4.2.2 公因式为多项式的因式分解 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版 八年级下册 第2课时 公因式为多项式的因式分解 1 学习目标 1.能准确找出各项的多项式公因式并进行因式分解。 2.能运用整体思想进行因式分解。 复习回顾 确定公因式的一般步骤： 1.多项式的第一项系数为负数时，先提出“-”号，注意提出“–”时多项式的各项要变号； 2.公因式的系数是多项式各项系数的_____________； 3.公因式中的字母取多项式中各项的____________； 4.公因式中的字母的指数取各项相同字母的_________。 最大公因数 相同字母 最低指数 推进新课 思考：下面的多项式有公因式吗？ （1）m(y+x)-10(y+x)； （2）(3m+2n)(2m-n)-n(2m-n)； （3）a(x-3)+2b(x-3)； （4）3a(a-2b)+6b(a-2b)。 y+x 2m-n x-3 3(a-2b) 公因式是多项式的形式，怎样运用提公因式法分解因式？ 例2 把下列各式因式分解： （1）a(x-3)+2b(x-3)； （2）y(x+1)+y2(x+1)2。 解：（1）a(x-3)+2b(x-3) = (x-3)(a+2b) （2）y(x+1)+y2(x+1)2 = y(x+1)[1+y(x+1)] = y(x+1)(xy+y+1) 小结 1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。 练一练 1.把下列各式因式分解： （1）m(x2+5)-n(x2+5)； （2）ab(m-2)-a(m-2)。 解：m(x2+5)-n(x2+5) = (m-n)(x2+5) 解：ab(m-2)-a(m-2) = a(m-2)(b-1) 例3 把下列各式因式分解： （1）a(x-y)+b(y-x)； （2）6(m-n)3-12 (n-m)2。 解：（1）a(x-y)+b(y-x) = a(x-y)-b(x-y) = (x-y)(a-b) （2）6(m-n)3-12 (n-m)2 = 6(m-n)3-12[-(m-n)]2 = 6(m-n)3-12(m-n)2 = 6(m-n)2(m-n-2) 在下列各等式右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立： (1)a-b=___(b-a)； (2)(a-b)2=___(b-a)2； (3)(a-b)3=___(b-a)3； (4)(a-b)4=___(b-a)4； (5)(a-b)5=___(b-a)5； (6)(a-b)6=___(b-a)6； (7)(a+b)=___(-a-b)； (8)(a+b)2=___(-a-b)2。 - + - + - + - + 你发现了什么？ 归纳 ①a-b=-(b-a) (a-b)2n=(b-a)2n (a-b)2n – 1 =-(b-a)2n – 1 ②a+b=-(-a-b) (a+b)2n =(-a-b)2n -(a+b)2n – 1 =(-a-b) 2n – 1 （n为正整数） 练一练 2.把下列各式因式分解： （1）(a+b)(a-2)+b(2-a)； （2）a(m-n)2+2(n-m)2。 解：(a+b)(a-2)+b(2-a) = (a+b)(a-2)-b(a-2) 解：a(m-n)2+2(n-m)2 = a(m-n)2+2(m-n)2 = (a+b-b)(a-2) = a(a-2) = (a+2)(m-n)2 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 思考·交流 提公因式法因式分解的注意事项： 1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“-”号时，多项式各项都变号。 2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项。 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开。 如图，有三张不同型号的长方形卡片。 尝试·思考 m a+b b n n a （1）你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？ a+b n m a+b b n n a （2）你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？ a+b m+n （3）依据（1）（2）拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？ a+b n a+b m+n na+nb=n(a+b) na+nb+m(a+b) = (m+n)(a+b) m a+b b n n a 随堂演练 1. 将3a(x-y)-9b(x-y)用提公因式法进行因式分解，应提的公因式是（ ） A. a-3b B. x-y C. 3(x-y) D. 3x-y C 2. 把下列各式因式分解： 【教材P116 随堂练习 T1】 （1）x(a+b)+y(a+b)； （2）3а(x-y)-(x-y)； （5）2(y-x)2+3(x-y)； （6）mn(m-n)-m(n-m)2。 （3）6(p+q)2-12(q+p)； （4）a(m-2)+b(2-m)； = (x+y)(a+b) = (3а-1)(x-y) = 6(p+q)(p+q-2) = (а-b)(m-2) = (x-y)(2x-2y+3) = m(m-n)(2n-m) 3.先因式分解，再计算求值：(x+2y)(x-2y)-(2y-x)2，其中x=2，y=-1。 解： 原式=(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2 =(x-2y)[(x+2y)-(x-2y)] =4y(x-2y) 当x=2，y=-1时， 原式=4×(-1)×[2-2×(-1)]=-16。 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 布置作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $