4.1因式分解 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.1 因式分解 993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 小明是这样做的： 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800 ＝98×99×100. 所以，993－ 99能被100整除. 问题： 1、你能与同伴交流小明每一步变形的依据吗？ 2、在判断993－99能否被100整除时， 小明是怎么做到的？ 新知引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 如何处理整除问题 2 993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 小明是这样做的： 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800 ＝98×99×100. 所以，993－ 99能被100整除. 关键：把一个数式化成了几个数的积的形式. 993－99还能被哪些正整数整除？ 新知引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 如何处理整除问题 3 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 复习回顾 你能尝试把a3-a的化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流. 因式分解 尝试·交流 4 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 复习回顾 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式 ma+mb+mc m(a+b+c) x2+2x+1 (x+1)2 因式分解 5 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 复习回顾 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 例如：a3-a= a(a+1)(a-1)；ma+mb+mc=m(a+b+c); x2+2x+1=(x+1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式。其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 因式分解的定义 6 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 （1）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ ①24x2y＝4x·6xy；②（x＋5）（x－5）＝x2－25； ③x2＋2x－3＝（x＋3）（x－1）；④9x2－6x＋1＝3x（3x－2）＋1； ⑤x2＋1＝x（x＋ ）；⑥ax2－9a＝a（x＋3）（x－3）. 因式分解 7 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解 方法归纳： 因式分解的判断标准 （1）因式分解是多项式的恒等变形，等式左边必须是多项式； （2）因式分解的结果是积的形式，每个因式必须是整式； （3）因式分解应该分解到不能再分解为止，现阶段只要求在有理数范围内分解. 8 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 1. 下列从左到右的变形是因式分解的有（　B　） ①2mR＋2mr＝2m（R＋r）；②x2－ ＝（x＋ ）（x－ ）； ③（m－2n）2＝m2－4mn＋4n2；④x2－4x＋4＝（x－2）2； ⑤a2－b2＋1＝（a－b）（a＋b）＋1. A. ①③ B. ①④ C. ②⑤ D. ④⑤ B 因式分解 9 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 复习回顾 计算下列各式： (1)3x (x－1)＝________ (2)m (a＋b－1)＝________ (3)(m＋4)(m－4)＝________ (4)( y－3 )2＝________ 根据左面的算式进行因式分解: (1)3x 2－3x＝( )( )； (2)ma＋mb－m＝( )( ) (3)m 2－16＝( )( )； (4)y 2－6y＋9＝( )( ) m2 - 16 y2-6y+9 3x2-3x ma+mb-m 3x x-1 m+4 m- 4 y - 3 m a+b-1 y - 3 整式乘法 因式分解 想一想它们有什么关系？ 因式分解与整式乘法 操作·思考 10 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 复习回顾 a2-1 (a+1)(a-1) 和 积 因式分解 整式乘法 a2-1 = (a+1)(a-1) 因式分解的特征： 左边是多项式，右边是几个整式的乘积 恒等变形，互为逆运算 因式分解与整式乘法 11 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 从左往右是一种什么 变形？从右到左呢？ 可以用整式乘法来检验因式分解的是否正确 因式分解与整式乘法 12 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 （2）如图，由一个边长为a的小正方形和两个长、宽分别为a，b（a＞b）的小长方形拼成一个大长方形.请利用大长方形ABCD面积的不同求法，写出一个有关多项式的因式分解的等式. S长方形ABCD＝a2＋2ab S长方形ABCD ＝a（a+2b） ∴a2＋2ab＝a（a＋2b） 13 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 如图，现有边长为a的小正方形①纸片1张，长为b、宽为a的长方形②纸片3张，边长为b的大正方形③纸片2张.请你将它们拼成一个大长方形，在虚线框内画出图形，并运用面积之间的关系，将多项式a2＋3ab＋2b2因式分解. 14 变式2（P94 4题） 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 x2+3x+2=（x+2）(x+1) 因式分解与整式乘法 15 解：∵x2+ax+b = (x+1)(x-3) = x2﹣2x﹣3. ∴a=﹣2，b=﹣3 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应相等即可. 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 法二：∵ (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq ∴a=1+(-3)=-2， b=1×(-3)=-3 （2）若把多项式x2＋ax＋b因式分解得(x＋1)(x－3)，则a＝ ，b＝ ⁠. 16 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 2. 已知x2＋mx－15＝（x＋3）（x＋n），则m＝ ，n＝ ⁠. －2　 －5　 17 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 补例 当k为何值时，多项式x2﹣x+k有一个因式为x+2。 (法一)逆用整式乘法 解：设x2-x+k = (x+2)(x+m) = x2+(2+m)x+2m. ∴2+m=﹣1，k =2m ∴ m = -3 ,k = -6 方法归纳：利用分解因式的概念，将一个多项式分解成几个因式的积的形式，令已知因式=0，则积也为0.所以就可以将此类问题转化成方程问题求解。 (法二)方程思想 解：令x2-x+k = A(x+2)=0 则当2+x=0即x=-2时，x2-x+k = =0 （∴x=-2是方程x2-x+k = 0的解） ∴（-2）2﹣（-2）+k = 0 k = -6 (法三)整式除法： 因式分解与整式乘法 18 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 2. 已知多项式6x2－kx－2因式分解后有一个因式为3x－2，求k的值和另一个因式. 19 典例分析 复习回顾 新知探索 课堂小结 作业布置 因式分解与整式乘法 （2）已知三次四项式2x3－5x2－6x＋k因式分解后有一个因式是x－3，求k的值. 解：方法一：设2x3－5x2－6x＋k＝A·（x－3）. 令x＝3，得54－45－18＋k＝0.∴k＝9. 方法二：依题意，设另一个因式为（2x2＋ax＋b）， ∴2x3－5x2－6x＋k＝（x－3）（2x2＋ax＋b）， 即2x3－5x2－6x＋k＝2x3＋（a－6）x2＋（b－3a）x－3b， 可得a－6＝－5，b－3a＝－6，－3b＝k. 解得a＝1，b＝－3，k＝9.∴k的值为9. 20 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________. 其中，每个整式叫做这个多项式的_______. 与整式乘法 的关系 的变形过程. 前者是把一个多项式化为几个整式的_____， 后者是把几个整式的______化为一个_________. 积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 21 $