架构 平移 平移 的概念 平移 的性质 前后图形全等， 对应角边相等 坐标中的平移 左加右减 上加下减 平面上的平行移动；由移动方向和距离所决定. 旋转 旋转的概念 在解题时如果没有指明旋转方向通常要分顺时针和逆时针两种情况讨论. 旋转的性质 ①要熟练地找出可以作为旋转角的角； ②要明确旋转中心的确定方法. 中心对称 中心对称是一种特殊的旋转. 图形的平移与旋转 03 知识梳理 一、平移的特征 1．对应线段 ；对应角 ；图形的形状和大小都不发生改变． 2．对应点所连的线段平行且相等． 平行且相等 相等 03 知识梳理 二、图形在坐标系中的平移 (1)原图形向右（左）平移a个单位长度：(a>0) （x,y) （x±a,y) (2)原图形向上（下）平移a个单位长度：(a>0) （x,y) （x,y±a) 在平面直角坐标系中内，一个图形怎么移动，那么这个图形上各个点就怎么移动. 左减，右加 下减，上加 03 知识梳理 三、旋转的特征 1．旋转过程中，图形上______________________按 旋转 ． 2．任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是________，对应点到旋转中心的距离都________． 3．旋转前后对应线段、对应角分别____，图形的大小、形状___ ． 每一点都绕旋转中心 同一旋转方向 同样大小的角度 旋转角 相等 相等 不变 03 知识梳理 四、中心对称 1．中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 180° 03 知识梳理 2．中心对称的特征 中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过【对称中心】，并且被对称中心【平分】． 3.中心对称图形 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做【中心对称图形】，这个点叫做它的【对称中心】 ． 03 考点讲练 考点一 平移 例1 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 （ ） 【解析】紧扣平移的概念解题. D A B C D 03 考点讲练 方法总结;平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连线段平行（或共线）且相等. 针对练习 1.如图所示，△DEF经过平移得到△ABC，那么∠C的对应角和ED的对应边分别是 （ ） C A.∠F，AC B.∠BOD，BA C.∠F，BA D.∠BOD，AC 03 考点讲练 考点二 坐标系中的图形平移 例2 如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其 中，C点坐标为（1，2）． （1）写出点A、B的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）； （2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位 长度，得到△A′B′C′，请画出相应图形，则 △A′B′C′的三个顶点 坐标分别是 A′（ ， ）、 B′（ ， ）、C′（ ， ）； （3）求△ABC的面积． 2 -1 4 3 0 0 2 4 -1 3 03 考点讲练 【分析】（1）根据图形写出相应点的坐标即可；（2）画出平移后图形，根据图形解题即可，或是让三个点的横坐标减去2，纵坐标加1即可得到平移后相应点的坐标；（3）△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积. 解： （2）平移后图形如图所示； （3）△ABC的面积 S=3×4﹣2×  ×1×3﹣  ×2×4 =5．                                C′ A′ B′ 03 考点讲练 方法总结：直角坐标系中的图形左右移动改变点的横坐标，即左减右加；上下平移改变点的纵坐标，即上加下减.求格点中图形的面积通常用割补法，常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示，或是转化为用几个比较容易求的三角形或四边形的面积和来表示. 针对练习 2.如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2）， （1）请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标； （2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积． 03 考点讲练 解：(1)△A1B1C1如图所示；各点的坐标为：A （﹣3，2）、C（﹣2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）； (2)如图，连接AA1、CC1； △AC1C的面积                                △AC1A1的面积                                     四边形ACC1A1的面积为7+7=14. 答：四边形ACC1A1的面积为14． 03 考点讲练 例3 （1）如图a，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60 ° 后得到△COD，若∠AOB=15 °,则∠AOD的度数是（ ） A. 15 ° B. 60 ° C. 45 ° D. 75 ° (2) 如图b ,4 ×4的正方形网格中， △MNP绕某点旋转一 定的角度，得到△M1N1P1，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D C B A B O D C 图a 【解析】（1）关键找出旋转角∠BOD=60 °; （2）作线段MM1与PP1 的垂直平分线，交点便是旋转中心. 考点三 旋转的概念及性质的应用 03 考点讲练 针对练习 3.如图，在等腰Rt△ABC中，点O是AB的中点，AC=4, 将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与AC相交，交点为D,另一条直角边与BC相交，交点为E,则等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE长度之和等于 . 4 A B C D E O 解答提示：连接CO,证△CDO≌△BEO 03 考点讲练 考点四 中心对称 例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）． 　　　A　　　　　 B　　　　　 C　　　　　D 【解析】 图A.图B都是轴对称图形，图C是中心对称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形. D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（　 ) 2.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ )个 3.如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，旋转（ ）度 后的图形与原图形重合。 　 D 3 120 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（ ） A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位 5.已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移 到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D， 则△C′DC的面积为（　 ） A．6 B．9 C．12 D．18 D C 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 6.