4.2.2 提公因式法 ——公因式为多项式 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.2.2 提公因式法——公因式为多项式 旧知回顾 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 提公因式法 1、找公因式的方法： 2、基本步骤： 3）首项为负提负号; 如 -26xn+1+52xn-1=-26xn-1(x2-2) 1）找； 2）分； 3）提； 4）查 1)先系数 2)再底数 3)后指数 3、注意的事项: 1）公因式要提尽；如12x2y+18xy2=6xy(2x+3y) 2）小心漏项; 如10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c+1) 2 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 公因式 （1）写出下列各多项式中各项的公因式： ①a（x－3）＋2b（x－3）； ③2（x－y）3－（x－y）2； ④（x－1）（x2＋x＋1）＋（x＋1）（x2＋x＋1）. 公因式可以是单项式，也可以是多项式，或者是多项式的幂. 3 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 提公因式法 补例2： 将下列各式分解因式： （2） a(a-b+c)-b(a-b+c)+c(a-b+c) 解：原式=(a-b+c) ·a-(a-b+c) · b+(a-b+c) · c =(a-b+c)(a-b+c) =(a-b+c)2 （1） (x+y)(x-y)-(x+y) 解：原式=(x+y) ·(x-y)-(x+y) · 1 =(x+y)(x-y-1) 因式分解后若有相同的因式，应将相同的因式写成幂的形式. 提公因式后，剩余项中含“1”，不要漏掉 4 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 提公因式法 （4）(a－b)(5mx＋my－1)－(b－a)(3my－mx＋1). 解：原式＝(a－b)(5mx＋my－1)＋(a－b)(3my－mx＋1) （3） 解：原式= = 提取公因式后，剩下的因式要注意整理，不能带中括号；如果还有公因式，应继续提取公因式，直到不能再分解为止 公因式要提完， 单项式与多项式相乘时，一般把单项式放在多项式前面 ＝(a－b)(5mx＋my－1＋3my－mx＋1) ＝(a－b)(4mx＋4my) ＝4m(a－b)(x＋y). 5 提公因式法---符号变化 当底数互为相反数时，要统一成同底数幂的形式. 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 ②y（a－b）－x2（b－a）有公因式吗？ 6 提公因式法---符号变化 常常用到以下几个恒等变形： （1）； （2） （3）； （4）； 思考： （5）； （6） — — + + — — 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 ◎要点归纳 7 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 提公因式法---符号变化 符号变化：奇变偶不变 指数为奇数： 指数为偶数：； 8 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 提公因式法 解：原式 = （x-y）·a +[-（x-y）]·b =（x-y）·a -（x-y）·b =（x-y）(a-b) =6(m-n)2(m-n-2) 解：原式=6(m-n)3 - 12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n)- 6(m-n)2· 2 分解因式要注意：底数互为相反数的项，可利用符号法则，提取公因式 （2）把下列各式因式分解： ①a（x－y）＋b（y－x）； ②6（m－n）3－12（n－m）2； 9 提公因式法 1. 把下列各式因式分解： （1）6（m－n）2＋3（m－n）； （2）（a－b）2－a＋b； （3）5（a－1）2－10（1－a）. 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 10 提公因式法 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 （1）把下列各式因式分解： ①（m－n）4＋m（m－n）3＋n（n－m）3； ②－6（x－y）3＋18（y－x）2－24（y－x）3. 11 提公因式法 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 阅读下列因式分解的过程，并回答所提出的问题： 　1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2 ＝（1＋x）[1＋x＋x(x＋1)] ＝（1＋x）2（1＋x） ＝（1＋x）3. （1）上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； （2）若对1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）2 024因式分解，则需应用上述方法 次，结果是 ⁠⁠； （3）因式分解：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）. 提公因式法 2 2 023 (x＋1)2 024 12 提公因式法 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 （3）因式分解：1＋x＋x（x＋1）＋x（x＋1）2＋…＋x（x＋1）n（n为正整数）. 13 利用因式分解---化简求值 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 2. （1）已知实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－15，求ab的值； （2）已知m－n＝－2，mn＝1，求m3n＋mn3的值； 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 2. （3）已知2a－3b＋1＝0，求代数式4a2－6ab＋3b的值. 利用因式分解---化简求值 15 利用因式分解---化简求值 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 （2）不解方程组求5n（2m－n）2－2（n－2m）3的值. 解：原式＝5n(2m－n)2＋2(2m－n)3 ＝(2m－n)2［5n＋2(2m－n)］ ＝(2m－n)2(4m＋3n) ＝32×1 ＝9. 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 利用因式分解---解方程 利用公因式法解方程： （1）x（x－2）＝x；　 补： 　　 解： 5 17 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 利用因式分解---解方程 利用公因式法解方程： （2）2x+3－2x+1＝48. 　　 18 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 1.公因式可以是单项式，也可以是多项式，或者是多项式的幂.当底数互为相反数时，要统一成同底数幂的形式：2－a＝- (a－2)；b＋a＝(a＋b)；(b－a)2＝(a－b)2；(b－a)3＝- (a－b)3. 2.提取公因式时，要注意以下几点： (1)多项式首项为负数时，通常公因式为___负____，使括号内第一项的系数为正数； (2)提取公因式后，括号内的项数与原多项式项数___相同___； (3)提取公因式后，剩下的因式要注意整理，不能带中括号；如果还有公因式，应继续提取公因式，直到不能再分解为止； (4)单项式与多项式相乘时，一般把单项式放在多项式前面；因式分解后若有相同的因式，应将相同的因式写成幂的形式. 19 $