如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系第一象限内， 先将它向下平移4个单位后，再将它绕原点O旋转180°， 则小花顶点A的对应点A′的坐标为 。 7.在数轴上，点A向右平移1个单位，再向左平移2个单位，再向右平移3个单位，再向左平移4个单位…100次平移后A所在点表示的数为2006，则点A的原始数为 。 （-3，3） 2056 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 8.（2022•保定一模）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M。 （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数。 （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数。 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： （1）证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴AP=BQ， 在△ABQ与△CAP中，AB＝CA，AP＝BQ，∠ABQ＝∠CAP ∴△ABQ≌△CAP（SAS） （2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变。 理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°。 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： （3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变。 理由：∵△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM， ∴∠QMC=∠ACP+∠APM =180°-∠PAC =180°-60° =120°。 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 9.如图，B，C，E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形。连接BG，DE。 （1）观察猜想BG与DE之间的关系，并证明你的猜想； （2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由。 解：（1）BG⊥BD，且BG=DE。 证明：延长BG与DE交于H点， 在△BCG和△DCE中， 25 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 ∴△BCG≌△DCE， ∴BG=DE，∠BGC=∠DEC， 又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°， ∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°， 故BG⊥DE，且BG=DE。 （2）存在，△BCG≌△DCE，（1）中已证明， 且△BCG和△DCE有共同顶点C，则△DCE沿C点旋转向左90°与△BCG重合。 26 05 课堂小结 1、巩固了平移、旋转的定义和性质； 2、运用平移、旋转的性质解题； 3、对题目中的数学思想和方法进行归纳总结。 你今天的收获是什么？ 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.下列说法错误的有（　　） ①图形在平移过程中，图形上的每一点都移动了相同的距离； ②图形在旋转过程中，图形上的每一点都绕旋转中心转过了同样长的路程； ③中心对称图形的对称中心只有1个，而轴对称图形的对称轴可能不止一条； ④等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转 后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（　　） A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q B B 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3.如图1，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转一定的角度后能与△CBP′重合。若PB=3，则PP′= 。 4.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为 ，∠APB= 度。 5.如图2所示，△ABC绕点A逆时针旋转某一角度得到△ADE， 若∠1=∠2=∠3=20°，则旋转角为 度。 6 150 40 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 6.如图1在四边形ABCD中。AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF。 （1）求证：EF=BE+DF； （2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系。 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： （1）证明：延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中，AB＝AD，AB＝AD，BM＝DF ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF， 在△FAE和△MAE中， AE＝AE，∠FAE＝∠MAE，AF＝AM ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即EF=BE+DF。 06 作业布置 2）解：EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF， 理由是：在CB上截取BM=DF，连接AM。 ∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°， ∴∠ABC=∠ADF， 在△ABM和△ADF中， BM＝DF，∠B＝∠ADF，AB＝AD ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF=2（∠EAD+∠DAF）=2（∠EAD+∠BAM）=∠EAF+（∠EAD+∠BAM）  又∵∠BAD=（∠BAM+∠EAD）+∠MAE ∴∠MAE=∠EAF在△FAE和△MAE中， AE＝AE，∠FAE＝∠MAE，AF＝AM ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF=EM=BE-BM=BE-DF， 即EF=BE-DF。 【知识技能类作业】选做题： 06 作业布置 【综合拓展类作业】 7.含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α＜90°），再沿∠A的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E。 （1）求证：△ACM≌△A′CN； （2）当∠α=30°时，找出ME与MB′的数量关系，并加以说明。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 （1）证明：∵∠A=∠A′，AC=A′C， ∠ACM=∠A'CN=90°-∠MCN， ∴△ACM≌△A’CN。 （2）解：在Rt△ABC中 ∵∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°。 又∵∠α=30°，∴∠MCN=30°， ∴∠ACM=90°-∠MCN=60°。 ∴∠EMB′=∠AMC=∠A=∠MCA=60°。 ∵∠B′=∠B=30°， 所以三角形MEB′是Rt△MEB′，且∠B′=30°。所以MB′=2ME。 $